胡江濤,曹云峰
(南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院,南京 210016)
機(jī)電伺服作動(dòng)系統(tǒng)(electromechanical actuator,EMA)是航空航天、軍事、交通和工農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)備中一類位置伺服控制系統(tǒng)的總稱,通過(guò)控制電動(dòng)機(jī)運(yùn)行直接或間接地控制負(fù)載的運(yùn)動(dòng),實(shí)現(xiàn)控制對(duì)象的位置控制。
目前,全電飛機(jī)(all electric aircraft, AEA)在歐美各國(guó)都有相關(guān)研究,并且已經(jīng)進(jìn)入實(shí)際試飛試驗(yàn)階段,而國(guó)內(nèi)也有相關(guān)研究,但沒(méi)有足夠的工程設(shè)計(jì)和相關(guān)試驗(yàn)。EMA代替液壓功率系統(tǒng)作為飛控系統(tǒng)作動(dòng)器是全電飛機(jī)技術(shù)發(fā)展的核心內(nèi)容,國(guó)內(nèi)在無(wú)人機(jī)、導(dǎo)彈[1-2]等領(lǐng)域已經(jīng)有了一定的研究成果。
電動(dòng)舵機(jī)作為飛控系統(tǒng)的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu),其靜動(dòng)態(tài)性能直接決定著飛行器的飛行品質(zhì),而舵機(jī)中非線性因素的存在容易引起舵機(jī)靜動(dòng)態(tài)性能的下降,甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定,因此對(duì)電動(dòng)舵機(jī)的非線性因素進(jìn)行建模分析是實(shí)現(xiàn)快速、高精度控制要求的重要前提。總結(jié)現(xiàn)有研究基礎(chǔ)可知,電動(dòng)舵機(jī)的非線性因素主要包括間隙、摩擦、剛度和飽和等,主要存在于EMA的機(jī)械傳動(dòng)鏈中,但目前用于控制器研究的電動(dòng)舵機(jī)模型對(duì)非線性的考慮未充分結(jié)合EMA系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。EMA的機(jī)械傳動(dòng)鏈主要有3種:(齒輪副)-渦輪-蝸桿、齒輪-齒條、齒輪副-絲杠,其中循環(huán)滾珠絲杠是目前EMA中應(yīng)用最廣泛的形式,具有效率高、不存在反向自鎖等特點(diǎn)。美國(guó)NASA在EPAD(electrically powered actuation design)項(xiàng)目中,在F/A-18B系統(tǒng)試驗(yàn)機(jī)(systems research aircraft, SRA)上正是用滾珠絲杠式EMA代替了左副翼的液壓作動(dòng)器,與右副翼標(biāo)準(zhǔn)液壓作動(dòng)器進(jìn)行了全面的對(duì)比研究,得到結(jié)果表明兩者性能十分接近。因此本文針對(duì)滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)的非線性特性,提出了一種更加完善電動(dòng)舵機(jī)建模方法,適用于其他伺服系統(tǒng),在機(jī)電伺服控制系統(tǒng)研究中具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。
間隙[3]非線性來(lái)源于電動(dòng)舵機(jī)的機(jī)械傳動(dòng)部分,是由于零部件的加工、裝配誤差和磨損等造成的非線性位置誤差,發(fā)生在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)或者直線運(yùn)動(dòng)的部件之間[4]。間隙的存在不僅會(huì)使舵機(jī)零部件之間的輸入與輸出產(chǎn)生偏差,而且系統(tǒng)性能會(huì)因?yàn)闆_擊的存在變得不穩(wěn)定,降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。隨著控制要求的提高和間隙非線性研究的深入,間隙模型經(jīng)歷不斷的完善,本文采用的是間隙的死區(qū)模型[5],間隙的簡(jiǎn)化示意圖和死區(qū)模型的數(shù)學(xué)描述如下:
圖1 間隙示意圖
