數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)——以高等數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)為例

哈 玲,楊愛民

(1.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系,云南昆明 650214;2.文山學(xué)院數(shù)理系,云南文山 663000)

利用強(qiáng)化學(xué)生解題過程的方式提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是一個(gè)符合行為主義理論基本觀點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。但是行為主義過多地強(qiáng)調(diào)可以被觀察到的或可以被量化的外在行為的研究,而對研究對象的內(nèi)在變化的研究并不充分。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生主動(dòng)領(lǐng)悟、整體把握與強(qiáng)化刺激共同發(fā)生的心理和學(xué)習(xí)過程。因此,隨著教育理念由行為主義到認(rèn)知主義的發(fā)展,人們越來越認(rèn)識到數(shù)學(xué)能力的提高有待于對概念理解的強(qiáng)化。

1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

關(guān)于學(xué)習(xí)理論,存在著兩種基本觀點(diǎn):一種是以桑代克、巴甫洛夫、斯金納為代表的刺激——反映聯(lián)結(jié)觀點(diǎn);另一種是布魯納、奧蘇泊爾為代表的認(rèn)知觀點(diǎn)。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為,刺激和反映的聯(lián)結(jié),是以主體的某種 “結(jié)構(gòu)”為中介的,這種 “結(jié)構(gòu)”對信息加工和改造起著積極的作用。認(rèn)知心理學(xué)把這種主體中存在的結(jié)構(gòu)稱為認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中,也同樣存在著某種結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)稱之為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),就是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識,按照自己的理解深度、廣度,結(jié)合著自己的知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn),組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。

1.1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)

實(shí)踐表明,學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有其固有的特點(diǎn)。

(1)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物。

(2)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生頭腦中已有數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)的組織。

它既可以是學(xué)生頭腦里所有數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)的組織,也可以是特殊數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的組織。前者指的是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的全部知識、經(jīng)驗(yàn)的組織特征,這些特征影響它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的一般學(xué)習(xí)。后者指的是某一數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)的組織特征。也就是說,數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)既是專門化的概念,又是一個(gè)帶有普遍性的概念,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)認(rèn)知的統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以在各種抽象水平上來表征數(shù)學(xué)知識。即數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)有層次的階梯。高層次是由所有數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合而組成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

(3)每一個(gè)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)各有特點(diǎn),個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)在內(nèi)容和組織方面的特征稱為認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有 3個(gè)變量:①在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^點(diǎn)可以利用;②新的學(xué)習(xí)材料和起固定作用的觀念之間的可辨別程度;③原有起固定作用的觀念的固定性和清晰性。

(4)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不是一種消極的組織,而是一種積極的組織,它在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中,乃至一般的認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)揮著作用。形成了一定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)后,一旦大腦接受到新的數(shù)學(xué)信息,人們就能不自覺地,甚至是自覺地用相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新信息進(jìn)行處理和加工。

(5)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)不斷變化的動(dòng)態(tài)組織。隨著數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)行,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷分化和重組,并逐漸變得更加精確和完善。正是因?yàn)閿?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有這樣的特點(diǎn),所以通過數(shù)學(xué)教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展。

(6)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中形成和發(fā)展起來的。

(7)從功能上說,學(xué)生既能借助已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去掌握現(xiàn)有的知識,又能借助原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造性地去解決問題。

1.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的一個(gè)中心心理成分,學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是通過同化和順應(yīng)兩種方式去建構(gòu)的,同化和順應(yīng)是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的基本方式。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,同化是指學(xué)生利用原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行適當(dāng)改造,然后將改造后的數(shù)學(xué)知識直接納入認(rèn)知結(jié)構(gòu),擴(kuò)大原有認(rèn)知結(jié)構(gòu),使數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生量變的過程。從同化的意義不難看出,同化學(xué)習(xí)的必要條件是所學(xué)習(xí)的新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)觀念有實(shí)質(zhì)的、非人為聯(lián)系,即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有能夠同化新知識的適當(dāng)觀念。很明顯,同化主要適用于那些與舊知識有密切聯(lián)系的新知識的學(xué)習(xí)。

