虛源法研究馬丟-高斯光束的傳輸

吳 瓊， 任志君， 李曉東， 杜林岳， 毛和法， 胡海華

(1.浙江師范大學 浙江省光信息檢測與顯示技術研究重點實驗室,浙江 金華 321004;2.浙江師范大學 信息光學研究所 浙江 金華 321004)

0 引 言

1987年，美國羅徹斯特大學的Durnin等[1-2]首次提出了具有實用價值的“無衍射光束”的概念，產生的第一種無衍射貝塞爾光束是一種中心光斑直徑很小且不隨傳播距離而改變的光束.隨后，Gutiérrez-Vega的研究小組[3]指出，波動方程的無衍射解有4種形式，分別對應直角坐標系下的余弦光束(平行光模型)、極坐標系下的貝塞爾光束、拋物坐標下的拋物線光束及橢圓坐標系下的馬丟光束.

相對于直角坐標系下的余弦光束模型和極坐標系下的貝塞爾光束模型，橢圓坐標系下的馬丟光束模型在數(shù)學上更為復雜，光學形態(tài)也豐富得多.因此,馬丟光束在實際中有新的用途，比如,馬丟光束可以用于光學格子的產生等[4-5].馬丟光束包括第一、第二類奇型和第一、第二類偶型分布.與余弦函數(shù)和貝塞爾函數(shù)相同，4種類型馬丟函數(shù)也不能平方可積，因此,理想馬丟光束只能被看作是一個理論模型.實驗上能產生的馬丟光束常需要用高斯函數(shù)剪切得到，這就是馬丟-高斯光束[6-7]，它具有準無衍射傳輸特性.因此，實際中人們更多關注的是馬丟-高斯光束的產生和傳輸特性.

衍射問題是光學中極難處理的問題之一，極少的衍射問題能求得嚴格解.為研究光束的傳輸，在非傍軸近似理論中,虛源法是由Deschamps[8]提出的，被Felsen的研究小組[9]進行系統(tǒng)的發(fā)展，用來精確求解亥姆霍茲方程，進而精確研究光束在自由空間非傍軸傳輸?shù)囊环N方法.截止目前，虛源法[9]已被用于研究幾種具有實用價值光束的傳輸特性，比如余弦-高斯光束[10]、貝塞爾-高斯光束[11]、加速艾里光束[12]、厄米-拉蓋爾-高斯光束[13]等，都得到了很有價值的研究結果.然而，對于橢圓坐標系下的馬丟函數(shù)，由于其數(shù)學上的復雜性，至今還沒有研究者能夠運用虛源法來研究馬丟-高斯光束的傳輸特性.基于光波傳播的獨立性原理和疊加性原理，利用數(shù)學上的級數(shù)展開，復雜光束可展開為一系列簡單光束的疊加.據此，筆者以第一類奇型馬丟-高斯光束為例，將級數(shù)展開與虛源法相結合，推導得到了這種光束傳輸?shù)姆e分表達式.利用類似的處理方法，還分別得到了第二類奇型馬丟-高斯光束和第一、第二類偶型馬丟-高斯光束的積分表達式.這一組積分表達式為精確認識馬丟-高斯光束的傳輸特性提供了方便.

1 用虛源法產生奇型馬丟高斯光束

馬丟光束有4種類型.在橢圓坐標系下，根據馬丟函數(shù)的定義，馬丟光束的4種類型分別為：第一類2m+2階奇型馬丟光束se2m+2(η,q)Jo2m+2(ξ,q)，第二類2m+1階奇型馬丟光束se2m+1(η,q)Jo2m+1(ξ,q)；第一類2m階偶型馬丟光束ce2m(η,q)Je2m(ξ,q)，第二類2m+1階偶型馬丟光束ce2m+1(η,q)Je2m+1(ξ,q).其中，m=1，2，3,….表達式中，ce和Je分別代表偶型角向和徑向的馬丟函數(shù)，se和Jo分別代表奇型角向和徑向的馬丟函數(shù)[6-7,14-18].

橢圓坐標系在數(shù)學上較難理解.既然光波在自由空間中可獨立傳播和疊加，那么筆者就采用與文獻[6-7]相同的數(shù)學手段，利用數(shù)學級數(shù)展開的方式，將橢圓坐標系下的馬丟函數(shù)展開為極坐標系下貝塞爾函數(shù)的形式來處理馬丟-高斯光束.兩類奇型馬丟函數(shù)可展開為:

(1)

(2)

2類偶型馬丟函數(shù)可展開為:

(3)

(4)

本文以第一類2m+2階奇型馬丟-高斯光束為例進行研究.為產生馬丟-高斯光束，設標量波函數(shù)為E(r,θ,z).光束的傳輸需滿足波動方程沿z方向傳播的馬丟-高斯光束，在z=0處，有

(5)

式(5)可以看作第一類奇型馬丟-高斯光束傳輸?shù)倪吔鐥l件.

