附加周期和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)膶?shí)時鐘差預(yù)報模型

黃觀文，崔博斌，張 勤，付文舉，李平力，藺玉亭

(1. 長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，西安 710054；2. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)實(shí)時導(dǎo)航定位中，衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品精度會直接影響高精度導(dǎo)航定位授時(Position navigation and timing, PNT)服務(wù)能力[1-5]。目前的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)實(shí)時鐘差產(chǎn)品包括兩類：一類是衛(wèi)星播發(fā)的實(shí)時廣播星歷，其每小時更新發(fā)播一組衛(wèi)星鐘差系數(shù)，用戶收到系數(shù)后進(jìn)行二次多項(xiàng)式插值或擬合預(yù)報獲得實(shí)時鐘差值，但現(xiàn)階段BDS廣播星歷的實(shí)時鐘差精度較低，一般為3～10 ns，難以滿足分米級以上定位需求；另一類是北斗超快速鐘差預(yù)報產(chǎn)品，是基于24 h實(shí)測鐘差序列進(jìn)行實(shí)時預(yù)報得到，但其每隔6 h更新預(yù)報。國內(nèi)外學(xué)者在鐘差預(yù)報方面建立了多種鐘差預(yù)報模型[1-17]。然而，由于星載原子鐘時頻特性復(fù)雜且極易受外界環(huán)境影響，衛(wèi)星鐘差通常表現(xiàn)出顯著周期變化與隨機(jī)特性，這使得已有的鐘差預(yù)報模型在應(yīng)用中仍存在局限性。文獻(xiàn)[2]與文獻(xiàn)[3]指出多項(xiàng)式預(yù)報鐘差時其預(yù)報誤差會隨著預(yù)報時間增加而顯著變大，GM(1,1)預(yù)報精度受模型指數(shù)系數(shù)影響較大，文獻(xiàn)[6]指出Kalman濾波精度優(yōu)劣取決于對原子鐘運(yùn)行特性和隨機(jī)先驗(yàn)信息等的認(rèn)知程度，文獻(xiàn)[7]指出時間序列存在模式識別和定階難題，文獻(xiàn)[8]指出譜分析模型的周期函數(shù)要根據(jù)較長的鐘差序列才能可靠確定，文獻(xiàn)[9]指出小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)確定比較困難，文獻(xiàn)[10]指出徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選取的樣本長度以及樣本之間間隔的確定只能依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定。而在這些模型當(dāng)中，多項(xiàng)式模型和GM(1,1)模型是最為常用且具有代表性的預(yù)報模型。文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[12]指出顧及到星載原子鐘頻偏、頻漂等物理特性及預(yù)報穩(wěn)定性和精度，衛(wèi)星鐘差超快速預(yù)報模型一般采用多項(xiàng)式加一個主周期項(xiàng)模型，其精度相比廣播星歷鐘差值有一定提升，約為2～6 ns，但仍無法滿足實(shí)時分米級導(dǎo)航定位需求?，F(xiàn)階段針對北斗鐘差預(yù)報模型的研究多是基于衛(wèi)星鐘物理模型展開，而對于擬合殘差中不顯著的系統(tǒng)噪聲誤差未能有效顧及，因此本文提出構(gòu)建一種多項(xiàng)式結(jié)合周期項(xiàng)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的北斗超快速鐘差預(yù)報模型，并利用實(shí)測超快速鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行了算法測試驗(yàn)證。

1 基礎(chǔ)預(yù)報模型

目前BDS二代星載原子鐘均為Rb原子鐘，Rb鐘具有顯著的鐘漂特性，因此選用二次多項(xiàng)式模型作為BDS衛(wèi)星鐘差基礎(chǔ)預(yù)報模型[1-3]，其擬合式如下：

y(t)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+Δi

(1)