順應(yīng)是指某些新知識不能直接同化到學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去,必須適當(dāng)調(diào)整或改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)使其適應(yīng)新知識的學(xué)習(xí)。在此基礎(chǔ)上將新知識納入改造后的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去,從而建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。簡言之,順應(yīng)就是改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)而建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。如果說同化是促進(jìn)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)量變從而擴(kuò)大認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)容的過程,那么順應(yīng)則是使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)變從而建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。順應(yīng)主要適用于那些與舊知識沒有直接聯(lián)系的新知識的學(xué)習(xí)。心理學(xué)研究表明,在學(xué)習(xí)中,學(xué)生用順應(yīng)的方式改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)接納新知識主要是通過兩種途徑去實(shí)施的:一是調(diào)整,二是并列。所謂調(diào)整,就是改變原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織形式,或賦予原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)中某些觀念以新的意義,使之與新知識相適應(yīng),并以此為固定點(diǎn)接納新知識。所謂并列,就是賦予新知識和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中某些原有觀念以一定意義的外在聯(lián)系,并把新知識與舊知識聯(lián)結(jié)成一定的結(jié)構(gòu)。

綜上所述,同化和順應(yīng)是認(rèn)知過程中學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種不同形式,它們往往存在于同一學(xué)習(xí)過程中,只是各自側(cè)重不同而已。如果說同化是改造新學(xué)習(xí)內(nèi)容使其與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相吻合的話,那么,順應(yīng)則是改組學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)新學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,同化和順應(yīng)總是相輔相成、互為補(bǔ)充的。一方面在改造新學(xué)習(xí)內(nèi)容的同時(shí),學(xué)生也必須適當(dāng)調(diào)整自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu),使新學(xué)習(xí)內(nèi)容與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加吻合;另一方面學(xué)生在調(diào)整原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí),也總是要對新學(xué)習(xí)內(nèi)容作適當(dāng)改造,將其改造成更有利于接納的形式,從而保證原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的相互適應(yīng)。

1.3 認(rèn)知理論與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的模式

根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程,即新的學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用,形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。依據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一般模式見圖1。

圖1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一般模式

從圖 1可以看出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程包括三個(gè)階段:輸入階段、新舊知識相互作用階段和操作階段。

基于學(xué)習(xí)認(rèn)知理論,國內(nèi)在學(xué)界進(jìn)行了積極的探索和實(shí)踐。2001年貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與跨文化數(shù)學(xué)教育研究所汪秉彝、呂傳漢兩位教授開展了中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué),其相關(guān)成果于2004、2007年分別刊載于數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)、貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)上。[1-2]這種教學(xué)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題意識以促進(jìn)創(chuàng)新意識的形成,重視培養(yǎng)問題解決能力以促進(jìn)創(chuàng)新能力的提高,在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用能力,這些教學(xué)理念和教學(xué)目的正迎合了高等數(shù)學(xué)教學(xué)的需要。2009年褚海峰對“情境—問題”教學(xué)模式進(jìn)行修改與補(bǔ)充,將其推廣與運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中。[3]

2 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本形式

2.1 數(shù)學(xué)概念形成

所謂數(shù)學(xué)概念形成,是指在教學(xué)條件下,從大量的實(shí)際例子出發(fā),經(jīng)過比較、分類,從中找出一類事物的本質(zhì)屬性,然后再通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn),最后通過概括得到定義并用符號表達(dá)出來。這種獲得數(shù)學(xué)概念的方式叫做數(shù)學(xué)概念形成。數(shù)學(xué)概念形成的過程可以分為觀察實(shí)例、分析共同屬性、抽象本質(zhì)屬性、確認(rèn)本質(zhì)屬性、概括定義、符號表示、具體運(yùn)用等階段。概念的形成揭示了概念如何通過個(gè)體思維活動(dòng),構(gòu)建成個(gè)體的知識。例如導(dǎo)數(shù)的概念,就可利用數(shù)學(xué)概念形成的方式進(jìn)行建構(gòu)。

2.2 數(shù)學(xué)概念同化

所謂數(shù)學(xué)概念同化,是指在課堂學(xué)習(xí)的條件下,利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識經(jīng)驗(yàn),以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性,從而使學(xué)生獲得新概念。這種獲得數(shù)學(xué)概念的方式叫做數(shù)學(xué)概念同化。

用數(shù)學(xué)概念同化的方式進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí),要求學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備一定的概念,并能積極地進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng),將新概念的本質(zhì)屬性與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)概念相聯(lián)系,明確新概念是原有概念的“限定”,并能把它從原有概念中分離出來,把新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念融合在一起,納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)過程可以分為揭示本質(zhì)屬性、討論特例、新舊概念聯(lián)系、實(shí)例辨認(rèn)、具體運(yùn)用等階段。例如數(shù)列概念的建立,通常采用概念同化的方式進(jìn)行。

