基于EM算法的知情交易概率估計(jì)

尹 康(湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與環(huán)境資源學(xué)院，湖北 武漢 430205)

一、引 言

知情交易作為金融市場微觀結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，受到理論研究者和市場從業(yè)人員的高度關(guān)注。知情交易是市場中持有內(nèi)部信息的投資者所發(fā)起的交易，它反映了市場中信息不對稱程度，同時(shí)知情交易的出現(xiàn)也會對市場運(yùn)行質(zhì)量產(chǎn)生持續(xù)而又深遠(yuǎn)的影響，因此準(zhǔn)確度量市場中知情交易水平是進(jìn)一步討論其他問題的基礎(chǔ)。Easley等以序貫交易模型(EKOP模型)為基礎(chǔ)，提出知情交易概率(Probability of Informed Trading，PIN)這一指標(biāo)來度量市場交易活動中基于私有信息交易的比例[1]。由于該指標(biāo)具有較好的理論背景且便于解釋，故一經(jīng)提出便得到大家廣泛認(rèn)可。20年來，已有大量文獻(xiàn)利用PIN指標(biāo)來描述世界各國或地區(qū)的證券市場中知情交易水平。目前，PIN指標(biāo)已被廣泛用于公司金融、投資、資產(chǎn)定價(jià)以及市場微觀結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域。

在國內(nèi)，有不少學(xué)者利用EKOP模型所構(gòu)建的PIN指標(biāo)，對中國證券市場的知情交易水平進(jìn)行了度量。國內(nèi)一些學(xué)者根據(jù)Easley等的估計(jì)思路，對中國上市公司不同時(shí)段、不同樣本集合股票的知情交易概率(PIN)進(jìn)行過估算，這些估計(jì)結(jié)果被用于分析中國證券市場的信息風(fēng)險(xiǎn)、價(jià)格波動、市場定價(jià)以及上市公司財(cái)務(wù)審計(jì)等各方面[2-5]。

然而，許多學(xué)者在使用PIN指標(biāo)過程中，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的PIN估計(jì)方法存在系統(tǒng)性偏誤。Brockman等用EKOP模型估計(jì)了香港證券市場532家公司的PIN，其中有11家公司因?yàn)閰?shù)不收斂或是角點(diǎn)解的原因無法給出合理的PIN估計(jì)[6]。Brown等以美國三大證券市場共5 754家公司34 035組季度觀測數(shù)據(jù)為樣本，因?yàn)樵趨?shù)估計(jì)過程中出現(xiàn)數(shù)值溢出，致使其中5 393組季度數(shù)據(jù)無法估計(jì)出PIN[7]。Easley等用2001年2 037支股票的年度數(shù)據(jù)估計(jì)PIN，其中有47支股票因?yàn)閿?shù)據(jù)溢出未能給出合理估計(jì)，這些未給出PIN估計(jì)的股票，其市值占市場總市值的23.7%[8]。正如Ersan等所做的總結(jié)，傳統(tǒng)的PIN估算方法在成交比較活躍的市場面臨三個(gè)計(jì)算方面的障礙：一是交易活躍導(dǎo)致買賣單數(shù)量較大，使得極大似然估計(jì)容易出現(xiàn)數(shù)值溢出；二是估計(jì)結(jié)果頻繁出現(xiàn)邊界解；三是估計(jì)結(jié)果對初始值設(shè)定極為敏感[9]。

