滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)非線性特性分析

胡江濤，曹云峰

(南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016)

0 引言

機(jī)電伺服作動(dòng)系統(tǒng)(electromechanical actuator，EMA)是航空航天、軍事、交通和工農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)備中一類位置伺服控制系統(tǒng)的總稱，通過(guò)控制電動(dòng)機(jī)運(yùn)行直接或間接地控制負(fù)載的運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)控制對(duì)象的位置控制。

目前，全電飛機(jī)(all electric aircraft, AEA)在歐美各國(guó)都有相關(guān)研究，并且已經(jīng)進(jìn)入實(shí)際試飛試驗(yàn)階段，而國(guó)內(nèi)也有相關(guān)研究，但沒(méi)有足夠的工程設(shè)計(jì)和相關(guān)試驗(yàn)。EMA代替液壓功率系統(tǒng)作為飛控系統(tǒng)作動(dòng)器是全電飛機(jī)技術(shù)發(fā)展的核心內(nèi)容，國(guó)內(nèi)在無(wú)人機(jī)、導(dǎo)彈[1-2]等領(lǐng)域已經(jīng)有了一定的研究成果。

電動(dòng)舵機(jī)作為飛控系統(tǒng)的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其靜動(dòng)態(tài)性能直接決定著飛行器的飛行品質(zhì)，而舵機(jī)中非線性因素的存在容易引起舵機(jī)靜動(dòng)態(tài)性能的下降，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此對(duì)電動(dòng)舵機(jī)的非線性因素進(jìn)行建模分析是實(shí)現(xiàn)快速、高精度控制要求的重要前提。總結(jié)現(xiàn)有研究基礎(chǔ)可知，電動(dòng)舵機(jī)的非線性因素主要包括間隙、摩擦、剛度和飽和等，主要存在于EMA的機(jī)械傳動(dòng)鏈中，但目前用于控制器研究的電動(dòng)舵機(jī)模型對(duì)非線性的考慮未充分結(jié)合EMA系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。EMA的機(jī)械傳動(dòng)鏈主要有3種：(齒輪副)-渦輪-蝸桿、齒輪-齒條、齒輪副-絲杠，其中循環(huán)滾珠絲杠是目前EMA中應(yīng)用最廣泛的形式，具有效率高、不存在反向自鎖等特點(diǎn)。美國(guó)NASA在EPAD(electrically powered actuation design)項(xiàng)目中，在F/A-18B系統(tǒng)試驗(yàn)機(jī)(systems research aircraft, SRA)上正是用滾珠絲杠式EMA代替了左副翼的液壓作動(dòng)器，與右副翼標(biāo)準(zhǔn)液壓作動(dòng)器進(jìn)行了全面的對(duì)比研究，得到結(jié)果表明兩者性能十分接近。因此本文針對(duì)滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)的非線性特性，提出了一種更加完善電動(dòng)舵機(jī)建模方法，適用于其他伺服系統(tǒng)，在機(jī)電伺服控制系統(tǒng)研究中具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 非線性環(huán)節(jié)及模型

1.1 間隙環(huán)節(jié)及剛度

間隙[3]非線性來(lái)源于電動(dòng)舵機(jī)的機(jī)械傳動(dòng)部分，是由于零部件的加工、裝配誤差和磨損等造成的非線性位置誤差，發(fā)生在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)或者直線運(yùn)動(dòng)的部件之間[4]。間隙的存在不僅會(huì)使舵機(jī)零部件之間的輸入與輸出產(chǎn)生偏差，而且系統(tǒng)性能會(huì)因?yàn)闆_擊的存在變得不穩(wěn)定，降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。隨著控制要求的提高和間隙非線性研究的深入，間隙模型經(jīng)歷不斷的完善，本文采用的是間隙的死區(qū)模型[5]，間隙的簡(jiǎn)化示意圖和死區(qū)模型的數(shù)學(xué)描述如下：

圖1 間隙示意圖

(1)

