學生“準代數(shù)思維”培養(yǎng)瑣思

劉愛霞

“準代數(shù)思維”是介于“算術思維”和“代數(shù)思維”之間的橋梁和紐帶。培養(yǎng)學生的“準代數(shù)思維”是數(shù)學教學的應有之義。在數(shù)學教學中，通過生活化孕育、數(shù)學化活動和反思性審視，可以啟蒙學生的關系思維、引發(fā)學生的符號思考、豐厚學生的代數(shù)思想。

眾所周知，小學階段的數(shù)學學習主要是“算術”，而初中階段的數(shù)學學習主要是“代數(shù)”。因此，許多教師對數(shù)學、數(shù)學教學的認識和實踐都存在誤區(qū)，比如認為小學低、中年級無須滲透代數(shù)思維，無須過早地涉及符號，等。在數(shù)學教學中，教師應該播種符號意識，啟蒙學生的“準代數(shù)思維”。

一、生活化孕育，啟蒙學生的關系思維

如果說，算術思維是一種程序性思維，那么準代數(shù)思維就是一種變量思維、關系思維。美國著名數(shù)學家卡彭特認為，“由算術思維到代數(shù)思維重要轉(zhuǎn)換標志之一就是從等號的程序觀念到等號的關系觀念的轉(zhuǎn)變?！鄙钪性杏S富的關系模型，比如蹺蹺板、天平等。教師要引領學生借助生活原型理解數(shù)量之間的關系、理解變量，讓學生的生活、經(jīng)驗與代數(shù)學習相互匹配、無縫鏈接，進而能夠建立準代數(shù)模型，發(fā)展學生準代數(shù)思維。

以蘇教版小學數(shù)學教材為例，一直到五年級下冊學習“簡易方程”，才重拾起等號的關系性作用。其實，在小學低年級數(shù)學教學中，教師就可以有意識地結合學生的生活經(jīng)驗，幫助學生形象地建構等號的關系觀念。如在小學一年級學習“整數(shù)的分與合”時，就可以借助學生熟悉的天平、蹺蹺板等（如圖），幫助學生形象地建立數(shù)學模型。

學生根據(jù)玩耍蹺蹺板的生活經(jīng)驗，能夠選擇相應的點數(shù)填入蹺蹺板右側的問號處。如5=5、5=1+4、5=2+3。不僅如此，在教學中，教師還可以啟發(fā)學生：蹺蹺板兩邊的數(shù)可以交換嗎？學生根據(jù)玩耍蹺蹺板平衡的生活經(jīng)驗，能夠發(fā)現(xiàn)如果蹺蹺板保持平衡，蹺蹺板兩邊的數(shù)就可以交換。如此，整數(shù)的合成學習就自然地轉(zhuǎn)變?yōu)檎麛?shù)的分解學習。這為學生在四年級學習整數(shù)加法乃至乘法的交換律奠定了堅實的基礎。

如此，學生對算式本身有了一種整體性、結構性的把握。

二、數(shù)學化活動，引發(fā)學生的符號思考

英國著名數(shù)理邏輯學家羅素曾經(jīng)這樣說：“什么是數(shù)學？數(shù)學就是符號加邏輯。”的確，作為數(shù)學的準代數(shù)化，一個明顯的標志就是學生數(shù)學學習的符號化。因此，在數(shù)學教學中，教師需要對學生進行積極的符號啟蒙，通過符號孕育、符號播種、符號創(chuàng)造等，引發(fā)學生的符號思考。比如對于這樣的文字題：“比一個數(shù)的4倍還少4是156，這個數(shù)是多少？”不少學生在學習中，總是受到文字題中的關鍵文字，比如“多”“少”等影響，而出現(xiàn)各式各樣的錯誤，如（156+4）×4、（156+4）÷4、156-4÷4等等。顯然，學生缺乏數(shù)學化活動，沒有對文字題展開深度分析，更沒有形成良好的符號意識和運用符號進行思維的能力。筆者在教學中，一方面引導學生畫線段圖，讓學生借助線段圖理解1份數(shù)、4份數(shù)等，然后理清它們之間的相等關系，列式解答。另一方面，引導學生進行符號分析，如將一個數(shù)看成小括號，這樣，復雜的文字題就被濃縮、改裝成簡約的符號算式——“（）×4-4=156”，將一個數(shù)看成字母△，這樣就形成了類似方程的符號模型——“△×4-4=156”，等等。著名的數(shù)學家萊布尼茨說：“符號的巧妙和符號的藝術，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節(jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！迸c文字不同，數(shù)學符號具有簡潔、形象、直觀、概括等特性。數(shù)學教學中，通過滲透、播種、啟蒙學生的符號意識，敏銳學生的符號感覺，激發(fā)學生的符號思考，讓學生經(jīng)歷數(shù)學符號產(chǎn)生、建構、運用的全過程。通過符號化的數(shù)學活動，發(fā)展學生的“準代數(shù)式思維”。

三、反思性審視，積淀學生的代數(shù)思想

法國著名思想家笛卡爾曾經(jīng)這樣說：“任何問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，任何數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，任何代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題?！苯虒W中，教師要引領學生不斷地進行數(shù)學反芻、數(shù)學反省、數(shù)學反思、數(shù)學批判，不斷地積淀、豐富學生的代數(shù)思想。

比如在五年級數(shù)學學習中，學生遇到了一道探索規(guī)律的題目：用小棒擺正方形，擺1個正方形需要4根小棒；擺2個正方形需要7根小棒，擺3個正方形需要10根小棒，擺10個正方形需要幾根小棒？擺100個正方形呢？100根小棒能夠擺幾個正方形呢？（如圖）

在探索規(guī)律的過程中，學生不斷地對小棒圖進行審視、反思，形成了基于不同思維方式的多種算式。如有學生以1根小棒作為起始，一個正方形就是1+3，兩個正方形就是1+2×3，三個正方形就是1+3×3……；有學生以一個正方形作為起始，這樣一個正方形就是4，兩個正方形就是4+3，三個正方形就是4+2×3……；有學生從正方形的個數(shù)上展開思考，一個正方形是4，兩個正方形是2×4-1×2，三個正方形是3×4-2×2……；有學生以上下左右線段為參照，如一個正方形是2+2，兩個正方形是2×2+3，三個正方形是2×3+4……。

在學生對小棒圖進行多向?qū)徱暎ㄗ笥铱础⑸舷驴?、整體看等）中，形成了多樣化的數(shù)學表達。如4+3×（n—1）、1+3n、2n+（n+1 ）、n+2（n+1）……在不斷地符號化審視中，學生不斷地建構，有效地積淀起學生的符號化能力、代數(shù)化思想。

這個過程是一個循序漸進、緩慢生長的過程。

培育學生的“準代數(shù)思維”是數(shù)學教學的應有之義。為此，教師要不斷地捕捉學生問題思考、問題解決過程中的“代數(shù)的種子”，既向?qū)W生呈現(xiàn)“算術程序或步驟”，又向?qū)W生呈現(xiàn)“代數(shù)關系或結構”。讓學生運用“代數(shù)的耳朵”和“代數(shù)的眼睛”初步思考問題、嘗試解決問題。學生在學習抽象、概括、驗證、建模以及預測等的過程中，逐步地形成“準代數(shù)素養(yǎng)”乃至“代數(shù)素養(yǎng)”。