為了解決傳統(tǒng)估計(jì)方法可能存在的估計(jì)偏誤，Easley等嘗試?yán)霉ぞ咦兞恳约癡ega利用自助法(Bootstrap)來控制PIN估計(jì)過程中存在的偏誤，從實(shí)踐效果看，這些方法效果不太理想[10-11]。Easley等相繼提出通過對似然函數(shù)因子化來克服優(yōu)化過程中出現(xiàn)數(shù)值溢出，從而降低或消除PIN的估計(jì)偏誤[8，12]。Jackson建議對每天的買賣單數(shù)據(jù)同比例縮小一定倍數(shù)來克服似然函數(shù)優(yōu)化過程中出現(xiàn)數(shù)值溢出[13]。但是，從泊松分布的特征可知，這種做法可能導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)更大的扭曲。Gan等認(rèn)為在已有的這些改進(jìn)措施中，似然函數(shù)因子化是相對可行的一類改進(jìn)方法，而LK因子化又表現(xiàn)得比EHO因子化方法要好[14]。然而在本文接下來的研究中可以發(fā)現(xiàn)，似然函數(shù)因子化的做法雖然對糾正PIN估計(jì)偏誤有一定效果，但仍存在改善空間。

本文在前述研究工作的基礎(chǔ)上，提出利用EM算法的思路重新設(shè)計(jì)EKOP模型中似然函數(shù)的估計(jì)方法，并且根據(jù)EKOP模型的理論特征設(shè)定待估參數(shù)的初始值。最后，以模擬數(shù)據(jù)和市場交易數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別給出了EM算法、EHO因子化以及LK因子化的估計(jì)結(jié)果，并從數(shù)值溢出和估算效率兩方面對這三類估計(jì)進(jìn)行評價(jià)。

二、傳統(tǒng)的知情交易概率度量

(一)EKOP模型

當(dāng)投資者根據(jù)其所持有的私有信息進(jìn)行交易時(shí)，信息不對稱就會在市場上自我呈現(xiàn)。雖然我們無法判斷具體某一筆交易是否為知情交易，但是可以從市場中買賣單的不平衡狀況推斷知情交易者的存在，這種可觀測性給Easley等提出的EKOP模型提供了一種理論上的直覺解釋。在EKOP模型中，做市商通過對訂單流的學(xué)習(xí)來推斷交易者的類型，隨著知情交易者的參與，在交易日結(jié)束時(shí)，市場交易價(jià)格最終將收斂到私有信息完全揭示時(shí)的資產(chǎn)真實(shí)價(jià)值。通過對一段時(shí)期內(nèi)每個(gè)交易日訂單流的觀測，可以利用EKOP模型所提供的框架對市場中知情交易概率進(jìn)行估計(jì)。

EKOP模型從理論上看與Glosten等所提出的序貫交易模型一脈相承[15]。在一個(gè)序貫交易模型中，潛在的買者和賣者與做市商進(jìn)行交易，市場中可供交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)只有一種。做市商的風(fēng)險(xiǎn)偏好是風(fēng)險(xiǎn)中性的，定價(jià)策略則是競爭性的，其主要職能是制定交易的買、賣價(jià)格，接受并處理市場交易者提交的訂單。在模型中，假設(shè)交易者以某種特定概率結(jié)構(gòu)相互獨(dú)立地到達(dá)市場，在給定市場買賣價(jià)格面前，交易者可以選擇交易或者不交易；做市商從這些陸續(xù)到達(dá)市場的訂單中提煉出相關(guān)市場信息從而更新他們的市場定價(jià)。

市場中的交易者分為知情交易者和非知情交易者兩類。知情交易者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，同時(shí)也是一個(gè)價(jià)格接受者。后一個(gè)特征表明知情交易者不會采取任何策略性交易行為，而只是遵循簡單的利益最大化的原則進(jìn)行交易，即如果市場有利好消息發(fā)生，則買入；如果利空消息，則賣出。知情交易者并不考慮其買賣行為對價(jià)格的影響，更不會把這種影響納入其交易決策。非知情交易者的交易行為要復(fù)雜一些，如果非知情交易者是基于投機(jī)的原因而進(jìn)入市場交易的話，那么在市場中存在知情交易這一事實(shí)面前，他們最好的選擇是離開市場。為了避免市場中出現(xiàn)這種無交易均衡，假定非知情交易者并非出于投機(jī)原因而是流動性需求進(jìn)場交易。因此，有些文獻(xiàn)也把這類交易者稱為噪音交易者或流動性交易者。同時(shí)，我們認(rèn)為非知情交易者的買賣方向應(yīng)是隨機(jī)的，他們買或賣的概率各為0.5。

