函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題*

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(平湖中學(xué),浙江 平湖 314200)

1 考點(diǎn)回顧

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，貫穿了整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是高考數(shù)學(xué)中突出考查的主干知識(shí)，在歷年浙江省數(shù)學(xué)高考中都占非常大的比重.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用深化和提高了函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究.

函數(shù)的考查內(nèi)容包括：函數(shù)的概念與函數(shù)的表示方法；函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等；基本初等函數(shù)——指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)；函數(shù)與方程的關(guān)系；函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)通?？疾?個(gè)方面：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值或最值；用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題及方程等.在數(shù)學(xué)思想方法上突出考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力；在數(shù)學(xué)能力方面關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，以及知識(shí)遷移到新問(wèn)題中思考并靈活解決新問(wèn)題的綜合能力，重視學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的綜合素養(yǎng)的考查，檢測(cè)學(xué)生個(gè)體理性思維的廣度和深度，以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

2 典例剖析

2.1 函數(shù)的概念及性質(zhì)

例1存在函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x∈R,都有 ( )

A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+x)=|x+1|

分析2利用函數(shù)周期性和對(duì)稱性.對(duì)于選項(xiàng)A，令t=sin 2x,則t的最小正周期是π，而y=sinx的最小正周期是2π，兩者矛盾；對(duì)于選項(xiàng)B，令t=sin 2x，則t的最小正周期是π，而y=x2+x不是周期函數(shù)，兩者矛盾；對(duì)于選項(xiàng)C，令t=x2+1，則t關(guān)于x的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=0，而y=|x+1|的對(duì)稱軸為x=-1，兩者矛盾.故選D.

評(píng)注本題主要考查函數(shù)的概念，及對(duì)函數(shù)概念的深入理解，包括函數(shù)的定義域、值域、周期性等，這些是研究函數(shù)的重要依據(jù)和載體.

2.2 函數(shù)的圖像與函數(shù)的零點(diǎn)

例2已知函數(shù)

其中m>0，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)=b有3個(gè)不同的根，則m的取值范圍是______(答案：(3,+∞)).

分析當(dāng)x>m時(shí)，f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2，其頂點(diǎn)為(m,4m-m2)；

當(dāng)x≤m時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像與直線x=m的交點(diǎn)為Q(m,m).

圖1 圖2

綜上所述，m的取值范圍為(3,+∞)．

評(píng)注1)函數(shù)零點(diǎn)常與導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合用于判斷函數(shù)存在唯一零點(diǎn)等命題．解題時(shí)常先判斷函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)(存在性)，再說(shuō)明函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)即可(唯一性)．

2)當(dāng)題目不是求零點(diǎn)，而是利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或由零點(diǎn)求參數(shù)的范圍時(shí)，一般采用數(shù)形結(jié)合法．

3)研究方程f(x)=g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)．

4)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)，且f(x)的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b)<0?函數(shù)f(x)在[a,b]上只有一個(gè)零點(diǎn)．

5)轉(zhuǎn)化思想：方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題；已知方程有解求參數(shù)范圍問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題．

2.3 函數(shù)最值與參數(shù)范圍問(wèn)題

例3已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx．

1)若f(x)≥0，求a的值；

分析1)由f(1)=0知f(x)的最小值為0,對(duì)a>0和a<0這兩種情況進(jìn)行分類討論，得a=1.

2)求m的最小值:一方面，當(dāng)n=3時(shí)，

從而

m≥3．

另一方面，由第1)小題可得，當(dāng)x>0時(shí)，

x-1-lnx≥0，

即

lnx≤x-1，

從而

ln(x+1)≤x.

于是

因此m的最小值為3．

評(píng)注此題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題、放縮法研究不等式成立的條件、分類與整合思想、雙向驗(yàn)證確定最值的處理方式等．第1)小題容易讓人以為是恒成立問(wèn)題，疑惑為何不是求a的取值范圍，結(jié)合觀察所得特殊值f(1)=0，從而演變?yōu)樽钚≈祮?wèn)題.這種設(shè)問(wèn)方式有利有弊，優(yōu)點(diǎn)在于入手更快，缺點(diǎn)在于過(guò)分夸大了觀察特殊值的作用.第2)小題利用第1)小題的結(jié)論獲得不等式，層層推進(jìn)，拾級(jí)而上，水到渠成.

2.4 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)不等式的證明

分析用直線代替曲線，引進(jìn)中間函數(shù)，實(shí)現(xiàn)高效過(guò)渡.

從而g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，于是

fmin(x)=f(1)=1,

因此

故

f(x)>g(x).

圖3

評(píng)注證明f(x)>g(x)，從形的角度來(lái)看對(duì)于任意的一個(gè)值x，都有函數(shù)y=f(x)的圖像在函數(shù)y=g(x)圖像的上方，因此，兩個(gè)函數(shù)圖像中間一定是有空隙的，可以有很多曲線可以從空隙中穿過(guò)，也可能會(huì)有直線穿過(guò).從數(shù)的角度來(lái)理解在兩個(gè)函數(shù)中間可以尋找一個(gè)中間函數(shù)，但是最好有線性函數(shù)，對(duì)于解決問(wèn)題效果更明顯.本題恰好兩個(gè)函數(shù)圖像之間可以穿越若干條直線，并且和y軸垂直的直線也有很多條，因此選擇其中一條和y軸垂直的直線作為中間過(guò)渡量(如圖3所示)，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的高效過(guò)渡.

3 精題集萃

1.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M-m( )

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)

B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)

D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第5題)

B.(0,1]∪[3,+∞)

(2017年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

3.若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為 ( )

A.-1 B.-2e-3C.5e-3D.1

(2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第11題)

6.已知函數(shù)f(x)=ax-x2-lnx，若函數(shù)f(x)存在極值，且所有極值之和小于5+ln 2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

7.若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=______.

8.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(其中a>0,b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值).

1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

2)證明：b2>3a；

9.已知函數(shù)f(x)=-x2+2bx+c，設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M．

1)若b=2，求M的值；

2)若M≥k對(duì)任意的b,c恒成立，試求k的最大值．

1)討論f(x)的單調(diào)性；

參考答案

8.1)解因?yàn)閒(x)=x3+ax2+bx+1,所以

f′(x)=3x2+2ax+b.

于是

又f(x)有極值，從而f′(x)=0有解，即

Δ=4a2-12b>0,

解得

a>3.

由a>3，得g(a)>0，從而b2>3a.

(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)+a(x1+

x2)2+b(x1+x2)-2ax1x2+2,

f(x1)+f(x2)=

于是

2a3-63a-54≤0,

即

2a3-12a2+12a2-63a-54≤0，

故

(a-6)(2a2+12a+9)≤0.

綜上所述，a∈(3,6].

9.解1)當(dāng)b=2時(shí)，f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)，則

M=max{g(-1),g(1)}.

又因?yàn)間(-1)=|-5+c|,g(1)=|3+c|，所以

2)利用絕對(duì)值不等式.由題意得f(0)=c,f(1)=-1+2b+c,f(-1)=-1-2b+c,從而

2f(0)-[f(1)+f(-1)]=2,

即 2= |2f(0)-[f(1)+f(-1)]|≤

2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|≤4M,

于是

當(dāng)且僅當(dāng)

10.1)解f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得

①當(dāng)a≤0時(shí)，由f′(x)>0，得01,從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為[1,+∞).

②當(dāng)0

③當(dāng)a=2時(shí)，

從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

2)證明當(dāng)a=1時(shí)，

因?yàn)閤∈[1,2],lnx

h(t)=-2t3+t2+3t=-t(t+1)(2t-3),

因此不等式成立.