基于改進(jìn)二分法的線導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)線布放運(yùn)動(dòng)研究

張 潔，劉衛(wèi)東，湯偉江，高立娥

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué) 水下信息與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；3.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第705研究所，西安 710077)

0 引言

導(dǎo)線布放運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的研究是放線系統(tǒng)的主要內(nèi)容，其可以分為兩個(gè)階段：導(dǎo)線在放線裝置中的布放運(yùn)動(dòng)和導(dǎo)線在海水中的布出運(yùn)動(dòng)。本文所研究的為導(dǎo)線在放線裝置中的布放運(yùn)動(dòng)。該內(nèi)容國(guó)內(nèi)目前尚無人研究。

導(dǎo)線在放線裝置中的布放形式分為外放線和內(nèi)放線形式。相對(duì)于外放線而言，內(nèi)放線對(duì)所用導(dǎo)線的強(qiáng)度要求不高。內(nèi)放線使用的線團(tuán)是通過將導(dǎo)線一圈一圈地纏繞在繞線芯軸上，然后抽出繞線芯軸制作而成[1]。放線時(shí)，海水從放線裝置的注水口進(jìn)入線團(tuán)中空的內(nèi)腔，不僅可以支撐線團(tuán)而且可以使導(dǎo)線在海水的作用下從線團(tuán)的內(nèi)層逐層放出，最終導(dǎo)線布放的終止點(diǎn)和導(dǎo)線纏繞的起始點(diǎn)相同[1-2]。研究放線裝置中導(dǎo)線的受力狀況，建立放線裝置中導(dǎo)線布放動(dòng)力模型，這對(duì)于考慮導(dǎo)線布放過程中的影響因素至關(guān)重要。

1 導(dǎo)線布放動(dòng)力學(xué)模型

圖1 導(dǎo)線布放柱坐標(biāo)

1.1 導(dǎo)線動(dòng)能分析

(1)

其中:Pn為放線裝置中導(dǎo)線脫離線團(tuán)的位置；P0為放線裝置出口位置；ρ為導(dǎo)線的密度，即單位長(zhǎng)度導(dǎo)線質(zhì)量；A為導(dǎo)線的橫截面積。

1.2 導(dǎo)線勢(shì)能分析

放線裝置出口對(duì)導(dǎo)線施加的初始拉力T0在布放過程中由P0和Pn之間的導(dǎo)線共同承擔(dān)。不同位置處導(dǎo)線微元所承擔(dān)的拉力不同，其大小由該處導(dǎo)線微元離z的距離，即導(dǎo)線微元在該處的彎曲半徑?jīng)Q定。假設(shè)導(dǎo)線微元P到z軸的距離為rp，則P處導(dǎo)線微元所承受放線裝置出口位置拉力大小為：

其中：T0為放線裝置出口施加的初始拉力；m為導(dǎo)線微元P和放線裝置出口之間導(dǎo)線的質(zhì)量；w為導(dǎo)線相對(duì)于繞線芯軸轉(zhuǎn)速大小。

(2)

其中：T為放線裝置中不同位置處導(dǎo)線微元所受放線裝置出口的拉力。

1.3 流體力分析

放線裝置中導(dǎo)線在海水環(huán)境下進(jìn)行布放，因此流體力扮演著重要角色。導(dǎo)線所受流體力不僅與自身的材料特性，周圍海水的密度有關(guān)，同時(shí)也與導(dǎo)線的布放速度密切相關(guān)。放線裝置中導(dǎo)線受到的流體力[3-4]為：

(3)

1.4 動(dòng)力學(xué)模型

導(dǎo)線在放線裝置中不斷脫離線團(tuán)，通過放線通道布入海水，所以放線裝置中導(dǎo)線的質(zhì)量不斷發(fā)生變化，即該放線系統(tǒng)為變質(zhì)量系統(tǒng)。為了建立導(dǎo)線在放線裝置中的動(dòng)力學(xué)模型，引入McIver提出的改進(jìn)的變質(zhì)量系統(tǒng)Hamilton原理[5]:

(4)

其中：δK為系統(tǒng)動(dòng)能的變分形式；δE為系統(tǒng)勢(shì)能的變分形式；δW1為放線裝置中導(dǎo)線在流體力作用下的虛功；δW2為放線裝置中動(dòng)量的變化，δW1和δW2的計(jì)算公式分別為：

(5)

將式(1)～(3)、(5)代入式(4)，可以得到放線裝置中導(dǎo)線的連續(xù)型動(dòng)力學(xué)模型:

(6)

1.5 離散型模型

(7)

(8)

其中：α=0.25，β=0.5。

將式(8)代入式(9)可以得到放線裝置中導(dǎo)線離散型動(dòng)力學(xué)模型為：

(9)