做市商的競爭性定價(jià)原則意味著，買賣價(jià)格的確定要求做市商基于以往交易信息的期望利潤為零，但做市商在與知情交易者交易時(shí)會遭受損失，這迫使做市商必須到非知情交易者那里得到補(bǔ)償，而適時(shí)調(diào)整買賣價(jià)差便是實(shí)現(xiàn)這種補(bǔ)償?shù)挠行C(jī)制。

圖1 序貫交易樹形圖

根據(jù)上述序貫交易結(jié)構(gòu)，在給定時(shí)間內(nèi)，總委托單的期望值為αμ+2ε，知情委托的期望值為αμ。因此，對于給定的一筆交易，其為知情交易的概率為：

(1)

(二)PIN的估計(jì)

Easley等基于某支股票各交易日的買賣單數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)包含參數(shù){α,δ,ε,μ}的似然函數(shù)[1]。通過對似然函數(shù)的優(yōu)化給出參數(shù)的估計(jì)值，從而計(jì)算出給定股票的知情交易概率。假定在第i個(gè)交易日，i∈[1,2，…,I]，對某支股票共觀測到Bi筆買單和Si筆賣單，由前面的交易結(jié)構(gòu)可知，如果第i天沒有消息發(fā)生，則似然函數(shù)為：

(2)

如果第i天有壞消息發(fā)生，則似然函數(shù)為：

(3)

如果第i天有好消息發(fā)生，則對應(yīng)的似然函數(shù)為：

(4)

對任意一個(gè)交易日，無消息、壞消息以及好消息發(fā)生的概率分別為：1-α、α(1-δ)、αδ，因此對于第i天的似然函數(shù)為：

L(α,δ,μ,ε|Bi,Si)

=(1-α)f1(Bi,Si)+αδf2(Bi,Si)+

α(1-δ)f3(Bi,Si)

(5)

(6)

通過最大化式(6)，可以求解出參數(shù){α,δ,μ,ε}的估計(jì)值，但是這一求解過程可能會遇到一些障礙。首先，要注意的問題是參數(shù)的取值范圍約束，α、δ為概率參數(shù)，取值應(yīng)在(0,1)之間；μ、ε作為泊松流的強(qiáng)度，取值均應(yīng)大于0。其次，Bi、Si作為一個(gè)交易日內(nèi)的買賣單筆數(shù)，在式(6)中，有Bi、Si的指數(shù)函數(shù)以及階乘運(yùn)算，當(dāng)Bi、Si的取值較大時(shí)，似然函數(shù)的計(jì)算結(jié)果可能會超出軟件所許可的數(shù)值范圍，這種數(shù)值溢出也稱為浮點(diǎn)運(yùn)算溢出(the Floating-Point Exception，F(xiàn)PE)，它將會影響到軟件的優(yōu)化求解，所得到的參數(shù)估計(jì)值可能會有偏誤，嚴(yán)重時(shí)無法給出參數(shù)估計(jì)。

從最優(yōu)化算法可知，有約束優(yōu)化相比無約束優(yōu)化在算法設(shè)計(jì)上要復(fù)雜許多。鑒于此，Easley等對參數(shù)的取值范圍約束提出一個(gè)折中解決方案，建議對參數(shù)進(jìn)行變換，對α、δ做Logit變換，即令：

(7)

δ類似；μ、ε做指數(shù)變換，即μ=exp(μ*)，ε=exp (ε*)[1,10]。將新參數(shù)α*、δ*、μ*、ε*代入似然函數(shù)式(6)，雖然求解過程變成無約束優(yōu)化，但同時(shí)也使得目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式變得更為復(fù)雜。