式中：y(t)為歷元時刻ti的衛(wèi)星鐘差，a0，a1，a2分別為衛(wèi)星原子鐘t0時刻的鐘差、鐘速和鐘漂，Δi為鐘差預(yù)報模型殘差。

2 周期項(xiàng)模型

衛(wèi)星在軌運(yùn)行中會受到軌道運(yùn)行周期與太空環(huán)境及各種攝動力干擾，因此在軌道鐘差同步解算的超快速衛(wèi)星鐘差預(yù)報中應(yīng)充分考慮軌道周期及系統(tǒng)攝動力影響?，F(xiàn)階段不少學(xué)者已在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中加入周期項(xiàng)改正，考慮到在軌衛(wèi)星鐘的顯著周期項(xiàng)通常與衛(wèi)星軌道運(yùn)行周期基本一致[1-5,11-12]，本文對BDS三種類型衛(wèi)星鐘模型各添加兩個主顯著周期項(xiàng)[11-12]，其中GEO和IGSO主顯著周期為24 h與12 h，MEO主顯著周期為12 h與6 h，結(jié)合式(1)，附加顯著周期項(xiàng)的擬合預(yù)報模型為：

y(t)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(2)

式中：p為周期誤差總數(shù)，k為所附加的周期項(xiàng)次序；Λk，fk，φk分別為鐘差周期項(xiàng)的振幅、頻率和相位，Δi為每顆衛(wèi)星經(jīng)過附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式擬合后的殘差。由于殘差中不僅包括白噪聲，還受到其他誤差及環(huán)境影響而包含不規(guī)律的有色噪聲。常規(guī)預(yù)報模型很難擬合非線性無顯著規(guī)律的有色噪聲，因此需要考慮引入非線性擬合模型對殘差進(jìn)行進(jìn)一步補(bǔ)償。

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能學(xué)習(xí)和存貯大量的輸入-輸出模式映射關(guān)系，而無需事前揭示描述這種映射關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，是一種單向傳播的多層向前網(wǎng)絡(luò)，具有三層或三層以上的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，包括輸入層、中間層(隱層)和輸出層。相關(guān)研究表明，僅有一層的隱含層模型結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)任意非線性映射[8-10]，本文設(shè)置為三層模式即輸入層、隱含層與輸出層?？紤]到本文輸出值僅為鐘差，因此輸出層神經(jīng)元個數(shù)為1；而隱含層的神經(jīng)元個數(shù)選取對于模型的訓(xùn)練精度與速率至關(guān)重要，考慮到訓(xùn)練速率與模型精度，本文選取的隱含層神經(jīng)元數(shù)目為6[9-10]。鑒于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在誤差非線性擬合方面的優(yōu)點(diǎn)，本文選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對北斗擬合殘差進(jìn)行進(jìn)一步訓(xùn)練與擬合預(yù)報。

BP算法實(shí)質(zhì)是求取誤差函數(shù)e的最小值問題，通過逆向誤差傳遞，獲取真實(shí)值與擬合值之間最優(yōu)映射函數(shù)關(guān)系，其誤差函數(shù)定義為：

(3)

式中:m為模型總層數(shù)。

在反向傳播算法應(yīng)用于前饋多層網(wǎng)絡(luò)，采用Sigmoid為激發(fā)面時，可用下列步驟對網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)Wij進(jìn)行遞歸求取。注意對于每層有n個神經(jīng)元的時候，即有i=1,2,…,n;j=1,2,…,n。對于第k層的第i個神經(jīng)元，則有n個權(quán)系數(shù)Wi1,Wi2,…,Win。另外取多一個Win+1，用于表示閥值θi。并且在輸入樣本X時，取X={X1,X2,…,Xn,1}。通過權(quán)值的確定后，整體算法的執(zhí)行步驟如下：

1)對權(quán)系數(shù)Wij置初值，對各層權(quán)系數(shù)Wij置一個較小的非零隨機(jī)數(shù)(本文選取為1)，但其中Wi,n+1=-θi。

2)輸入一個樣本X={X1,X2,…,Xn,1}，以及對應(yīng)期望輸出Y={Y1,Y2,…,Yn}。

(4)

(5)

而對于其他各層，有：

(6)

式中:L為當(dāng)前層神經(jīng)元數(shù)目。

5)修正權(quán)系數(shù)Wij和閥值θ如下所示：

(7)

其中，

ΔWij(t)=Wij(t)-Wij(t-1)=

(8)