此模型中k是剛度系數(shù)，c是阻尼系數(shù)。因此間隙的死區(qū)模型不僅意味著電動(dòng)舵機(jī)的間隙非線性，而且考慮了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的軸向剛度或者扭轉(zhuǎn)剛度。舵機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的柔性體在舵機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生彈性形變，引起振動(dòng)[6]，而且會(huì)造成穩(wěn)態(tài)誤差。因此死區(qū)模型在描述間隙非線性的同時(shí)，考慮了系統(tǒng)剛度及阻尼的影響，更符合實(shí)際。

死區(qū)模型[7]描述的間隙非線性不同于簡(jiǎn)單的輸入與輸出的位移關(guān)系，其輸入是相對(duì)位移，輸出是力矩，即死區(qū)模型通過(guò)驅(qū)動(dòng)與從動(dòng)之間的傳遞力矩描述了間隙非線性。

1.2 摩擦環(huán)節(jié)

模型非線性因素中，摩擦[8-9]產(chǎn)生于舵機(jī)零部件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，嚴(yán)重影響了舵機(jī)伺服系統(tǒng)的控制精度，限制了控制系統(tǒng)的帶寬。摩擦對(duì)控制精度影響的主要表現(xiàn)是在低速運(yùn)行時(shí)，容易造成“爬行”和波形失真現(xiàn)象，并增大了系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，甚至引起極限環(huán)振蕩[10]。

圖2 接觸面間的剛毛

為了消除摩擦對(duì)舵機(jī)控制性能的影響，對(duì)摩擦非線性環(huán)節(jié)的研究至關(guān)重要。目前，動(dòng)態(tài)摩擦模型中的LuGre模型在摩擦補(bǔ)償研究中得到了廣泛的應(yīng)用，因?yàn)橄啾绕渌Σ聊Ｐ?，LuGre模型更為完善，更全面得描述了摩擦的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和非線性特性[11]。LuGre模型[12]原理是將接觸面看成大量彈性鬃毛的接觸，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下，參數(shù)見(jiàn)表1。

(2)

(3)

g(ω) =TC+ (TS-TC)e-(ω/ωs )2

(4)

表1 空載下不同間隙系統(tǒng)性能對(duì)比

1.3 非線性研究方案

間隙、摩擦非線性主要存在于電動(dòng)舵機(jī)傳動(dòng)部分的結(jié)合處，本文提出的非線性研究方案如表2所示，并將其作為電動(dòng)舵機(jī)建模的依據(jù)。

表2 非線性研究方案

因此，在進(jìn)行建模時(shí)分別在齒輪副和滾珠絲杠副中加入摩擦環(huán)節(jié)和間隙環(huán)節(jié)，分別研究間隙、摩擦非線性對(duì)電動(dòng)舵機(jī)控制系統(tǒng)性能的影響。

2 電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)

本文研究的電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)[13]可以簡(jiǎn)單分為以下幾個(gè)部分：

1)伺服驅(qū)動(dòng)器；

2)永磁無(wú)刷直流電機(jī)；

3)機(jī)械傳動(dòng)鏈(齒輪副和滾珠絲杠副)；

4)舵面負(fù)載(撥叉、舵葉和鉸鏈負(fù)載)；

5)傳感器(電位計(jì)和增量式光電編碼器)。

圖3是一個(gè)典型的電動(dòng)舵機(jī)示意圖，電動(dòng)舵機(jī)的工作原理是飛控計(jì)算機(jī)發(fā)出一個(gè)指令信號(hào)驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，后經(jīng)過(guò)齒輪副、滾珠絲杠副和撥叉減速后帶動(dòng)舵面偏轉(zhuǎn)。本節(jié)將整個(gè)電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)分為以上5個(gè)部分，逐個(gè)研究并建立相應(yīng)的框圖模型。

圖3 電動(dòng)舵機(jī)原理圖

2.1 伺服驅(qū)動(dòng)器

電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)的伺服驅(qū)動(dòng)器由控制器和功率放大器組成，其輸入是舵軸的的偏轉(zhuǎn)角度θ；輸出是驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的電壓值Vc，且放大器Ku存在飽和電壓Vsat。