(1)
此模型中k是剛度系數(shù),c是阻尼系數(shù)。因此間隙的死區(qū)模型不僅意味著電動(dòng)舵機(jī)的間隙非線性,而且考慮了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的軸向剛度或者扭轉(zhuǎn)剛度。舵機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的柔性體在舵機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生彈性形變,引起振動(dòng)[6],而且會(huì)造成穩(wěn)態(tài)誤差。因此死區(qū)模型在描述間隙非線性的同時(shí),考慮了系統(tǒng)剛度及阻尼的影響,更符合實(shí)際。
死區(qū)模型[7]描述的間隙非線性不同于簡(jiǎn)單的輸入與輸出的位移關(guān)系,其輸入是相對(duì)位移,輸出是力矩,即死區(qū)模型通過(guò)驅(qū)動(dòng)與從動(dòng)之間的傳遞力矩描述了間隙非線性。
模型非線性因素中,摩擦[8-9]產(chǎn)生于舵機(jī)零部件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),嚴(yán)重影響了舵機(jī)伺服系統(tǒng)的控制精度,限制了控制系統(tǒng)的帶寬。摩擦對(duì)控制精度影響的主要表現(xiàn)是在低速運(yùn)行時(shí),容易造成“爬行”和波形失真現(xiàn)象,并增大了系統(tǒng)的靜態(tài)誤差,甚至引起極限環(huán)振蕩[10]。
圖2 接觸面間的剛毛
為了消除摩擦對(duì)舵機(jī)控制性能的影響,對(duì)摩擦非線性環(huán)節(jié)的研究至關(guān)重要。目前,動(dòng)態(tài)摩擦模型中的LuGre模型在摩擦補(bǔ)償研究中得到了廣泛的應(yīng)用,因?yàn)橄啾绕渌Σ聊P?,LuGre模型更為完善,更全面得描述了摩擦的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和非線性特性[11]。LuGre模型[12]原理是將接觸面看成大量彈性鬃毛的接觸,其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下,參數(shù)見(jiàn)表1。
(2)
(3)
g(ω) =TC+ (TS-TC)e-(ω/ωs )2
(4)
表1 空載下不同間隙系統(tǒng)性能對(duì)比
間隙、摩擦非線性主要存在于電動(dòng)舵機(jī)傳動(dòng)部分的結(jié)合處,本文提出的非線性研究方案如表2所示,并將其作為電動(dòng)舵機(jī)建模的依據(jù)。
表2 非線性研究方案
因此,在進(jìn)行建模時(shí)分別在齒輪副和滾珠絲杠副中加入摩擦環(huán)節(jié)和間隙環(huán)節(jié),分別研究間隙、摩擦非線性對(duì)電動(dòng)舵機(jī)控制系統(tǒng)性能的影響。
本文研究的電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)[13]可以簡(jiǎn)單分為以下幾個(gè)部分:
1)伺服驅(qū)動(dòng)器;
2)永磁無(wú)刷直流電機(jī);
3)機(jī)械傳動(dòng)鏈(齒輪副和滾珠絲杠副);
4)舵面負(fù)載(撥叉、舵葉和鉸鏈負(fù)載);
5)傳感器(電位計(jì)和增量式光電編碼器)。
圖3是一個(gè)典型的電動(dòng)舵機(jī)示意圖,電動(dòng)舵機(jī)的工作原理是飛控計(jì)算機(jī)發(fā)出一個(gè)指令信號(hào)驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng),后經(jīng)過(guò)齒輪副、滾珠絲杠副和撥叉減速后帶動(dòng)舵面偏轉(zhuǎn)。本節(jié)將整個(gè)電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)分為以上5個(gè)部分,逐個(gè)研究并建立相應(yīng)的框圖模型。
圖3 電動(dòng)舵機(jī)原理圖
電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)的伺服驅(qū)動(dòng)器由控制器和功率放大器組成,其輸入是舵軸的的偏轉(zhuǎn)角度θ;輸出是驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的電壓值Vc,且放大器Ku存在飽和電壓Vsat。
