帶變號勢函數(shù)的分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程弱解的存在性

顧秋婷, 沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

近年來,涉及到分?jǐn)?shù)階及非局部算子問題的研究越來越熱門,文獻(xiàn)[1-6]探討了有關(guān)分?jǐn)?shù)階Laplacian方程解的存在性及相關(guān)問題.這類問題越來越多地在實(shí)際中得到應(yīng)用,例如隨機(jī)過程、金融學(xué),以及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、相變現(xiàn)象、人口動力學(xué)、博弈論等領(lǐng)域;文獻(xiàn)[7]研究了一個基爾霍夫型擬線性橢圓方程,在經(jīng)典的Ambrosetti-Rabinnowitz條件下,通過噴泉定理及對偶噴泉定理獲得了該方程無窮多解的存在性;文獻(xiàn)[8]采用山路引理獲得了一類分?jǐn)?shù)階薛定諤方程非平凡弱解的存在性;文獻(xiàn)[9]探討了如下分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 方程:

本文在沒有Ambrosetti-Rabinowitz條件的前提下,考慮更一般的方程

(1)

(2)

下面給出本文的一些假設(shè):

(f1)存在常數(shù)c1,c2>0,使得

p*s={NpN-ps,ps

∞,ps≥N.

本文的主要結(jié)果是:

定理1假設(shè)條件(f0)～(f4)成立,那么方程(1)至少存在一個非平凡弱解.

1 預(yù)備知識

首先回顧分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Ws,p(RN)[11]中的一些性質(zhì).定義Gagliardo半范數(shù)為

其中:u:RN→R是一可測函數(shù).定義分?jǐn)?shù)階Sobolev空間

Ws,p(RN)={u∈Lp(RN):u可測且[u]s,p<+∞},

其上賦予范數(shù)

其上賦予范數(shù)

下面給出方程(2)對應(yīng)的能量泛函I:Vp(RN)→R,

(3)

由條件(f0)和(f1)易知,泛函I是C1的,且具有意義,對?v∈Vp,I的Fréchet導(dǎo)數(shù)為

由此可知,泛函I的臨界點(diǎn)就是方程(2)的弱解,且在條件(f1)和條件(f2)下,對于?ε>0,?δ=δ(ε),使得對幾乎處處的x∈RN及?t∈RN,有

(4)

記((Vp)*,‖·‖*)為((Vp),‖·‖)的對偶空間,定義非線性算子J′:Vp→(Vp)*為

易得

〈J′(u),u〉=‖u‖p, ‖J′(u)‖*≤‖u‖p-1.

下面給出本文所需要的定義及引理.

定義1[12]設(shè)c∈R,E是一個Banach空間,且I∈C1(E,R).若當(dāng)n→∞時,對E中任意滿足I(vn)→c且‖I′(vn)‖→0的序列{vn}都有一收斂子列,則稱I滿足(PS)c條件;若對 ?c∈R,I都滿足(PS)c條件,則稱I滿足(PS)條件.

證明 已知Vp是局部一致凸空間,所以,在Vp中有“弱收斂+范數(shù)收斂?強(qiáng)收斂”.由條件{un}在Vp中弱收斂于u可知,只需證明當(dāng)n→∞ 時,‖un‖→‖u‖即可.注意到

〈J′(un)-J′(u),un-u〉=‖un‖p+‖u‖p-〈J′(un),u〉-〈J′(u),un〉.

其中：

另外,根據(jù)H?lder不等式得

利用不等式

(a+b)α(c+d)1-α≥aαc1-α+bαd1-α,

〈J′(un),u〉≤‖un‖p-1‖u‖.

類似地,

〈J′(u),un〉≤‖u‖p-1‖un‖.

因此,

〈J′(un)-J′(u),un-u〉≥‖un‖p+‖u‖p-‖un‖p-1‖u‖-‖u‖p-1‖un‖=

(‖un‖p-1-‖u‖p-1)(‖un‖-‖u‖)≥0.

其中，τ是一個正常數(shù).

2 定理1的證明

為了證明定理1,需要建立下面幾個引理.

引理3對于方程 (2),若條件(f0)～(f4)成立,則它的能量泛函I滿足(PS)條件.

證明 由定義1可知,只需證明泛函I的任一(PS)c序列{un}在Vp中存在強(qiáng)收斂的子列即可.下面分2步來證明：

1)序列{un}?Vp有界.

反證法 假設(shè)‖un‖→∞(n→∞),并記en=un/‖un‖,那么‖en‖=1.從而在子列的意義下,結(jié)合引理1知,存在e∈Vp,當(dāng)n→∞時,

(5)

分2種情形討論.

①e=0.

〈I′(tnun),tnun〉=0.