飛行器舵面控制中，最常見(jiàn)的控制策略是比例-微分(PD)控制和速度反饋控制[14]。PD控制與速度反饋相比抗干擾能力有所不足，微分器對(duì)高頻噪聲有放大作用，而速度反饋信號(hào)噪聲成分很弱，因此本文研究采用速度反饋控制Gc，其位置反饋信號(hào)θ′來(lái)自與舵軸同軸相連的電位計(jì)，而速度反饋信號(hào)來(lái)自電機(jī)，并不是飛行器舵面，即編碼器與電機(jī)軸相連，測(cè)量的是電機(jī)軸的角速度。

假設(shè)從電機(jī)軸到舵軸的傳動(dòng)比為N，那么可通過(guò)電機(jī)軸的角速度ωm得到舵軸的理想角速度ω：

(5)

按傳動(dòng)比進(jìn)行縮放后，角速度信息作為反饋輸入控制器得到閉環(huán)傳遞函數(shù)如下：

(6)

其中:Vc為伺服驅(qū)動(dòng)器的輸出電壓，即電機(jī)的輸入電壓，其余參數(shù)見(jiàn)表3?？紤]放大器的飽和情況，得到電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)控制部分的框圖模型。

圖4 伺服驅(qū)動(dòng)器框圖模型

2.2 電機(jī)

無(wú)刷直流電機(jī)的電樞回路特性可以用如下一階傳遞函數(shù)表

表3 電動(dòng)舵機(jī)參數(shù)表

示，參數(shù)見(jiàn)表2，

Ic=Ge(Vc-Ceωm)

(7)

其中:

(8)

τe和1/R分別是電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)和開(kāi)環(huán)增益，Ic為電樞電流。

電機(jī)的力矩平衡方程為:

T=CmIc

(9)

(10)

圖5 電機(jī)框圖模型

從圖5中可以看出，直流無(wú)刷電機(jī)機(jī)械部分的傳遞函數(shù)為：

(11)

忽略限幅和摩擦，整個(gè)無(wú)刷直流電機(jī)的輸入Vc輸出ωm的關(guān)系可用以下方程表示:

(12)

2.3 機(jī)械傳動(dòng)鏈

電動(dòng)舵機(jī)的機(jī)械部分包括電機(jī)轉(zhuǎn)子、機(jī)械傳動(dòng)鏈和舵葉，而本節(jié)選取由齒輪副、滾珠絲杠副和撥叉構(gòu)成的機(jī)械傳動(dòng)鏈作為建模對(duì)象，電機(jī)轉(zhuǎn)子輸出軸與齒輪副相連，經(jīng)過(guò)齒輪副減速后帶動(dòng)滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，再轉(zhuǎn)換為螺母的直線運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)撥叉在撥叉口內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，撥叉與舵軸固連，最終驅(qū)動(dòng)舵面轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)上文中提出的非線性研究方案，將電動(dòng)舵機(jī)的機(jī)械傳動(dòng)鏈分為3個(gè)部分進(jìn)行研究，其數(shù)學(xué)描述和框圖模型如下：

2.3.1 齒輪副和滾珠絲杠(包含摩擦)

第一部由齒輪副和滾珠絲杠組成，其輸入為電機(jī)軸的轉(zhuǎn)角θm，輸出為滾珠絲杠的角速度ω1。假設(shè)齒輪副的傳動(dòng)比為n1，齒輪副對(duì)電機(jī)軸的反作用力矩可表示為：

T1=k(θm-n1θ1)

(13)

其中:k為剛度系數(shù)。那么第一部分的力矩平衡方程如下：

(14)

(15)

考慮齒輪副的摩擦，將LuGre摩擦模型加入第一部分得到其模型框圖[15]見(jiàn)圖6。

圖6 傳動(dòng)鏈第一部分模型框圖

從圖6中可以看出，將該部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量折算到電機(jī)軸得到J1，其傳遞函數(shù)為：

(16)

忽略摩擦，第一部分的輸入θm輸出ω1的關(guān)系可用以下方程表示：

(17)

2.3.2 螺母(包含間隙)

第二部分為滾珠絲杠副中的螺母，其輸入為滾珠絲杠的轉(zhuǎn)角θ1，輸出為螺母的直線運(yùn)動(dòng)速度v。滾珠絲杠副的傳動(dòng)比n2與其導(dǎo)程s相關(guān)，可表示為：

(18)