數(shù)學(xué)概念形成與數(shù)學(xué)概念同化是有區(qū)別的。數(shù)學(xué)概念形成主要依靠的是對具體事物的抽象,而數(shù)學(xué)概念同化則主要依靠的是學(xué)生對新舊知識的聯(lián)系;數(shù)學(xué)概念形成與人類自發(fā)形成概念的方式接近,而數(shù)學(xué)概念同化則是具有一定心理水平的人自覺學(xué)習(xí)概念的主要方式。高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)概念同化成為獲得數(shù)學(xué)概念的主要方式,但對較難理解的或新學(xué)科開始時(shí)的一些數(shù)學(xué)概念,仍然采用數(shù)學(xué)概念形成的學(xué)習(xí)方式。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性與概括性,教學(xué)實(shí)踐中往往依據(jù)學(xué)習(xí)者個(gè)體的認(rèn)知差異,把兩者有機(jī)結(jié)合起來學(xué)習(xí),使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)較快地理解概念所反映事物的本質(zhì)屬性。

2.3 數(shù)學(xué)概念的順應(yīng)

如果認(rèn)識主體把已有圖式中的信息作用于環(huán)境,使主體主動(dòng)適應(yīng)環(huán)境,并根據(jù)環(huán)境調(diào)節(jié)原有的圖式使之更加合理,就是順應(yīng)。順應(yīng)是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造或重組,形成一種與新概念相適應(yīng)的新的結(jié)構(gòu),從而對新概念進(jìn)行同化的方式。如關(guān)于 “矩陣乘法”的概念,在學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,已有了 “矩陣加減法”概念,而 “矩陣加減法”與 “矩陣乘法”有相當(dāng)大的距離,這時(shí)學(xué)生會從“矩陣乘法”概念的特點(diǎn)、性質(zhì)出發(fā),建立新圖式,使主觀順應(yīng)客觀,從而掌握新概念,進(jìn)而弄清楚為什么要這么定義“矩陣乘法”,這樣做有什么作用等。

2.4 數(shù)學(xué)概念的異化

“異化”是皮亞杰圖式理論的重要概念?！爱惢本褪前淹饨绲男畔w入已有的圖式,使圖式不時(shí)擴(kuò)展。異化是與同化有區(qū)別而又有聯(lián)系的一種更高水平理解概念的方式,強(qiáng)調(diào)在理解概念時(shí)認(rèn)知主體主動(dòng)修正自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或?qū)Ω拍畹恼`進(jìn)行分辨從而提高認(rèn)知水平或有創(chuàng)建地理解概念的方式,從而達(dá)到概念的鞏固。一種概念的擴(kuò)展過程當(dāng)中,由于范圍擴(kuò)大了,新舊概念之間除了共同之處又增添了不同之處時(shí)往往用到數(shù)學(xué)概念的異化。如從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)展;從一元函數(shù)到多元函數(shù)、定積分到重積分,在原來一元函數(shù)、定積分的基礎(chǔ)上增加了新的概念和性質(zhì),從而改造了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)代研究進(jìn)展

在現(xiàn)代哲學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論、數(shù)學(xué)研究方法等最新領(lǐng)域研究成果基礎(chǔ)上,進(jìn)年來以高層次數(shù)學(xué)思維為焦點(diǎn)對高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行了細(xì)致地分析,提出了包括“概念意象與概念定義”、“概念網(wǎng)絡(luò)”與 “概念域”、“概念的過程與對象”在內(nèi)的一系列新觀點(diǎn)與新假設(shè),以及一些新的數(shù)學(xué)思想。學(xué)界對高等數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的研究和認(rèn)識升華到一個(gè)新的高度,大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)研究的發(fā)展。

隨著教育理念由行為主義向認(rèn)知主義的轉(zhuǎn)變,認(rèn)知論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論的基石,因此關(guān)于聯(lián)系與網(wǎng)絡(luò)的觀點(diǎn)便被引入數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中。一方面“共同點(diǎn)是把人類的大腦看作含有結(jié)點(diǎn)和連接的一個(gè)巨大的網(wǎng)絡(luò),許多特殊的結(jié)點(diǎn)和連接群體是它的組成部分”——即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論[4];另一方面,又從皮亞杰等人的主要觀點(diǎn)擴(kuò)展成為頗具代表性的現(xiàn)代信息網(wǎng)絡(luò)理論。高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與初等數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的主要區(qū)別是激活網(wǎng)絡(luò),強(qiáng)化概念理解,而不緊緊是記憶事實(shí),背誦概念。數(shù)學(xué)概念的理解就是建立網(wǎng)絡(luò),“如果它的智力表示成了表示網(wǎng)絡(luò)的部分,說一個(gè)數(shù)學(xué)的概念、方法或事實(shí)是徹底理解了,是指和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)是由更強(qiáng)的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著?！盵5]