則根據(jù)放線裝置中導(dǎo)線動(dòng)力學(xué)方程(9)可以由前一時(shí)刻導(dǎo)線的狀態(tài)求得后一時(shí)刻導(dǎo)線的狀態(tài)。

3 改進(jìn)的二分法

將一維非線性方程的傳統(tǒng)解法——二分法進(jìn)行改進(jìn)，使其在高維非線性方程組中可用。在使用改進(jìn)的二分法求解非線性方程組時(shí)只需要知道包含方程組符號(hào)相反的根的區(qū)間即可，在該區(qū)間內(nèi)通過中點(diǎn)優(yōu)化法來逐漸逼近方程組的根。

首先對(duì)求解一維非線性方程的二分法進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的陳述。二分法也稱對(duì)稱法，是求解一維非線性方程根的一種最基本的數(shù)值解法，它的思想十分簡(jiǎn)單，即如果方程在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)發(fā)生變化，則該區(qū)間一定包含方程的根?；诖怂枷肟梢杂^察非線性方程在區(qū)間兩端的符號(hào)，如果兩端符號(hào)相反，就用區(qū)間中點(diǎn)代替與中點(diǎn)具有相同符號(hào)的端點(diǎn)值[7]。每經(jīng)過如上所述的一次優(yōu)化，包含方程根的區(qū)間長(zhǎng)度就減小一半，優(yōu)化n次后包含方程跟的區(qū)間大小將會(huì)是原有區(qū)間的(1/2)n，所以只要n足夠大，即優(yōu)化的次數(shù)足夠多，就可以將長(zhǎng)度為(1/2)n的區(qū)間中點(diǎn)作為方程的近似根。

以上所述的二分法僅針對(duì)一維非線性方程根的求解，并不適用于高維非線性方程組。這里通過將傳統(tǒng)二分法以嵌套的形式進(jìn)行擴(kuò)展，使其可以用于高維非線性方程組。為了便于理解，以一個(gè)三維非線性方程組為例來對(duì)改進(jìn)的二分法進(jìn)行說明。設(shè)一個(gè)三維非線性方程組：

(11)

其方程組根中3個(gè)元素所在的區(qū)間(該區(qū)間也可以通過簡(jiǎn)單的尋優(yōu)來獲得)分別為x∈(a,b)，y∈(c,d)，z∈(e,f)，在區(qū)間(a,b)中，f1(a,y,z)*f1(b,y,z)<0；在區(qū)間(c,d)中，f2(x,c,z)*f2(x,d,z)<0；在區(qū)間(e,f)中，f3(x,y,e)*f3(x,y,f)<0；并且取(x0,y0,z0)作為方程組的初值，其中x0∈(a,b)，y0∈(c,d)，z0∈(e,f)。對(duì)于該非線性三維方程組可以通過三層嵌套來求解，其求解可以總結(jié)步驟如下：

1)第一層嵌套，取x為自變量，y0，z0為已知參數(shù)，對(duì)f1(x,y0,z0)=0運(yùn)用傳統(tǒng)二分法，得到x相對(duì)f1(x,y0,z0)=0的一個(gè)近似解x*；

2)第二層嵌套，取y為自變量，x*，z0為已知參數(shù)，對(duì)f2(x*,y,z0)=0運(yùn)用傳統(tǒng)二分法，得到y(tǒng)相對(duì)于f2(x*,y,z0)=0的一個(gè)近似解y*；

3)第三層嵌套，取z為自變量，x*，y*為已知參數(shù)，對(duì)f3(x*,y*,z)=0運(yùn)用傳統(tǒng)二分法，得到z相對(duì)于f3(x*,y*,z)=0的一個(gè)近似解z*；

4)令x0=x*，y0=y*，z0=z*，重復(fù)步驟1)，2)，3)，直到非線性方程組F(x)=0滿足給定的精度。

將以上所述述的改進(jìn)二分法運(yùn)用于本文的導(dǎo)線布放動(dòng)力學(xué)方程求解的程序流程如圖2所示。

圖2 程序流程圖

4 仿真分析

依據(jù)上述模型，在沿z軸負(fù)方向布放速度V大小不同的情況下對(duì)放線裝置中導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行仿真分析。導(dǎo)線布放時(shí)，海水從放線裝置的注水口進(jìn)入線團(tuán)內(nèi)腔，對(duì)中空線團(tuán)起到一個(gè)支撐的作用同時(shí)也使導(dǎo)線的布放運(yùn)動(dòng)受到流體力的影響，流體力的大小由海水密度、導(dǎo)線材料特性等決定，這里取海水密度為1024kg/m3，海水的流體力系數(shù)1.2；所選用的導(dǎo)線直徑為0.44mm，導(dǎo)線的密度即單位長(zhǎng)度導(dǎo)線質(zhì)量為0.205e-3kg/m；線團(tuán)半徑，即線團(tuán)內(nèi)壁到z軸的距離為0.123m，本文僅研究放線裝置中導(dǎo)線退繞一圈時(shí)導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以導(dǎo)線脫離線團(tuán)的點(diǎn)Pn和放線裝置出口P0位置之間的垂直距離恒定不變，為0.05m；同時(shí)線團(tuán)半徑即線團(tuán)內(nèi)壁和z軸之間的距離也恒定不變，為0.123m。

