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    常見(jiàn)均勻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

    2018-03-06 08:04:56楊小云
    科技資訊 2018年29期
    關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)軸

    楊小云

    摘 要:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體力學(xué)中的一個(gè)重要物理量,在許多大學(xué)物理教材中,對(duì)一些常見(jiàn)均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只給出了結(jié)論,沒(méi)有給出計(jì)算過(guò)程。本文根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義計(jì)算出一些常見(jiàn)的幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,得出了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與一些因素有關(guān)。期望這些內(nèi)容能對(duì)大學(xué)物理教學(xué)和學(xué)生的深入理解提供幫助。

    關(guān)鍵詞:均勻剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 轉(zhuǎn)軸

    中圖分類號(hào):P159.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1672-3791(2018)10(b)-0184-02

    轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體力學(xué)中一個(gè)較為重要的物理量,它描述了剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性的大小。它和物體做平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量m地位相當(dāng),其定義式可由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和動(dòng)量矩推導(dǎo)出來(lái)[1]。幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為。常見(jiàn)的均勻剛體有圓柱、圓環(huán)、圓盤(pán)、細(xì)棒、球體等,教科書(shū)雖給出部分均勻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,但沒(méi)給出計(jì)算過(guò)程,本文將根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義計(jì)算出這些常見(jiàn)均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

    1 空心圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

    如圖1所示為質(zhì)量m的空心圓柱體,在半徑r(R1

    因空心圓柱體是均勻的,ρ為恒量,因此

    ,又因?yàn)閳A柱體的質(zhì)量

    為,所以可得:。

    當(dāng)R1=R2時(shí),得薄壁圓筒(如圖2)對(duì)通過(guò)中心的幾何軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2。

    當(dāng)R1=0時(shí),得實(shí)心圓柱體(如圖3)對(duì)通過(guò)中心的幾何

    軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。

    根據(jù)實(shí)心圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的結(jié)論,將實(shí)心球在與z軸垂直的方向上切成半徑為r,厚度為dz的薄片,實(shí)心球密度為ρ,則該薄片質(zhì)量為,實(shí)心球的質(zhì)量為

    。根據(jù)幾何關(guān)系,即可知可知實(shí)心

    球?qū)νㄟ^(guò)球體直徑z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[4]:

    根據(jù)實(shí)心球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的結(jié)論,設(shè)空心球的內(nèi)徑為R1,外徑為R2。同密度的實(shí)心球,若以R1為半徑,則質(zhì)量為

    M1;若以R2為半徑,則質(zhì)量為M2,由m2-m1=m

    公式(3)中若R1=R2時(shí),得球殼對(duì)通過(guò)球心的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

    2 環(huán)形圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

    如圖4所示質(zhì)量為m的環(huán)形,在半徑r(R1

    由于環(huán)形圓盤(pán)是均勻的,σ為恒量,因此;

    將環(huán)形圓盤(pán)的質(zhì)量代入(5)可得環(huán)形圓盤(pán)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

    當(dāng)R1=0時(shí),得圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心且與盤(pán)面垂直的z軸的轉(zhuǎn)

    動(dòng)慣量為。

    當(dāng)R1=R2時(shí),得圓環(huán)對(duì)通過(guò)中心且與圓環(huán)垂直的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2。

    3 細(xì)棒和長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

    如圖5所示質(zhì)量為m的細(xì),在棒內(nèi)距z軸為x處,取長(zhǎng)為dx,橫截面積為S的質(zhì)元,設(shè)棒的密度為ρ,則該質(zhì)元的質(zhì)量為,所以細(xì)棒A對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

    。由于細(xì)棒是均勻的,ρ為恒量,

    因此,若細(xì)棒A的質(zhì)量為m=ρlS,則細(xì)棒對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

    如圖6所示質(zhì)量為m的長(zhǎng)方體,沿轉(zhuǎn)軸z方向取一長(zhǎng)為dy,寬為dx,高為 的細(xì)長(zhǎng)方體,因細(xì)長(zhǎng)方體橫截面非常小,因此橫截面上任意一處可看成一個(gè)坐標(biāo)為(x,y,z)的點(diǎn)。設(shè)長(zhǎng)方體的密度為ρ,則該細(xì)長(zhǎng)方體的質(zhì)量為。又因細(xì)長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為則細(xì)長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,整個(gè)長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

    3 結(jié)語(yǔ)

    轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理中關(guān)于剛體力學(xué)的一個(gè)重要的物理量,而關(guān)于常見(jiàn)均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算也是大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)之一。本文利用微元法計(jì)算了空心圓柱體和環(huán)形圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,并通過(guò)討論推廣得到了薄壁圓筒、實(shí)心圓柱體、實(shí)心球、空心球、球殼、圓盤(pán)、圓環(huán)相對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 韓眾.幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,30(4):25-27.

    [2] 漆安慎,杜嬋英.力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1997.

    [3] 馬文蔚.物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006.

    [4] 張金鋒,劉建軍,公丕鋒.基于均質(zhì)球?qū)ΨQ剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016(1):84-85.

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