(6)

另外,對?κ>0,令

那么,由‖un‖→∞(n→∞)可知,當(dāng)n→∞時,

結(jié)合式(4)得

因此,當(dāng)n足夠大時,有

由κ的任意性得

I(tnun)→∞.

(7)

綜合式(6)和式(7),當(dāng)n→∞時,

因此,由假設(shè)(f4)可知,存在θ≥1,當(dāng)n→∞時,

(8)

另一方面,

(9)

與式(8)矛盾.

②e≠0.

記集合Λ={x∈RN:e(x)≠0}.顯然Λ可測,且對?x∈Λ,當(dāng)n→∞時,|un(x)|→∞.因而在Λ中,結(jié)合假設(shè)(f3)及Fatou引理可得

(10)

另一方面,由定義1可知,

(11)

與式 (10) 矛盾.

綜合2種情形便可推斷序列{un}?Vp有界.

2)存在u?Vp,當(dāng)n→∞時,‖un-u‖→0.

結(jié)合假設(shè)(f1)及引理2,利用H?lder不等式有

c1τp-1(‖un‖p-1+‖u‖p-1)‖un-u‖p+c2τq-1(‖un‖q-1+‖u‖q-1)‖un-u‖q→0.

從而當(dāng)n→∞時,

因此,結(jié)合引理1,當(dāng)n→∞時便有‖un-u‖→0.引理3證畢.

引理4若N≥2,p≥2,s∈(0,1),且條件(f0)～(f3)成立,則存在ρ>0,β>0,當(dāng)‖u‖=ρ時,I(u)≥β.

證明 由式(4)可知,對?ε>0,?δ(ε)>0,使得

I(u)=1p∫RN|u(x)-u(y)|p|x-y|N+psdxdy+1p∫RNV^(x)|u(x)|pdx-∫RNF^(x,u)dx=

引理4證畢.

引理5若條件(f0)～(f3)成立,則存在e∈Vp(RN),使得在RN中幾乎處處成立e≥0,且‖e‖>ρ,I(e)<β,其中ρ和β是在引理4中給出的.

證明 由假設(shè)(f3)可知,對于?ε>0,?M>0,使得

特別地,

這表明:對?ε>0,有

由ε的任意性得

因此,當(dāng)|t|→∞時,

引理5證畢.

定理1的證明 由引理4和引理5可以定義

其中

Γ={T∈C([0,1],Vp(RN)):T(0)=0,T(1)=e}.

再結(jié)合引理3可得方程(2)的能量泛函I滿足山路引理,而方程(1)等價于方程(2),所以方程(1)至少存在1個非平凡弱解.定理1得證.

[1]Teng K.Multiple solutions for a class of fractional Schr?dinger equations inRN[J].Nonlinear Anal:Real World Appl,2015,21(21):76-86.

[2]Chung N T,Toan H Q.On a class of anisotropic elliptic equations without Ambrosetti-Rabinowitz type conditions[J].Nonlinear Anal:Real World Appl,2014,16(16):132-145.

[3]Zhang W,Tang X,Zhang J.Infinitely many solutions for fourth-order elliptic equations with sign-changing potential[J].Taiwanese J Math,2014,18(2):645-659.

[4]Liu H,Chen H,Yang X.Multiple solutions for superlinear Schr?dinger-Poisson system with sign-changing potential and nonlinearity[J].Comput Math Appl,2014,68(12):1982-990.

[5]Chang X,Wang Z Q.Ground state of scalar field equations involving a fractional Laplacian with general nonlinearity[J].Nonlinearity,2013,26(2):479-494.

[6]Ambrosetti A,Rabinowitz P H.Dual variational methods in critical point theory and applications[J].J Funct Anal,1973,14(4):349-381.

[7]Liu D.On ap-Kirchhoff equation via fountain theorem and dual fountain theorem[J].Nonlinear Anal,2010,72(1):302-308.

[8]Secchi S.Ground state solutions for nonlinear fractional Schr?dinger equations inRN[J].J Math Phys,2013,54(3):1-17.

[9]Xu J,Wei Z,Dong W.Weak solutions for a fractionalp-Laplacian equation with sign-changing potential[J].Complex Var Elliptic Equ,2015,61(2):1-13.

[10]Iannizzotto A,Liu S,Perera K,et al.Existence results for fractionalp-Laplacian problems via Morse theory[J].Adv Calc Var,2016,9(2):101-125.

[11]Nezza E D,Palatucci G,Valdinoci E.Hitchhiker′s guide to the fractional Sobolev spaces[J].Bull Sci Math,2012,136(5):521-573.

[12]Willem M.Minimax theorems[M].Boston:Birkh?user Boston,1996:12-15.