第二部分的輸入信號(hào)由滾珠絲杠的角位移θ1轉(zhuǎn)換為螺母的直線位移命令：

(19)

添加間隙環(huán)節(jié)Gx，得到第二部分的力平衡方程如下：

F2=Gx(x-x′)

(20)

(21)

圖7 傳動(dòng)鏈第二部分模型框圖

從圖7中可以看出，螺母的傳遞函數(shù)為：

(22)

忽略間隙，第二部分的輸入θ1輸出v的關(guān)系可用以下方程表示：

(23)

2.3.3 撥叉和舵葉

第三部分由撥叉和舵葉組成，其輸入為螺母的直線運(yùn)動(dòng)距離x3，輸出為舵軸的角位移θ′。撥叉到撥銷的減速比為：

(24)

(25)

第三部分的力矩平衡方程為：

T3=k(θ3-θ′)

(26)

(27)

其中:θ′為螺母真實(shí)發(fā)生的位移，Tload為舵葉收到的鉸鏈力矩，而第三部分對(duì)螺母的反作用力可表示為：

(28)

根據(jù)以上動(dòng)力學(xué)方程，得到第三部分的框圖模型如圖8所示。

圖8 傳動(dòng)鏈第三部分模型框圖

從圖8中可以看出，將該部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量折算到舵軸得到J3，其傳遞函數(shù)為：

(29)

第三部分的輸入x3輸出θ′的關(guān)系可用以下方程表示：

(30)

2.4 系統(tǒng)整體模型及參數(shù)選擇

基于以上框圖模型，最終得到滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)的模型如圖9所示。其中，總傳動(dòng)比：

(31)

參數(shù)見(jiàn)表2，單位均為基本標(biāo)準(zhǔn)單位。

圖9 電動(dòng)舵機(jī)整體框圖模型

為了下節(jié)對(duì)比研究非線性因素對(duì)電動(dòng)舵機(jī)控制性能的影響，本節(jié)首先對(duì)未加入間隙、摩擦環(huán)節(jié)的電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。模型中采用速度反饋控制，其比例控制系數(shù)Gc=600，速度反饋系數(shù)Kω=600。

空載時(shí)的階躍響應(yīng)曲線如圖10所示，可以看出系統(tǒng)的上升時(shí)間為7ms，調(diào)節(jié)時(shí)間為15ms，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。

圖10 階躍信號(hào)下角位置跟蹤曲線

3 實(shí)例仿真

3.1 間隙非線性

在Simulink中建立電動(dòng)舵機(jī)模型，此仿真采用定步長(zhǎng)ode3解算器，設(shè)置步長(zhǎng)為1e～7s，并將間隙環(huán)節(jié)添加在傳動(dòng)鏈的滾珠絲杠副內(nèi)，分別設(shè)定滾珠絲杠副中存在的軸向間隙為0mm、0.005mm、0.1mm、0.25mm，分析空載和負(fù)載下系統(tǒng)的響應(yīng)。在空載下做正弦運(yùn)動(dòng)，不同間隙下舵機(jī)系統(tǒng)舵軸的角位移、角速度、接觸力如圖11～13所示。

圖11 不同間隙時(shí)舵軸角位移 圖12 不同間隙時(shí)舵軸角速度

圖13 不同間隙時(shí)接觸力

結(jié)合表1分別分析角位移、角速度和接觸力的仿真結(jié)果，可以看出當(dāng)輸入的間隙值增大時(shí)，相比無(wú)間隙時(shí)響應(yīng)曲線的偏差也隨之增大，具體的表現(xiàn)有所不同。圖11表明間隙的存在會(huì)使得位置跟蹤曲線在峰值處發(fā)生畸變，且畸變的程度隨著間隙的增大而增大。這種現(xiàn)象反映了驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)停轉(zhuǎn)后，從動(dòng)機(jī)構(gòu)由于慣性和間隙的存在繼續(xù)往前運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)“超出”現(xiàn)象，后與另一接觸面碰撞接觸，被推動(dòng)開(kāi)始朝反方向運(yùn)動(dòng)。圖12表明間隙的存在會(huì)使得速度跟蹤曲線在過(guò)零位置發(fā)生畸變，且畸變程度隨著間隙的增大而增大。這種現(xiàn)象反映了從動(dòng)機(jī)構(gòu)與另一接觸面發(fā)生碰撞，造成速度的劇烈波動(dòng)，而不是按照正弦規(guī)律穩(wěn)定持續(xù)變化；圖13表明接觸力曲線由正弦持續(xù)變化，隨著間隙的增大變成了脈沖狀，且接觸力峰值隨著間隙的增大而增大，并呈周期變化。

