均值不等式的認(rèn)識與應(yīng)用

吳晨

摘 要：均值不等式在不等式理論中處于比較重要的地位，也是數(shù)學(xué)中最重要的基本不等式之一。同時，它在數(shù)學(xué)中的各個領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。利用均值不等式，我們可以解決最值或者是數(shù)學(xué)其他方面的問題。因此，研究均值不等式有著很大的意義。本文在概述了均值不等式定義的基礎(chǔ)上，分析了兩種均值不等式典型的證明方法，最后論述了均值不等式的應(yīng)用，以加深人們對均值不等式的認(rèn)識和理解。

關(guān)鍵詞：均值不等式；認(rèn)識；應(yīng)用

一、均值不等式的概述

均值不等式，又稱為平均值不等式或者是平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個重要公式。它的表達式為Hn≤Gn≤An≤Qn，指的是調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)，簡單來說就是“調(diào)幾算方”。其中，

調(diào)和平均數(shù)：[Hn=ni=1n1ai=n1a1+1a2+…+1an]

幾何平均數(shù)：[Gn=i=1nain=a1a2…ann]

算術(shù)平均數(shù)：[An=i=1nain=a1+a2+…+ann]

平方平均數(shù)：[Qn=i=1na2in=a21+a22+…+a2nn]

二、均值不等式的證明方法

均值不等式的證明方法有很多，接下來我們就討論下泰勒公式法和不等式法這兩種典型的證明方法。

（一）泰勒公式法

設(shè)[fx=logxa]（00），于是有[fnx=-1x2lna>0]，將[fx]在[x0]展開，由泰勒公式我們可以得到[fx=fx0+fx0x-x0+fnx0x-x022]，因此有：

（二）不等式法

在均值不等式的證明方法中，有一個特殊的不等式ex≥1+x，我們就可以利用這個不等式進行推導(dǎo)。

三、均值不等式的應(yīng)用

均值不等式在不等式理論中占有重要的地位。同時，在我們的日常生活中也會利用到均值不等式。因此，均值不等式不管是在數(shù)學(xué)中還是在日常生產(chǎn)生活中的應(yīng)用都是十分廣泛的。

（一）均值不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.均值不等式在證明不等式中的應(yīng)用

通常情況下，一些不等式的證明都會采取比較法、綜合法和分析法等，但有些不等式在運用以上方法證明時會比較困難。因此，不等式的證明也會考慮均值不等式或者是均值不等式與綜合法相結(jié)合的方法，這種情況下我們就可以把復(fù)雜的問題簡單化。

例1：證明m2+n2+1≥mn+m+n。

由均值不等式我們可以知道m(xù)2+1≥2m，n2+1≥2n，m2+n2≥2mn，三個公式分別相加得到2（m2+n2+1）≥2（mn+m+n），因此m2+n2+1≥mn+m+n，原不等式成立。

例2：m，n，o是三個不相等的正數(shù)，而且mno=1，求[m+n+o<1m+1n+1o]。

[m+n+o=1mn+1no+1mo<1m+1n2+1n+1o2+1m+1o2=1m+1n+1o]得出，

[m+n+o<1m+1n+1o]。

2.均值不等式在求最值問題中的應(yīng)用

均值不等式是求最值最常用的方法之一，也是重要的知識點。通過觀察均值不等式，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果兩個正數(shù)的乘積為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時，它們的和有最小值；如果兩個正數(shù)的和為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)相等時，它們的乘積有最大值。所以，在利用均值不等式求最值問題中，一定要注意“一正二定三相等”這三個條件，這三個條件是缺一不可的?！耙徽敝傅氖撬笞钪档拇鷶?shù)中，各個變數(shù)都是正數(shù)；“二定”指的是各個變數(shù)的和或者是乘積都是常數(shù)，這樣才能確保不定式的一端為定值；“三相等”指的是各個變數(shù)必須有相等的可能，否則是無法利用均值不等來求最值問題的。