在放線裝置出口位置對(duì)導(dǎo)線施加6N的拉力，在該拉力情況下，當(dāng)沿著z軸負(fù)方向的布放速度V=6 m/s時(shí)，導(dǎo)線的布放狀態(tài)如圖2和 圖3所示；當(dāng)沿著z軸負(fù)方向的布放速度為V=12m/s時(shí)，導(dǎo)線的布放狀態(tài)如圖4和 圖5所示。

圖3 V=12 m/s時(shí)導(dǎo)線彎曲半徑和垂直位移的關(guān)系圖

圖4 V=12 m/s時(shí)導(dǎo)線的極坐標(biāo)圖

圖5 V=12 m/s時(shí)導(dǎo)線彎曲半徑和垂直位移的關(guān)系圖

圖6 V=12 m/s時(shí)導(dǎo)線的極坐標(biāo)圖

仿真圖3和圖5的每一根曲線分別描述了該時(shí)刻中放線裝置中導(dǎo)線布放運(yùn)動(dòng)時(shí)不同位置導(dǎo)線微元的彎曲半徑(導(dǎo)線微元和r軸之間的距離)和垂直位移(導(dǎo)線微元和放線裝置出口P0之間的垂直距離)的關(guān)系，可以看出沿z軸負(fù)方向布放速度恒定時(shí)，隨著導(dǎo)線的布放，相同垂直位移所對(duì)應(yīng)導(dǎo)線微元的彎曲半徑逐漸增大，因?yàn)榫€團(tuán)是錐形的，所以導(dǎo)線微元的彎曲半徑可能會(huì)超過線團(tuán)半徑(線團(tuán)內(nèi)壁和z軸之間的垂直距離)。但是比較圖3和圖5可以發(fā)現(xiàn)沿z軸負(fù)方向的布放速度增大時(shí)，導(dǎo)線完成一圈布放時(shí)導(dǎo)線微元能達(dá)到的最大彎曲半徑減小。結(jié)合圖4和圖6的極坐標(biāo)圖，也就是說當(dāng)沿z軸負(fù)方向的布放速度增大時(shí)，放線裝置中導(dǎo)線長(zhǎng)度變化減小。這是由于在相同初始拉力下，導(dǎo)線脫離線團(tuán)的速度相等，但是沿z軸速度增大時(shí)，布出放線裝置的速度也相對(duì)增大。

5 總結(jié)

分析放線裝置中導(dǎo)線布放運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、勢(shì)能以及流體力，基于改進(jìn)的變質(zhì)量系Hamilton原理建立連續(xù)型導(dǎo)線布放動(dòng)力學(xué)模型；采用有限差分法和隱式Newmark積分法對(duì)連續(xù)型動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行離散化，得到離散型動(dòng)力學(xué)方程；通過改進(jìn)的二分法對(duì)離散型動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解，并用MATLAB軟件進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明放線裝置中導(dǎo)線完成一圈的布放運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，導(dǎo)線的彎曲半徑逐漸增大，在這個(gè)過程中放線裝置中導(dǎo)線的長(zhǎng)度和質(zhì)量在不斷變化，但是當(dāng)沿z軸負(fù)方向的布放速度增大時(shí)，放線裝置中完成一圈布放時(shí)導(dǎo)線長(zhǎng)度和質(zhì)量的變化相對(duì)較小。

[1] 高繼和. 線導(dǎo)魚雷放線系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008.

[2] 魏 巍, 周學(xué)軍, 李 光. 微型海光纜水下高速布放研究[J]. 船舶工程, 2008, 30(4):31-60.

[3]LeeJW,AnDM,YooWS.Derivationofequationsofmotionofanunwindingcablefromacylindricalspoolpackage[J].JournalofMechanicalScienceandTechnology, 2011, 25(5): 1287-1296.

[4]LeeJW.Predictionofunwindingbehaviorsandproblemsofcablesfrominner-windingspooldispensers[J].NonlinearDynamics, 2012, 67(3): 1791-1809.

[5]MciverDB,Hamilton’sprincipleforsystemofchangingmass[J].JournalofEngineeringMathematics,1973，(7)3:249-261.[6]NewmarkNM.Amethodofcomputationforstructuraldynamic[J].ASCEJournalofEngineeringMechanicsDivision,1959,85:67-94.

[7] 王 飛. 海洋勘探拖曳系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)仿真與控制技術(shù)[D]. 上海: 上海交通大學(xué), 2006.