飛行器舵面控制中,最常見(jiàn)的控制策略是比例-微分(PD)控制和速度反饋控制[14]。PD控制與速度反饋相比抗干擾能力有所不足,微分器對(duì)高頻噪聲有放大作用,而速度反饋信號(hào)噪聲成分很弱,因此本文研究采用速度反饋控制Gc,其位置反饋信號(hào)θ′來(lái)自與舵軸同軸相連的電位計(jì),而速度反饋信號(hào)來(lái)自電機(jī),并不是飛行器舵面,即編碼器與電機(jī)軸相連,測(cè)量的是電機(jī)軸的角速度。
假設(shè)從電機(jī)軸到舵軸的傳動(dòng)比為N,那么可通過(guò)電機(jī)軸的角速度ωm得到舵軸的理想角速度ω:
(5)
按傳動(dòng)比進(jìn)行縮放后,角速度信息作為反饋輸入控制器得到閉環(huán)傳遞函數(shù)如下:
(6)
其中:Vc為伺服驅(qū)動(dòng)器的輸出電壓,即電機(jī)的輸入電壓,其余參數(shù)見(jiàn)表3??紤]放大器的飽和情況,得到電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)控制部分的框圖模型。
圖4 伺服驅(qū)動(dòng)器框圖模型
無(wú)刷直流電機(jī)的電樞回路特性可以用如下一階傳遞函數(shù)表
表3 電動(dòng)舵機(jī)參數(shù)表
示,參數(shù)見(jiàn)表2,
Ic=Ge(Vc-Ceωm)
(7)
其中:
(8)
τe和1/R分別是電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)和開(kāi)環(huán)增益,Ic為電樞電流。
電機(jī)的力矩平衡方程為:
T=CmIc
(9)
(10)
圖5 電機(jī)框圖模型
從圖5中可以看出,直流無(wú)刷電機(jī)機(jī)械部分的傳遞函數(shù)為:
(11)
忽略限幅和摩擦,整個(gè)無(wú)刷直流電機(jī)的輸入Vc輸出ωm的關(guān)系可用以下方程表示:
(12)
電動(dòng)舵機(jī)的機(jī)械部分包括電機(jī)轉(zhuǎn)子、機(jī)械傳動(dòng)鏈和舵葉,而本節(jié)選取由齒輪副、滾珠絲杠副和撥叉構(gòu)成的機(jī)械傳動(dòng)鏈作為建模對(duì)象,電機(jī)轉(zhuǎn)子輸出軸與齒輪副相連,經(jīng)過(guò)齒輪副減速后帶動(dòng)滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng),再轉(zhuǎn)換為螺母的直線運(yùn)動(dòng),帶動(dòng)撥叉在撥叉口內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng),撥叉與舵軸固連,最終驅(qū)動(dòng)舵面轉(zhuǎn)動(dòng)。
根據(jù)上文中提出的非線性研究方案,將電動(dòng)舵機(jī)的機(jī)械傳動(dòng)鏈分為3個(gè)部分進(jìn)行研究,其數(shù)學(xué)描述和框圖模型如下:
2.3.1 齒輪副和滾珠絲杠(包含摩擦)
第一部由齒輪副和滾珠絲杠組成,其輸入為電機(jī)軸的轉(zhuǎn)角θm,輸出為滾珠絲杠的角速度ω1。假設(shè)齒輪副的傳動(dòng)比為n1,齒輪副對(duì)電機(jī)軸的反作用力矩可表示為:
T1=k(θm-n1θ1)
(13)
其中:k為剛度系數(shù)。那么第一部分的力矩平衡方程如下:
(14)
(15)
考慮齒輪副的摩擦,將LuGre摩擦模型加入第一部分得到其模型框圖[15]見(jiàn)圖6。
圖6 傳動(dòng)鏈第一部分模型框圖
從圖6中可以看出,將該部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量折算到電機(jī)軸得到J1,其傳遞函數(shù)為:
(16)
忽略摩擦,第一部分的輸入θm輸出ω1的關(guān)系可用以下方程表示:
(17)
2.3.2 螺母(包含間隙)
第二部分為滾珠絲杠副中的螺母,其輸入為滾珠絲杠的轉(zhuǎn)角θ1,輸出為螺母的直線運(yùn)動(dòng)速度v。滾珠絲杠副的傳動(dòng)比n2與其導(dǎo)程s相關(guān),可表示為:
(18)
第二部分的輸入信號(hào)由滾珠絲杠的角位移θ1轉(zhuǎn)換為螺母的直線位移命令:
(19)
添加間隙環(huán)節(jié)Gx,得到第二部分的力平衡方程如下:
F2=Gx(x-x′)
(20)
(21)
圖7 傳動(dòng)鏈第二部分模型框圖