輸入1°的階躍信號(hào)，并設(shè)定間隙大小為0.18mm，折算到舵軸為0.1°。通過(guò)仿真可得到電動(dòng)舵機(jī)受間隙影響的跟蹤曲線如下圖，系統(tǒng)輸出達(dá)到BIBO穩(wěn)定后按固定頻率振蕩，振蕩幅值為0.1°，與輸入間隙相等。這種現(xiàn)象具有普遍性，改變間隙大小獲得相同結(jié)果，說(shuō)明間隙對(duì)系統(tǒng)輸出的影響主要與減速比相關(guān)，輸出對(duì)傳動(dòng)鏈末端的間隙更加敏感。

圖14 間隙時(shí)EMA系統(tǒng)階躍響應(yīng)

3.2 摩擦非線性

在Simulink中建立電動(dòng)舵機(jī)模型，此仿真采用變步長(zhǎng)ode15s解算器，并將摩擦環(huán)節(jié)添加在齒輪副。在實(shí)際應(yīng)用中，為了反映LuGre模型中參數(shù)受溫度、潤(rùn)滑、材料磨損的影響而引起摩擦力矩的變化。引入摩擦系數(shù)λ來(lái)反映摩擦力矩的變化趨勢(shì)。在正常情況下，系統(tǒng)的摩擦扭矩是標(biāo)準(zhǔn)值。當(dāng)LuGre模型中的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，摩擦力矩就會(huì)改變，這種變化通過(guò)λ來(lái)反映，此時(shí)的摩擦力矩可以表示為：

(32)

采用的標(biāo)準(zhǔn)摩擦扭矩參數(shù)如表4所示。

表4 LuGre摩擦模型參數(shù)

分別設(shè)定摩擦系數(shù)λ的值為0、1、2、4，輸入幅值3°，5Hz的正弦信號(hào)，分析空載下系統(tǒng)響應(yīng)。在空載下做正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同摩擦下舵機(jī)系統(tǒng)舵軸的角位移、角速度如圖15～16所示。

圖15 不同摩擦?xí)r舵軸角位移 圖16 不同摩擦?xí)r舵軸角速度

摩擦系數(shù)/λ角位移角速度峰值/(°)延遲峰值/(rad/s)畸變02.9839無(wú)93.7569無(wú)12.9544延遲100.3842畸變22.9249延遲109.2502畸變42.8658延遲126.0784畸變

結(jié)合表5分別分析不同摩擦?xí)r角位移和角速度的仿真，可以看出隨著輸入摩擦扭矩的增大，仿真結(jié)果漸漸偏離λ=0時(shí)的響應(yīng)曲線。圖14表明間隙的存在會(huì)使得位置跟蹤曲線在峰值處出現(xiàn)“平頂”現(xiàn)象，且在此處跟蹤效果變差，滯后明顯。圖15速度跟蹤曲線的過(guò)零位置發(fā)生畸變。上述現(xiàn)象都反映了相對(duì)運(yùn)動(dòng)在接近和遠(yuǎn)離位置峰值時(shí)，靜摩擦和動(dòng)摩擦發(fā)生交替，靜摩擦作用階段即為“平頂”階段。

適當(dāng)增大摩擦阻尼系數(shù)σ1=120，并輸入斜率為0.04rad/s的斜坡信號(hào)，可得電動(dòng)舵機(jī)受摩擦影響的低速運(yùn)行特點(diǎn)如圖17～18所示。

圖17 摩擦扭矩作用下的低速 圖18 摩擦下階躍響應(yīng)曲線 跟蹤曲線圖

輸入1°的階躍信號(hào)，按照電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)要求穩(wěn)態(tài)誤差小于±0.1°，通過(guò)多次仿真得到當(dāng)摩擦系數(shù)λ=3.5時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差達(dá)到臨界值，并且摩擦延長(zhǎng)了穩(wěn)定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。