式中:θ為閾值,通過誤差函數(shù)的最優(yōu)值，獲取權(quán)值與系數(shù)的最優(yōu)解；η為學(xué)習(xí)速率，即步長，一般取0.1～0.4間的常數(shù)；α為權(quán)系數(shù)修正常數(shù)，取0.7～0.9間的常數(shù)[8-10]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報算法流程為：通過式(3)～式(8)進(jìn)行訓(xùn)練并獲取最優(yōu)的權(quán)值及擬合系數(shù)，進(jìn)而利用獲取的最優(yōu)擬合系數(shù)結(jié)合二次多項(xiàng)式與周期項(xiàng)預(yù)報模型獲取預(yù)報鐘差序列。結(jié)合式(2)預(yù)報模型，附加BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報模型如下所示：

y(t)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(9)

本文預(yù)報模型整體流程如圖1所示。由圖1可知，通過讀入需要預(yù)報時間前兩天實(shí)測鐘差值，目前國際上實(shí)測鐘差數(shù)據(jù)均選取一天的數(shù)據(jù)，本文分別選取了1至3 天的實(shí)測數(shù)據(jù)并建模預(yù)報，測試發(fā)現(xiàn)2 天效果更佳，3 天提升較2 天不明顯且預(yù)報建模時間會增加，因此本文選取兩天實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合。通過數(shù)據(jù)預(yù)處理剔除粗差與鐘跳等異常值，獲取二次多項(xiàng)式與周期項(xiàng)的擬合殘差序列，將第1天擬合殘差序列與第2天的擬合殘差序列分別作為輸入與期望輸出值輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練獲取最優(yōu)擬合系數(shù)，從而利用第2天實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差擬合預(yù)報并附加于二次多項(xiàng)式與周期項(xiàng)的預(yù)報模型上，進(jìn)而達(dá)到對有色噪聲的非線性最優(yōu)擬合預(yù)報效果。

4 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備與精度評定

為了驗(yàn)證本文所提模型的可靠性和精度，分別選取了德國地學(xué)中心GFZ的超快速預(yù)報產(chǎn)品(GBU)與中國全球連續(xù)監(jiān)測評估系統(tǒng)(iGMAS)產(chǎn)品綜合的超快速預(yù)報產(chǎn)品(ISU)進(jìn)行分析比較，時間為2017年年積日001-030天。BDS超快速鐘差產(chǎn)品包含實(shí)測部分和預(yù)報部分。首先采用組合中位數(shù)粗差探測法對數(shù)據(jù)中存在的異常值進(jìn)行探測與剔除。分別統(tǒng)計了在此時間段內(nèi)GBU與ISU鐘差預(yù)報精度，考慮到不同機(jī)構(gòu)產(chǎn)品間存在基準(zhǔn)差異，精度評定參考基準(zhǔn)為其各自機(jī)構(gòu)的事后精密鐘差產(chǎn)品，并分別采用本文預(yù)報模型利用ISU與GBU實(shí)測鐘差值進(jìn)行預(yù)報，并與事后精密鐘差進(jìn)行精度評定。鐘差精度δ采用標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation,STD)作為衛(wèi)星鐘差精度指標(biāo)[1-2]，具體如下所示：

(10)

(11)

5 預(yù)報精度分析

預(yù)報并統(tǒng)計了001-030天GBU及ISU鐘差預(yù)報精度[18-19]，為了驗(yàn)證本文所提預(yù)報模型的正確性與精度，分別采用二次多項(xiàng)式(Quadratic polynomial, QP)，二次多項(xiàng)式結(jié)合周期項(xiàng)(Quadratic polynomial additional period, QP-Period)及本文所提附加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報模型(Back propagation prediction, BP-PRE)與ISU和GBU預(yù)報產(chǎn)品精度對比分析，并分別展示了007 天三種不同預(yù)報模型及ISU與GBU超快速鐘差預(yù)報殘差結(jié)果(見圖2～3)，其中使用GBU實(shí)測數(shù)據(jù)預(yù)報殘差結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，本文預(yù)報模型的鐘差預(yù)報精度相比GBU產(chǎn)品有顯著提升。為了驗(yàn)證本文所提方法對于BDS衛(wèi)星預(yù)報的普適性，同時給出利用ISU超快速實(shí)測鐘差數(shù)據(jù)分別采用三種不同預(yù)報模型及ISU預(yù)報產(chǎn)品的007 天預(yù)報殘差結(jié)果如圖3所示。