對似然函數(shù)式(6)的最大化，無法給出參數(shù)的顯示解，只能通過數(shù)值優(yōu)化的方法獲得一個(gè)數(shù)值解。為了避免直接對似然函數(shù)優(yōu)化所帶來的數(shù)值溢出問題， Easley等通過對似然函數(shù)進(jìn)行因子化處理以便更有效地進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化[8]。對數(shù)似然函數(shù)的因子化變形結(jié)果如下：

L(B,S|θ)

(8)

L(B，S|θ)

αδexp (e2i-emax，i)+(1-α)exp (e3i-emax，i)]

(9)

對式(8)和(9)的優(yōu)化求解，一般利用Quasi-Newton方法，但該方法對初始值的設(shè)定較為敏感，給定一組初始值，求解出的結(jié)果可能是全局最優(yōu)也可能是局部最優(yōu)，不恰當(dāng)?shù)某跏贾颠€有可能出現(xiàn)邊界解。

三、基于EM算法的改進(jìn)

在對似然函數(shù)的優(yōu)化方法上，Easley等使用二次爬山法(Quadratic Hill-climbing)求解參數(shù)，Brockman等利用統(tǒng)計(jì)軟件(SAS、STATA)中自帶的程序求解參數(shù)，其基本原理都是Quasi-Newton算法[1,6-7,12,16]?？紤]到EKOP模型中的似然函數(shù)由混合泊松分布構(gòu)成，運(yùn)算結(jié)構(gòu)上先求和再求積，這種混合泊松分布的概率密度函數(shù)如果直接做數(shù)值優(yōu)化，顯然是缺乏效率的。如果需要計(jì)算的股票較多而且數(shù)據(jù)量較大時(shí)，這可能是一個(gè)嚴(yán)重的問題。在對這類目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，EM算法相比以往的直接優(yōu)化方法，在估計(jì)結(jié)果的合理性以及計(jì)算速度上都更有優(yōu)勢。下面簡要描述用EM算法優(yōu)化參數(shù)求解過程。

引入不可觀測的示性變量Zi=(Zi1,Zi2,Zi3)，Zi的取值遵循下列原則：

(10)

對應(yīng)的概率分布：

(11)

新的似然函數(shù)：

(12)

對數(shù)化的似然函數(shù)：

(13)

最大化的一階條件：

(14)

由式(14)中第一個(gè)等式可得：

(15)

由式(14)中第二個(gè)等式可得：

(16)

聯(lián)合式(15)、(16)解得：

(17)

(18)

對于各類消息發(fā)生的概率：

上述結(jié)果即為EM算法中M步的結(jié)論，接下來求解E步：zik未知，考慮用E(zik|Bi,Si)代替。顯然有：

(19)

因此，EM算法的迭代程序?yàn)榻o定參數(shù)初始值后，E步的迭代結(jié)果：

(20)

式(20)經(jīng)展開化簡，又可以表示為：

γ(m+1)(zi1)=

(21)

γ(m+1)(zi2)=

(22)

γ(m+1)(zi3)=

(23)

然后給出M步的迭代結(jié)果：

(24)

(25)

(26)

(27)

四、初始值的設(shè)定

Yan等以紐交所MNR股票為例，用80組不同的初始值對式(8)、(9)分別進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在兩個(gè)模型中各有34組初始值的優(yōu)化解為邊界解，其中22組初始值求解出α=0，12組初始值求解出α=1[16]。α取0或1的結(jié)果顯然不符合市場運(yùn)行的實(shí)際情況。為了有效地設(shè)置初始值，避免求解出的參數(shù)值缺乏現(xiàn)實(shí)意義，Yan等提出利用矩條件來設(shè)定初始值的方法。在該方法中，α、δ的取值范圍為[0,1]，因此初始值的設(shè)定在[0,1]之間等距選擇，如(0.1,0.3,0.5,0.7,0.9)，μ和ε的取值范圍為(0，+)，利用與μ、ε兩個(gè)參數(shù)有關(guān)的矩條件來限定其初始值的取值范圍，矩條件如下：