從圖7中可以看出,螺母的傳遞函數(shù)為:
(22)
忽略間隙,第二部分的輸入θ1輸出v的關(guān)系可用以下方程表示:
(23)
2.3.3 撥叉和舵葉
第三部分由撥叉和舵葉組成,其輸入為螺母的直線運(yùn)動(dòng)距離x3,輸出為舵軸的角位移θ′。撥叉到撥銷的減速比為:
(24)
(25)
第三部分的力矩平衡方程為:
T3=k(θ3-θ′)
(26)
(27)
其中:θ′為螺母真實(shí)發(fā)生的位移,Tload為舵葉收到的鉸鏈力矩,而第三部分對(duì)螺母的反作用力可表示為:
(28)
根據(jù)以上動(dòng)力學(xué)方程,得到第三部分的框圖模型如圖8所示。
圖8 傳動(dòng)鏈第三部分模型框圖
從圖8中可以看出,將該部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量折算到舵軸得到J3,其傳遞函數(shù)為:
(29)
第三部分的輸入x3輸出θ′的關(guān)系可用以下方程表示:
(30)
基于以上框圖模型,最終得到滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)的模型如圖9所示。其中,總傳動(dòng)比:
(31)
參數(shù)見(jiàn)表2,單位均為基本標(biāo)準(zhǔn)單位。
圖9 電動(dòng)舵機(jī)整體框圖模型
為了下節(jié)對(duì)比研究非線性因素對(duì)電動(dòng)舵機(jī)控制性能的影響,本節(jié)首先對(duì)未加入間隙、摩擦環(huán)節(jié)的電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。模型中采用速度反饋控制,其比例控制系數(shù)Gc=600,速度反饋系數(shù)Kω=600。
空載時(shí)的階躍響應(yīng)曲線如圖10所示,可以看出系統(tǒng)的上升時(shí)間為7ms,調(diào)節(jié)時(shí)間為15ms,無(wú)超調(diào),穩(wěn)態(tài)誤差為零。
圖10 階躍信號(hào)下角位置跟蹤曲線
在Simulink中建立電動(dòng)舵機(jī)模型,此仿真采用定步長(zhǎng)ode3解算器,設(shè)置步長(zhǎng)為1e~7s,并將間隙環(huán)節(jié)添加在傳動(dòng)鏈的滾珠絲杠副內(nèi),分別設(shè)定滾珠絲杠副中存在的軸向間隙為0mm、0.005mm、0.1mm、0.25mm,分析空載和負(fù)載下系統(tǒng)的響應(yīng)。在空載下做正弦運(yùn)動(dòng),不同間隙下舵機(jī)系統(tǒng)舵軸的角位移、角速度、接觸力如圖11~13所示。
圖11 不同間隙時(shí)舵軸角位移 圖12 不同間隙時(shí)舵軸角速度
圖13 不同間隙時(shí)接觸力
結(jié)合表1分別分析角位移、角速度和接觸力的仿真結(jié)果,可以看出當(dāng)輸入的間隙值增大時(shí),相比無(wú)間隙時(shí)響應(yīng)曲線的偏差也隨之增大,具體的表現(xiàn)有所不同。圖11表明間隙的存在會(huì)使得位置跟蹤曲線在峰值處發(fā)生畸變,且畸變的程度隨著間隙的增大而增大。這種現(xiàn)象反映了驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)停轉(zhuǎn)后,從動(dòng)機(jī)構(gòu)由于慣性和間隙的存在繼續(xù)往前運(yùn)動(dòng),出現(xiàn)“超出”現(xiàn)象,后與另一接觸面碰撞接觸,被推動(dòng)開(kāi)始朝反方向運(yùn)動(dòng)。圖12表明間隙的存在會(huì)使得速度跟蹤曲線在過(guò)零位置發(fā)生畸變,且畸變程度隨著間隙的增大而增大。這種現(xiàn)象反映了從動(dòng)機(jī)構(gòu)與另一接觸面發(fā)生碰撞,造成速度的劇烈波動(dòng),而不是按照正弦規(guī)律穩(wěn)定持續(xù)變化;圖13表明接觸力曲線由正弦持續(xù)變化,隨著間隙的增大變成了脈沖狀,且接觸力峰值隨著間隙的增大而增大,并呈周期變化。
輸入1°的階躍信號(hào),并設(shè)定間隙大小為0.18mm,折算到舵軸為0.1°。通過(guò)仿真可得到電動(dòng)舵機(jī)受間隙影響的跟蹤曲線如下圖,系統(tǒng)輸出達(dá)到BIBO穩(wěn)定后按固定頻率振蕩,振蕩幅值為0.1°,與輸入間隙相等。這種現(xiàn)象具有普遍性,改變間隙大小獲得相同結(jié)果,說(shuō)明間隙對(duì)系統(tǒng)輸出的影響主要與減速比相關(guān),輸出對(duì)傳動(dòng)鏈末端的間隙更加敏感。