從圖2～3可以看出，GBU和ISU鐘差預(yù)報精度與采用QP及QP-Period預(yù)報精度相近，而采用本文所提附加周期項(xiàng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報模型鐘差精度相比ISU及GBU有顯著提升，6號衛(wèi)星預(yù)報精度也有了較好改進(jìn)，發(fā)散程度明顯減小，24 h預(yù)報中殘差也未出現(xiàn)顯著增大。由圖2～3的對比分析可知，采用本文附加周期項(xiàng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)谋倍穼?shí)時鐘差預(yù)報模型，預(yù)報精度相比傳統(tǒng)多項(xiàng)式預(yù)報模型有顯著提升，相比現(xiàn)階段公開提供BDS超快速預(yù)報服務(wù)的ISU與GBU產(chǎn)品精度也有大幅度改進(jìn)。表明本文預(yù)報模型對于BDS衛(wèi)星超快速預(yù)報有較好的效果。

為了從數(shù)值上比較不同預(yù)報模型精度，同時給出了001天-030天一周內(nèi)不同模型分別在3 h,6 h,12 h和24 h預(yù)報精度平均值，統(tǒng)計數(shù)值結(jié)果如表1所示。

預(yù)報模型ISU/nsGBU/nsQPQP-PeriodISUBP-PREQPQP-PeriodGBUBP-PRE3h0.6030.5310.4590.3390.6200.6010.5610.5036h1.2211.0891.0450.8731.5171.4881.5451.33112h2.6972.7012.6492.3133.4923.4673.2793.01124h5.5335.4985.1794.6316.3516.2036.1355.251

從表1可以看出，ISU及GBU預(yù)報精度較低，因其預(yù)報模型僅為簡單的QP或QP-Period。其中ISU產(chǎn)品預(yù)報精度略高于GBU產(chǎn)品，其原因?yàn)镮SU為我國13家分析中心產(chǎn)品加權(quán)所得，相當(dāng)于IGS綜合多家分析中心產(chǎn)品，因此ISU對于異常數(shù)據(jù)有更好抗差性，鐘差穩(wěn)定性與精度相比GBU有進(jìn)一步提升。本文預(yù)報模型精度相比QP與QP-Period模型精度均有較大提升。相比ISU產(chǎn)品，本文模型3 h,6 h,12 h和24 h預(yù)報精度分別提升了26.14%,16.46%,12.68%,10.58%；相比GBU產(chǎn)品，本文模型在3 h,6 h,12 h和24 h預(yù)報精度分別提升了10.34%,13.85%,8.17%和14.41%。以上對比結(jié)果也表明本文模型具有較高的鐘差預(yù)報精度，且在24 h預(yù)報中殘差發(fā)散現(xiàn)象明顯變緩，預(yù)報殘差序列更加穩(wěn)定，精度提升顯著。

6 結(jié)束語

常規(guī)北斗鐘差預(yù)報模型擬合殘差中仍存在非線性系統(tǒng)噪聲影響，本文提出并構(gòu)建了一種多項(xiàng)式結(jié)合周期項(xiàng)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的北斗超快速鐘差預(yù)報模型，設(shè)計了算法實(shí)現(xiàn)流程。利用國內(nèi)和國際兩家機(jī)構(gòu)北斗實(shí)測超快速鐘差產(chǎn)品進(jìn)行了算法測試驗(yàn)證。結(jié)果顯示：利用本文模型得到的北斗超快速鐘差產(chǎn)品，相比ISU精度提升約為10%～25%，相比GBU精度提升約為10%～15%。本文所構(gòu)建的北斗鐘差預(yù)報模型可用于提高目前我國北斗超快速鐘差產(chǎn)品精度，同時，所提模型對于僅有MEO星座的GPS、Galileo和GLONASS也具有一定的普適性。

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