E(B)=α(1-δ)μ+εorE(S)=αδμ+ε

(28)

這兩個(gè)矩條件在設(shè)定中只能利用一個(gè)，因此對樣本信息利用不夠充分。本文考慮使用下列矩條件：

(29)

(30)

其中αi、δj∈{0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}，所有參數(shù)的初始值在理論上是合理，避免Yan等文中因初始值不符合理論設(shè)定所進(jìn)行的二次剔除，因此在設(shè)定上更為有效。

五、模擬結(jié)果的比較

為了比較Easley等所提出的估計(jì)方法與本文所提出的EM算法在PIN估計(jì)上的差異，考慮模擬產(chǎn)生三組買賣單數(shù)據(jù)，在這三組數(shù)據(jù)中交易天數(shù)都被假定為200天，買賣單的提交滿足EKOP模型的基本設(shè)定[8,12]。在數(shù)據(jù)A中，假定消息發(fā)生概率α=0.1，利空消息發(fā)生的概率δ=0.3，知情交易訂單的提交強(qiáng)度μ=100，非知情交易者的買賣單提交強(qiáng)度均為ε=40；在數(shù)據(jù)B中，α和δ的設(shè)定不變，μ=5 000，ε=2 000；在數(shù)據(jù)C中，α和δ的設(shè)定不變，μ=100 000，ε=40 000。在估計(jì)EHO模型和LK模型中，似然函數(shù)的優(yōu)化使用R軟件中optim()函數(shù)，優(yōu)化方式選擇BSFG算法。三種參數(shù)估計(jì)方法的初始值均按照式(30)中設(shè)定，估計(jì)結(jié)果匯總參見表1。

表1 基于模擬數(shù)據(jù)的優(yōu)化結(jié)果比較

模擬生成的三組數(shù)據(jù)的數(shù)量級依次增加，數(shù)據(jù)A的數(shù)量級以百計(jì)，數(shù)據(jù)B以千計(jì)，數(shù)據(jù)C以萬計(jì)。從表1可以看出，在這三組數(shù)據(jù)中，EHO方法僅能對第一組數(shù)據(jù)給出估計(jì)；在后兩組數(shù)據(jù)中，無論初始值如何選取，該方法都因?yàn)閿?shù)值溢出而無法給出最終估計(jì)結(jié)果；LK方法在第一組數(shù)據(jù)中表現(xiàn)良好，能給出有效估計(jì)，在第二組和第三組數(shù)據(jù)中，估計(jì)結(jié)果開始對初始值的設(shè)定變得敏感；在數(shù)據(jù)B中，有7組初始值無法給出估計(jì)，其余74組有效估計(jì)中，僅有一組初始值對應(yīng)的估計(jì)結(jié)果達(dá)到最優(yōu)；在數(shù)據(jù)C中，有14組初始值無法給出估計(jì)，余下67組初始值所對應(yīng)的估計(jì)結(jié)果各不相同，無一達(dá)到最優(yōu)。EM方法在三組數(shù)據(jù)中表現(xiàn)非常穩(wěn)定，在每一組數(shù)據(jù)中，無論初始值如何調(diào)整，估計(jì)結(jié)果都能達(dá)到最優(yōu)。從模擬結(jié)果來看，EM估算方法在估計(jì)EKOP模型的參數(shù)上比現(xiàn)有的方法更為穩(wěn)健，在處理大額買賣單數(shù)據(jù)不易因數(shù)值溢出而導(dǎo)致無法估計(jì)參數(shù)。另外，根據(jù)表2的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在處理數(shù)據(jù)A時(shí)，EHO方法對81組參數(shù)初始值優(yōu)化所用時(shí)間是12.701 8秒，LK方法用時(shí)1.552 6秒，EM方法用時(shí)0.046 8秒，可見EM方法的運(yùn)算效率遠(yuǎn)高于EHO方法和LK方法。類似的結(jié)論在數(shù)據(jù)B和C中也得到體現(xiàn)。