自從在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論中引進(jìn)聯(lián)系和網(wǎng)絡(luò)以來,許多研究者關(guān)注到它們對概念學(xué)習(xí)的影響。其中最具代表性的當(dāng)屬 Vergnaud提出的概念域思想,“一個(gè)概念域 (conceptual field)是有待處理的一組問題與情境,對這些問題與情境的處理需要概念、程序以及不同的但有緊密相連的各種表征形式”[6]這種思想與其它研究中提出的概念意象、概念定義完全不同,它聚焦于概念間的內(nèi)在聯(lián)系。

4 高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)實(shí)踐

4.1 把握數(shù)學(xué)概念的難點(diǎn)與新點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)中存在著傳統(tǒng)公認(rèn)的難點(diǎn),如極限的概念、微分的定義、泰勒定理等。從數(shù)學(xué)概念建構(gòu)角度看,難點(diǎn)之難,是由于沒有找到最好、最適合的表達(dá)方式。只要依據(jù)學(xué)習(xí)心理學(xué),通過創(chuàng)造性的改造,比如通過數(shù)學(xué)概念的順應(yīng)方式尋求最佳的概念表達(dá)方式和最便于掌握的方法,就可化解難點(diǎn)。

所謂“新點(diǎn)”,是指與學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)相去甚遠(yuǎn)的內(nèi)容,如連續(xù)的定義、多元函數(shù)、無窮級數(shù)、梯度等。這些對于初次接觸高等數(shù)學(xué)的學(xué)生來講,在知識內(nèi)容上就是 “新點(diǎn)”。如果對新點(diǎn)處理不當(dāng),易導(dǎo)致新知識與原有知識結(jié)構(gòu)的沖突,使學(xué)生感到無所適從,影響學(xué)習(xí)效果。因此在學(xué)習(xí)新概念時(shí),要充分考慮已有的知識結(jié)構(gòu),充分發(fā)揮學(xué)習(xí)過程中的正遷移作用,防止負(fù)遷移,做到新舊概念的平穩(wěn)相接,順利過渡,減少可能出現(xiàn)的感知錯(cuò)誤,以確保學(xué)習(xí)效果。

4.2 逆向思維,深刻理解概念

當(dāng)直接認(rèn)識一事物比較困難時(shí),從事物的反面入手來了解認(rèn)識事物,往往會對學(xué)生的思維產(chǎn)生很強(qiáng)的沖擊,達(dá)到很好的學(xué)習(xí)效果。比如學(xué)習(xí)連續(xù)的定義時(shí),可從連續(xù)的反面 “不連續(xù)”入手,一步步理解連續(xù)定義。第一步,給出函數(shù)在一點(diǎn)無定義而間斷的例子,得出函數(shù)在一點(diǎn)有定義是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的必要條件的結(jié)論;第二步,給出函數(shù)在一點(diǎn)有定義但極限不存在而間斷的例子,得出函數(shù)在一點(diǎn)極限存在是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的必要條件的結(jié)論。這樣就把“連續(xù)”與“極限”聯(lián)系在一起,深刻理解函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義。通過對連續(xù)反面“不連續(xù)”的討論,更清晰地看清了連續(xù)的本質(zhì),這種學(xué)習(xí)達(dá)到了新舊概念的平穩(wěn)相接,順利過渡,促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的提升。

4.3 創(chuàng)設(shè)情景,提出問題,形成概念

數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界又反映現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)概念的高度抽象只是在形式上與現(xiàn)實(shí)相對立,在內(nèi)容上卻與現(xiàn)實(shí)的世界有著密切聯(lián)系,許多抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想,可以在現(xiàn)實(shí)世界中找到它們的原型。例如導(dǎo)數(shù)概念的原型是變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、平面曲線的斜率;微分概念的原型是自由落體由初始時(shí)刻到指定時(shí)刻所經(jīng)過路程的近似值;定積分概念的原型是曲邊梯形面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程;函數(shù)最值的原型是用料最省、效率最高;二重積分的原型是曲頂柱體的體積;級數(shù)的原型是無數(shù)個(gè)離散量之和。雖然從數(shù)學(xué)的歷史來看,數(shù)學(xué)的產(chǎn)生存在著兩個(gè)起點(diǎn),即以實(shí)際問題為起點(diǎn)和以理論問題為起點(diǎn),但歸根結(jié)底,數(shù)學(xué)的最終起點(diǎn)還是現(xiàn)實(shí)世界,它更多地來自人類的問題提出和問題解決,是人類力圖對現(xiàn)實(shí)世界的最本質(zhì)的和最一般的反映。正是數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景知識,揭示了數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)意義,為數(shù)學(xué)的應(yīng)用做好了鋪墊。