4 結(jié)論

1)舵機(jī)系統(tǒng)對(duì)滾珠絲杠副間隙的敏感程度與撥叉的減速比相關(guān)，對(duì)本研究對(duì)象而言，當(dāng)間隙達(dá)到0.18mm時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值達(dá)到0.1°，并且間隙的存在會(huì)引起接觸力突變，這不僅加劇零部件損壞，還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2)LuGre摩擦模型能夠完整地反映摩擦的實(shí)際特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)齒輪副加入摩擦環(huán)節(jié)，分析得到摩擦非線性會(huì)引起伺服系統(tǒng)的低速爬行，并且當(dāng)摩擦系數(shù)λ=3.5時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為達(dá)到10%，并且造成了嚴(yán)重的相位滯后。綜上所述，間隙和摩擦非線性在EMA控制系統(tǒng)研究中必須考慮，此模型對(duì)補(bǔ)償間隙、摩擦等非線性的EMA系統(tǒng)控制器研究中具有一定價(jià)值。

[1] 汪軍林,解付強(qiáng),劉玉浩.導(dǎo)彈電動(dòng)舵機(jī)的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)[J].控制與制導(dǎo),2008,(3):42-46.

[2] Jensen S C. Flight test experience with an electromechanical actuator on F-18 systems research aircraft [A]. Digital Avionics Systems Conference (DASC)[C].2000. 2E3/1-2E3/10.

[3] Gerdes J C, Kumar V. An impact model of mechanical backlash for control system analysis [C]. Proceedings of the American Control Conference, 1995, 5: 3311-3315.

[4] 李友年,陳星陽(yáng).舵機(jī)間隙環(huán)節(jié)對(duì)控制系統(tǒng)的影響分析[J].航空兵器,2012(1):25-33.

[5] 趙國(guó)峰,樊衛(wèi)華,陳慶偉,等.齒隙非線性研究進(jìn)展[J].兵工學(xué)報(bào),2006,27(6):1072-1080.

[6] 盧緒祥,劉正強(qiáng),黃樹紅,等.含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性[J].動(dòng)力工程報(bào),2012,32(05):388393.

eering, 2012, 32 (5) : 388393.

[7] 楊 濤,黃 萍,汪湛青,等.穩(wěn)定平臺(tái)傳動(dòng)齒隙彈性死區(qū)模型的幅值辨識(shí)[J].航空精密制造技術(shù),2014,50(01):19-22,26.

[8] 肖前進(jìn),賈宏光,章家保,等.電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)非線性辨識(shí)及補(bǔ)償[J].光學(xué)精密工程,2013,21(08):2038-2047.

[9] 張開(kāi)敏,余久華.舵機(jī)結(jié)構(gòu)非線性因素建模與影響研究[J].航空兵器,2013,(04):48-53.

[10] 周金柱,段寶巖,黃 進(jìn).LuGre摩擦模型對(duì)伺服系統(tǒng)的影響與補(bǔ)償[J].控制理論與應(yīng)用,2008,25(06):990-994.

[11] 劉麗蘭,劉宏昭,吳子英,等.機(jī)械系統(tǒng)中摩擦模型的研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展,2008,(02):201-213. [2017-08-04].

[12] 肖前進(jìn).諧波傳動(dòng)式電動(dòng)舵機(jī)多級(jí)滑?？刂萍胺蔷€性補(bǔ)償研究[D].長(zhǎng)春:中國(guó)科學(xué)院研究生院(長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所),2013.

[13] 張 躍,韓雪峰.雙環(huán)控制電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)證[J].光學(xué)精密工程,2015,23(11):3138-3146.

[14] Habibi S, Roach J, Luecke G. Inner-loop control for electromechanical (EMA) flight surface actuation systems [J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2008, 130: 051002/1-051002/13.

[15] Canuda, Olsson H, Astrom K J, et al. A new model for control of systems with friction [J]. IEEE Transaction on Automatic Control,1995, 40(3): 419-425.