表2 三種算法的優(yōu)化所用系統(tǒng)時(shí)間

六、在上證A股市場中的應(yīng)用

股票市場日成交數(shù)據(jù)比模擬生成數(shù)據(jù)要復(fù)雜得多。單支股票的日買賣單數(shù)據(jù)，在一個(gè)季度或年度中可能會發(fā)生急劇變化，從日買賣單幾萬手上升至幾百萬手。因此，實(shí)際交易數(shù)據(jù)數(shù)量級大，且在樣本區(qū)段內(nèi)變化大，這導(dǎo)致在估計(jì)模型參數(shù)時(shí)極易出現(xiàn)數(shù)值溢出，并且對參數(shù)初始值的設(shè)定變得更加敏感。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文所提出的EM算法與EHO、LK算法的適用性，本文以2014年上證A股市場所有正常交易的股票為研究對象，剔除了長期停牌的股票后，保留了942支股票。數(shù)據(jù)觀測時(shí)期從2014年1月3號到2014年12月31號，市場交易天數(shù)為245天，但大部分股票因上市公司召開股東大會正常停牌一天，因此其交易天數(shù)為244天。少部分股票因其他原因停牌，其交易天數(shù)可能會少于244天，所有入選的樣本股交易天數(shù)均大于150天。具體的日成交數(shù)據(jù)來自Wind數(shù)據(jù)庫以及新浪財(cái)經(jīng)數(shù)據(jù)平臺，買賣單的方向由交易系統(tǒng)自動標(biāo)定。分別用三種方法估計(jì)出各支股票的PIN，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：EHO方法因?yàn)閿?shù)據(jù)溢出未能給出任意一支股票的PIN，雖然LK方法和EM算法能夠計(jì)算出各支股票的PIN，但是由于LK方法的優(yōu)化結(jié)果很多是局部最優(yōu)解，因此后面兩種算法所求解出的PIN存在較大差異。從兩種方法估計(jì)結(jié)果的對比分析(表3)可以發(fā)現(xiàn)，針對相同的股票、相同的交易數(shù)據(jù)，LK算法所估計(jì)的PIN相比EM算法的估計(jì)結(jié)果而言，無論是中位數(shù)還是均值都偏小，由此可見LK算法在實(shí)際應(yīng)用中存在系統(tǒng)性下偏。

表3 LK算法和EM算法的PIN估計(jì)結(jié)果比較

七、結(jié) 論

知情交易是市場微觀結(jié)構(gòu)中最為重要的概念之一，市場知情交易水平的度量一直是該領(lǐng)域?qū)W者極為關(guān)注的問題。自從Easley等提出EKOP模型之后，學(xué)者對知情交易水平的測算便集中于對知情交易概率(PIN)的估計(jì)[1]。由于交易數(shù)據(jù)的特殊性，傳統(tǒng)的估計(jì)方法在實(shí)際操作中存在一些缺陷，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不準(zhǔn)確甚至無法得到估計(jì)結(jié)果。本文的研究發(fā)現(xiàn)，即使在經(jīng)過Easley等以及Lin等人的改進(jìn)后，PIN的估計(jì)仍存在一些傳統(tǒng)方法不可克服的障礙[8,12]。

本文借鑒EM算法的思路，重新設(shè)計(jì)了對EKOP模型中參數(shù)的估計(jì)方法，同時(shí)根據(jù)EKOP模型中參數(shù)所服從的矩條件，對參數(shù)的初始值做出合理設(shè)定，在此基礎(chǔ)上給出PIN的估計(jì)。通過對模擬數(shù)據(jù)和實(shí)際交易數(shù)據(jù)的估計(jì)發(fā)現(xiàn)，本文所提出的EM算法相比Easley等和Lin等所提出的因子化方法，在避免數(shù)值溢出和估算效率方面具有明顯優(yōu)勢，并且Lin等因子化的方法所估計(jì)出的PIN相比EM算法的估計(jì)結(jié)果存在系統(tǒng)性低估。

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