圖14 間隙時(shí)EMA系統(tǒng)階躍響應(yīng)
在Simulink中建立電動(dòng)舵機(jī)模型,此仿真采用變步長(zhǎng)ode15s解算器,并將摩擦環(huán)節(jié)添加在齒輪副。在實(shí)際應(yīng)用中,為了反映LuGre模型中參數(shù)受溫度、潤(rùn)滑、材料磨損的影響而引起摩擦力矩的變化。引入摩擦系數(shù)λ來(lái)反映摩擦力矩的變化趨勢(shì)。在正常情況下,系統(tǒng)的摩擦扭矩是標(biāo)準(zhǔn)值。當(dāng)LuGre模型中的參數(shù)發(fā)生變化時(shí),摩擦力矩就會(huì)改變,這種變化通過(guò)λ來(lái)反映,此時(shí)的摩擦力矩可以表示為:
(32)
采用的標(biāo)準(zhǔn)摩擦扭矩參數(shù)如表4所示。
表4 LuGre摩擦模型參數(shù)
分別設(shè)定摩擦系數(shù)λ的值為0、1、2、4,輸入幅值3°,5Hz的正弦信號(hào),分析空載下系統(tǒng)響應(yīng)。在空載下做正弦運(yùn)動(dòng)時(shí),不同摩擦下舵機(jī)系統(tǒng)舵軸的角位移、角速度如圖15~16所示。
圖15 不同摩擦?xí)r舵軸角位移 圖16 不同摩擦?xí)r舵軸角速度
摩擦系數(shù)/λ角位移角速度峰值/(°)延遲峰值/(rad/s)畸變02.9839無(wú)93.7569無(wú)12.9544延遲100.3842畸變22.9249延遲109.2502畸變42.8658延遲126.0784畸變
結(jié)合表5分別分析不同摩擦?xí)r角位移和角速度的仿真,可以看出隨著輸入摩擦扭矩的增大,仿真結(jié)果漸漸偏離λ=0時(shí)的響應(yīng)曲線。圖14表明間隙的存在會(huì)使得位置跟蹤曲線在峰值處出現(xiàn)“平頂”現(xiàn)象,且在此處跟蹤效果變差,滯后明顯。圖15速度跟蹤曲線的過(guò)零位置發(fā)生畸變。上述現(xiàn)象都反映了相對(duì)運(yùn)動(dòng)在接近和遠(yuǎn)離位置峰值時(shí),靜摩擦和動(dòng)摩擦發(fā)生交替,靜摩擦作用階段即為“平頂”階段。
適當(dāng)增大摩擦阻尼系數(shù)σ1=120,并輸入斜率為0.04rad/s的斜坡信號(hào),可得電動(dòng)舵機(jī)受摩擦影響的低速運(yùn)行特點(diǎn)如圖17~18所示。
圖17 摩擦扭矩作用下的低速 圖18 摩擦下階躍響應(yīng)曲線 跟蹤曲線圖
輸入1°的階躍信號(hào),按照電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)要求穩(wěn)態(tài)誤差小于±0.1°,通過(guò)多次仿真得到當(dāng)摩擦系數(shù)λ=3.5時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差達(dá)到臨界值,并且摩擦延長(zhǎng)了穩(wěn)定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。
1)舵機(jī)系統(tǒng)對(duì)滾珠絲杠副間隙的敏感程度與撥叉的減速比相關(guān),對(duì)本研究對(duì)象而言,當(dāng)間隙達(dá)到0.18mm時(shí),系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值達(dá)到0.1°,并且間隙的存在會(huì)引起接觸力突變,這不僅加劇零部件損壞,還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
2)LuGre摩擦模型能夠完整地反映摩擦的實(shí)際特點(diǎn),通過(guò)對(duì)齒輪副加入摩擦環(huán)節(jié),分析得到摩擦非線性會(huì)引起伺服系統(tǒng)的低速爬行,并且當(dāng)摩擦系數(shù)λ=3.5時(shí),系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為達(dá)到10%,并且造成了嚴(yán)重的相位滯后。綜上所述,間隙和摩擦非線性在EMA控制系統(tǒng)研究中必須考慮,此模型對(duì)補(bǔ)償間隙、摩擦等非線性的EMA系統(tǒng)控制器研究中具有一定價(jià)值。
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