盾構(gòu)隧道斷面測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法研究

高俊強(qiáng)夏瑩祎陳 洲

(南京工業(yè)大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京211800)

0 引 言

國(guó)內(nèi)長(zhǎng)距離隧道(洞)工程采用盾構(gòu)機(jī)(TBM)開(kāi)挖越來(lái)越普遍,多數(shù)為直線—緩和曲線—圓曲線—緩和曲線—直線這樣的設(shè)計(jì)形式且只有幾個(gè)貫通面[1]。隧道斷面一般是圓形,測(cè)量常用斷面儀或全站儀進(jìn)行,數(shù)據(jù)處理一般按最小二乘法[2]建立擬合模型計(jì)算隧道斷面的中心坐標(biāo)和半徑。由于擬合模型中系數(shù)矩陣主元非絕對(duì)占優(yōu),實(shí)際計(jì)算時(shí)常會(huì)遇到計(jì)算結(jié)果異常的情況,適當(dāng)調(diào)整數(shù)據(jù)順序或改變數(shù)據(jù)量又不能得到較為滿意的結(jié)果,會(huì)造成在外業(yè)數(shù)據(jù)采集過(guò)程中解算異常情況下無(wú)法操作或不能進(jìn)行數(shù)據(jù)處理問(wèn)題。此外,針對(duì)隧道斷面數(shù)據(jù)按最小二乘擬合是否合理、擬合效果如何評(píng)判,在目前測(cè)繪行業(yè)規(guī)范中均未給出明確規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)。

國(guó)家機(jī)械工業(yè)委員會(huì)指出,評(píng)定圓度誤差的算法有4種:① 最小區(qū)域法(MZC);② 最小二乘法(LSC);③ 最小外接圓法(MCC);④ 最大內(nèi)接圓法(MIC)。其中,最小區(qū)域法評(píng)定圓度誤差值為最小,且具有唯一性;最小二乘圓法所評(píng)定的圓度誤差值也具有唯一性,但數(shù)值不是最小;另外兩種方法都是近似法[3-5]?？紤]到機(jī)械零件測(cè)量與盾構(gòu)隧道測(cè)量的數(shù)據(jù)同樣符合偶然誤差規(guī)律,僅僅是采樣數(shù)據(jù)密度不同而已,因此,可以借助機(jī)械工業(yè)委員會(huì)的評(píng)定指標(biāo)和方法來(lái)評(píng)定盾構(gòu)圓形隧道的拼裝質(zhì)量。本文以最小區(qū)域法計(jì)算隧道斷面中心位置和半徑,并將此方法和其他3類(lèi)方法進(jìn)行對(duì)比分析。

1 基本知識(shí)[5-6]

1.1 圓度

圓度,即圓度誤差,是指斷面誤差曲線上離圓心最遠(yuǎn)一點(diǎn)到圓心距離與離圓心最近一點(diǎn)到圓心距離之差。

1.2 最小二乘圓法

當(dāng)斷面誤差曲線上各點(diǎn)到某一圓的距離平方和為最小時(shí),該圓即為最小二乘圓。設(shè)曲線上某點(diǎn)到該圓心的最大距離為r Max,另一點(diǎn)到圓心的最小距離為r Min,則圓度誤差為f=r Max-r Min。

1.3 最小外接圓法

最小外接圓是指包容實(shí)際斷面輪廓邊線時(shí),具有半徑為最小的圓,也即包容斷面邊線的最小圓,在誤差曲線上,某點(diǎn)到該最小外接圓的最大距離即為圓度誤差。

1.4 最大內(nèi)切圓法

最大內(nèi)切圓是指內(nèi)切于實(shí)測(cè)斷面輪廓邊線,或內(nèi)切于斷面誤差曲線,且半徑為最大的圓。誤差曲線上某點(diǎn)到該圓的最大距離即為斷面的圓度誤差。

1.5 最小區(qū)域法

最小區(qū)域法是用兩個(gè)同心圓所組成的圓環(huán)來(lái)包容實(shí)際區(qū)域,包容時(shí),至少應(yīng)有內(nèi)外交替四點(diǎn)與此接觸,這樣兩同心圓半徑差為最小,這個(gè)半徑差即為此區(qū)域的圓度誤差。

2 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)圓在XOY平面或平行于XOY平面,圓的一般方程為:(x i-a)2+(y i-b)2=r2,測(cè)得斷面n(n≥3)點(diǎn),各點(diǎn)坐標(biāo)為x i,y i(i=1,2,……,n),各點(diǎn)到該圓圓心的距離為r i=。

按最小二乘法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù):

按最小區(qū)域法構(gòu)建函數(shù):

式(2)實(shí)質(zhì)是求解圓心坐標(biāo)(a,b)的最優(yōu)問(wèn)題,求解結(jié)果即是最小區(qū)域圓圓心坐標(biāo)值。

同理,按最小外接圓法和最大內(nèi)接圓法分別構(gòu)建函數(shù):

3 最小區(qū)域法的一種算法實(shí)現(xiàn)