例3：如果0

因為0

例4：求下列函數(shù)的值域：

（1）[y=3x2+12x2]；（2）[y=x+1x]。

（1）[y=3x2+12x2]，∵[y=3x2+12x2≥2?3x2?12x2=6]，所以[y=3x2+12x2]值域是[6，+∞）。

（2）[y=x+1x]，主要分兩種情況來討論。

當(dāng)x>0時，[y=x+1x≥2?x?1x=2]；

當(dāng)x<0時，[y=x+1x=--x-1x≤-2?x?1x=-2]，

所以[y=x+1x]的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

（二）均值不等式在日常生活中的應(yīng)用

在日常生產(chǎn)生活中遇到的一些問題，如土地利用等問題，都可以用均值不等式來解決。接下來我們來討論下均值不等式在日常生活中的應(yīng)用。

1.土地利用

用一段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，求當(dāng)這個矩形的長與寬各是多少時，菜園的面積是最大的，最大的菜園面積是多少？

例5：我們首先設(shè)矩形菜園的長是xm，寬是ym，那么x+2y=36，矩形菜園的面積是S=xy=[12]x[?]2y，由[x?2y≤x+2y2]得到：

S=xy≤182/2=162m2，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，也就是x=18，y=9時等號成立。因此，矩形菜園的長是18m，寬是9m時，菜園的面積最大，最大的面積是162m2。

另外一種解題方法是，設(shè)矩形菜園的寬是xm，那么長是（36-2x）m，其中0

2.機械制造

機械制造業(yè)為各個行業(yè)的技術(shù)裝備提供了強有力的支持，也為其他行業(yè)的發(fā)展提供了不可忽視的基礎(chǔ)條件。在市場上，工廠為了滿足不同的生產(chǎn)需求就要生產(chǎn)不同種類和規(guī)格的零件。當(dāng)企業(yè)利用同樣的材料去制造不同的東西時，均值不等式就會派上用場。

例6：企業(yè)要求要用一塊鋼錠制造一個厚度均勻的正四棱錐形的有蓋容器，并且全面積是2，容器的高是h米，蓋子的邊長是xm，容器的容積是V，求當(dāng)x為多少米時，v最大，最大值是多少？

因為底面積是x2，所以容器的四個側(cè)面積都是[12x（x2）2+h2]，所以全面積是[S=x2+4?x2?x22+h2=2]，通過整理我們可以得出[x=1h2+1]（0

3.商品價格

近幾年，隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，企業(yè)也在突飛猛進的發(fā)展著。在一定條件下，銷售量是決定企業(yè)生存的根本，而價格是決定銷售量最重要的因素。一定范圍內(nèi)的加價，企業(yè)營業(yè)值會合理增長，但如果進行盲目加價，企業(yè)就有可能出現(xiàn)虧損的現(xiàn)象。在這種情況下，我們可以利用均值不等式來判斷企業(yè)價格的幅度，保證加價的合理性。

例7：某企業(yè)的商品計劃兩次提價，有A，B，C這三種方案，其中，m>n>0，如下表所示，問經(jīng)過兩次提價后，哪種方案的提價幅度較大？

設(shè)該商品的原價是a，兩次提價后按照A，B，C這三種方案的順序依次為P1，P2，P3，

則，P1=a（1+m%）（1+n%） P2=a（1+n%）（1+m%） P3=a（1+[m+n2]%）2，

因為m>n>0，所以（1+[m+n2]%）2=[[1+m%+（1+n%）2]2]>（1+m%）（1+n%），所以P1=P2

四、總結(jié)

均值不等式是重要的數(shù)學(xué)理論。它不僅在數(shù)學(xué)中的證明不等式和求最值中等方面的應(yīng)用很廣泛，同樣在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用也是非常廣泛的。我們要認(rèn)識到均值不等式的重要性，也要在應(yīng)用時注意其使用條件，創(chuàng)造性靈活使用而不是一味地使用均值不等式，只有這樣我們才可以合理利用均值不等式，真正發(fā)揮其最大作用。

參考文獻

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