4.4 新舊聯(lián)系,利用類比,引入概念

所謂類比,就是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間的相似性,通過比較將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊對象的知識推移到另一種新的特殊對象上去的推理手段。當(dāng)兩個(gè)對象系統(tǒng)中某些對象間的關(guān)系存在一致性或者某些對象間存在同構(gòu)關(guān)系,或者一對多的同態(tài)關(guān)系時(shí),便可對這兩個(gè)對象系統(tǒng)進(jìn)行類比。極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)、微分方程均有線性性質(zhì) (共性),而這個(gè)共性可以升華到線性算子的理論上;還有幾類積分的類同性 (對象不同,但處理方式相同,從而體現(xiàn)元素法的重要性)、多元與一元微積分 (點(diǎn)與線或線與面的關(guān)系),各類級數(shù)與廣義積分 (類似的收斂發(fā)散概念及類似的判別法),各類微分方程求解 (各種變換)等等都具有很豐富的類比性;又如,各種中值定理、微分與積分的幾何類比、物理類比等。通過類比把新舊知識聯(lián)系起來,有利于加深對概念的理解和記憶,加強(qiáng)掌握知識的系統(tǒng)性,使學(xué)生循序漸進(jìn)地將基本知識學(xué)到手,實(shí)現(xiàn)知識的“正遷移”。

4.5 建立良好的概念網(wǎng)絡(luò)體系

數(shù)學(xué)概念的發(fā)展是體系化、網(wǎng)絡(luò)狀的發(fā)展。個(gè)體的數(shù)學(xué)概念通過改變內(nèi)涵與外延獲得發(fā)展,發(fā)展的新概念與原有概念形成概念體系,個(gè)別概念既反映自身來自于其它概念的關(guān)系,也反映來自系統(tǒng)的整體性質(zhì)。這種特殊與一般的對立統(tǒng)一,亦是數(shù)學(xué)概念的思辯性之一,認(rèn)識這種思辯性,才能把握住概念的本質(zhì)。[7]

例如,積分學(xué)中的定積分、重積分、兩類曲線積分、兩類曲面積分的概念之間的關(guān)系、異同就是這方面典型的例子。

首先,積分實(shí)質(zhì)上是空間幾何體上不均勻分布的量的和,定義這種“和”的思想就是把幾何體進(jìn)行分割,分割后在每一局部以常量代變量近似求和,然后讓分割無限加細(xì)加密,變化過程中使分出的每小塊的度量都趨于零,近似和的極限就為精確和。用以下幾個(gè)詞可以簡單形象地概括積分的實(shí)質(zhì):化整為零,以常代變,積零為整,取極限。

其次,又可以利用積分區(qū)域的變化使得積分從一維空間推廣進(jìn)入到二維、三維空間直至更高維空間,得到積分的分類。再利用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等建立起了各種積分之間的關(guān)系,建立起如圖 2所示的概念網(wǎng)絡(luò)體系,使得單個(gè)積分概念不再是孤立的。[8]

圖2 各種積分之間概念網(wǎng)絡(luò)體系

[1] 楊孝斌,汪秉彝.中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)探析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,(4):84-87.

[2] 呂傳漢,汪秉彝.中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)的理論基礎(chǔ)及實(shí)施策略[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,(1):95-100.

[3] 褚海峰.“情境——問題”教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的推廣與運(yùn)用[J].科教文匯,2009,(3):140-141.

[4] [德 ]RolfBiehler.數(shù)學(xué)教學(xué)理論是一門科學(xué)[M].唐瑞芬,等.譯.上海:上海教育出版社,1998:162.

[5] [美 ]格勞斯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊 [M].陳昌平,等.譯.上海:上海教育出版社,1999:136.

[6] [美 ]理查德萊什.數(shù)學(xué)概念和程序的獲得 [M].孫昌識,等.譯.濟(jì)南:山東教育出版社,1991:141.

[7] 譚奕.數(shù)學(xué)概念教學(xué) [J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1995,(3):70-72.

[8] 劉玉璉,傅沛仁,等.數(shù)學(xué)分析講義 [M].北京:高等教育出版社,2003.