最小區(qū)域的判別方法[3]是:兩同心包容圓至少應(yīng)與被測(cè)實(shí)際輪廓成內(nèi)外相間的4點(diǎn)接觸(圖1)。

圖1 最小區(qū)域法示意圖

根據(jù)最小包容區(qū)域法的定義,最小包容圓與被測(cè)盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的兩點(diǎn)之間的連線應(yīng)和最大包容圓與被測(cè)盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的兩點(diǎn)之間的連線在被測(cè)盾構(gòu)拼裝環(huán)內(nèi)相交[7-9]。實(shí)質(zhì)是根據(jù)盾構(gòu)拼裝環(huán)上的點(diǎn)找到符合要求的中心,且該中心既是最小包容圓的圓心,同時(shí)也是最大包容圓的圓心。為方便起見(jiàn),不妨稱最小包容圓與所測(cè)盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的點(diǎn)為最內(nèi)點(diǎn),稱最大包容圓與所測(cè)盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的點(diǎn)為最外點(diǎn)。找符合要求的評(píng)定中心時(shí),先找出兩個(gè)不相臨的最內(nèi)點(diǎn),移動(dòng)中心,使兩個(gè)不相臨的最內(nèi)點(diǎn)在同一圓周上;再找出和兩個(gè)最內(nèi)點(diǎn)相互間隔的兩個(gè)最外點(diǎn),再一次移動(dòng)中心,使兩個(gè)最內(nèi)點(diǎn)和兩個(gè)最外點(diǎn)在兩個(gè)同心圓上;如果兩個(gè)同心圓中一個(gè)是最小包容圓,另一個(gè)是最大包容圓,則兩個(gè)同心圓的圓心即是符合要求的評(píng)定中心,否則應(yīng)重新搜索。

3.1 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)處理

測(cè)量時(shí)由于控制測(cè)量、導(dǎo)向測(cè)量、拼裝施工等誤差影響,所測(cè)拼裝斷面的圓中心與符合要求的評(píng)定中心有一定偏離。為了能從所測(cè)數(shù)據(jù)中快速找到符合要求的評(píng)定中心,先對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)用面質(zhì)心法進(jìn)行一次預(yù)處理,計(jì)算公式如下:

假設(shè)所計(jì)算的圓心為o1,對(duì)所有點(diǎn)斷面點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換,得各測(cè)點(diǎn)以o1點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的新坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo),極坐標(biāo),其值為:

3.2 搜索理想評(píng)定中心

對(duì)上述經(jīng)過(guò)加工的數(shù)據(jù)排序,找出符合條件的兩最內(nèi)點(diǎn)(圖2)。設(shè)A,B是以o1為中心的兩最內(nèi)點(diǎn),且有o1B＞o1A,將o1點(diǎn)沿o1B方向移動(dòng)至o2點(diǎn),使o2B＞o2A,o2點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2),移動(dòng)距離o1o2=s,A點(diǎn)和B點(diǎn)的徑向值分別為r1A和r1B,對(duì)應(yīng)的方向角分別為θ1A和θ1B。由于o2B=o2A,由余弦定理知:

圖2 最小區(qū)域圓的搜索算法

由式(7)可求得s值,從而可得o2點(diǎn)坐標(biāo)值:

將評(píng)定中心由o1移至o2,經(jīng)坐標(biāo)換算,得各測(cè)點(diǎn)以o2點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的新坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)。設(shè)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后,A,B仍然是以o2為中心的兩最內(nèi)點(diǎn),C,D是以o2為中心的兩最外點(diǎn),且滿足內(nèi)外點(diǎn)相間的條件。再次移動(dòng)o2至評(píng)定中心o3(x3,y3),使o3A=o3B,o3C=o3D。按初等數(shù)學(xué)定理,為滿足上述條件,o3點(diǎn)一定是AB和CD兩中垂線的交點(diǎn)。設(shè),AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x m,y m),CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x n,y n),則可求得AB的中垂線方程為:

CD的中垂線方程為:

將兩方程聯(lián)合解算,求得o3點(diǎn)坐標(biāo)。以o3為評(píng)定中心,判斷是否滿足最小區(qū)域法要求。如滿足,o3點(diǎn)即為最小區(qū)域法的最佳評(píng)定中心,否則,應(yīng)換點(diǎn)重復(fù)上述過(guò)程,直至找到滿足最小區(qū)域法要求的理想評(píng)定中心o3為止。

最小外接圓法和最大內(nèi)切圓法的計(jì)算也可通過(guò)類(lèi)似方法求出[8-10]。

4 工程實(shí)例

依據(jù)上述算法編寫(xiě)了相應(yīng)的拼裝環(huán)圓度誤差評(píng)定計(jì)算程序。用該程序?qū)δ暇┑罔F一號(hào)線某段實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)定,并與其他3種方法的評(píng)定結(jié)果比較(表1)。

表1 4種不同評(píng)定方法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

由表1可以看出,4種圓度誤差評(píng)定方法中,最小二乘法、最小區(qū)域法評(píng)定的圓心和半徑以及圓度誤差相差并不顯著,其中最小區(qū)域法評(píng)定誤差最小,和理論分析一致;而最小外接圓法和最大內(nèi)切圓法對(duì)不同斷面測(cè)量數(shù)據(jù),其評(píng)定結(jié)果大小沒(méi)有規(guī)律,兩者明顯偏大。此外,在實(shí)際擬合過(guò)程中,如果初始值選取不當(dāng),容易造成迭代計(jì)算發(fā)散。建議在在實(shí)際工作中對(duì)于每一組測(cè)量數(shù)據(jù)在生成斷面數(shù)據(jù)文件后先用最小二乘法計(jì)算中心坐標(biāo),然后采用本文提出的最小區(qū)域算法,這樣可取得較好效果。

5 結(jié) 語(yǔ)

隧道斷面測(cè)量后數(shù)據(jù)處理的方法有多種,常用的是最小二乘法。本文提出最小區(qū)域法計(jì)算圓心,其誤差最小,但在工程應(yīng)用中計(jì)算比較麻煩。若先用最小二乘法計(jì)算出中心坐標(biāo),然后采用本文提出的最小區(qū)域算法可取得較好效果。

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