在圓柱坐標系下，假定有無窮多個位于z=zex且強度為Sex(2l+2)的電環(huán)，環(huán)半徑為l=lex.在z>0空間產生第一類奇型馬丟-高斯光束，該光源的標量波函數(shù)可寫為

E2m+2,2l+2(r,θ,z)=M2m+2,2l+2(r,z)sin[(2l+2)θ].

(6)

在式(5)所示的邊界條件下，式(6)滿足非齊次亥姆霍茲方程

(7)

根據極坐標系下的傅里葉-貝塞爾變換

(8)

(9)

(10)

(11)

求解式(11)可得

(12)

在z>0處，為了獲得馬丟高斯光束，必須滿足式(5)給出的z=0處的邊界條件.即在傍軸近似下，式(12)需滿足如下的邊界條件:

(13)

由式(13)給定的邊界條件可得到式(12)中的參量zex,rex和Sex(2l+2)分別為:

(14)

(15)

(16)

將式(14)～式(16)中的zex,rex,Sex代入式(10)中，得到M2m+2,2l+2(r,z)的積分表達式

(17)

將zex,rex,Sex代入式(12)，也可得到M2m+2,2l+2(r,z)的傍軸近似解

(18)

式(18)中，M2m+2,2l+2,p中的下標p表示傍軸近似.相對于式(17)的非傍軸傳輸?shù)姆e分解，式(18)所給出的傍軸近似解析解形式更為簡單.在要求不是特別嚴格時，在滿足傍軸近似的條件下，式(18)能更簡單地處理馬丟-高斯光束的傳輸問題.

(19)

通過式(19)即可精確計算第一類奇型馬丟-高斯光束在自由空間傳輸時的光場分布.如當r=0時，通過式(19)可求出第一類奇階馬丟-高斯光束的軸上的光場分布

(20)

圖1 第一類奇型馬丟-高斯光束的軸上光強分布

很多時候，光束傳輸時的軸上光場分布最值得人們關注.故用于計算軸上光場分布的式(20)有一定的理論價值.

根據虛源法推導得到了馬丟-高斯光束在自由空間傳輸?shù)姆e分表達式，筆者數(shù)值模擬了第一類奇型馬丟-高斯光束的軸上光強分布,具體如圖1所示.從圖1中可以看出，當傳輸距離較小時，非傍軸光強分布的結果與傍軸理論計算的結果有明顯差異;隨著傳輸距離的增加，傍軸的近似計算結果與考慮校正項的非傍軸計算結果越來越接近.說明根據衍射理論來研究光束的近場傳輸時，利用非傍軸理論才能得出正確的結果.在研究光束的遠場傳輸時，利用傍軸理論的近似法才能得到相對正確的研究結果.

筆者用相同的方法得到第二類奇型馬丟-高斯光束在自由空間傳輸?shù)木_積分表達式為

(21)

第一類偶型馬丟-高斯光束在自由空間傳輸?shù)木_積分表達式為

(22)

第二類偶型馬丟-高斯光束在自由空間傳輸?shù)木_積分表達式為

(23)

綜上所述，式(21)～式(23)即為另外3種馬丟-高斯光束傳輸?shù)姆e分表達式，相應的傍軸近似解和軸上光場分布解也可相應得到，限于篇幅，本文就不再贅述.

2 結 論

相對于貝塞爾光束、艾里光束等(準)無衍射光束，馬丟光束最大的特點是具有多種光學形態(tài).這種多樣性并不僅僅體現(xiàn)在馬丟光束本身就有4種形態(tài)，而且它的4種形態(tài)的每一種光學形態(tài)都隨著橢圓離焦量的改變而改變.因此，馬丟光束的構造和產生在實際的科學研究中具有更大的實用性和靈活性.

但在數(shù)學上描述馬丟光束的馬丟函數(shù)也更加復雜，這大大阻礙了人們研究馬丟光束簇的傳輸特性.為解決這一光學難題，筆者根據光波傳播的獨立性原理和疊加性原理，在數(shù)學上將橢圓坐標系下的馬丟函數(shù)展開為極坐標系下的貝塞爾函數(shù).在貝塞爾函數(shù)關系的基礎上，利用虛源法精確推導了4種馬丟-高斯光束的積分表達式.該組積分表達式為精確、定量地研究馬丟-高斯光束的傳輸特性奠定了理論基礎.另外，本文采用級數(shù)展開(對應光波傳播的獨立性原理和疊加性原理)與虛源技術相結合的手段，為研究其他復雜光束的傳輸問題提供了很好的方法與思路.

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