基于Lie對稱性方法的立體織機打緯機構運動響應特性分析

鄭明亮

(浙江理工大學 機械與控制學院,杭州 310018)

0 引言

立體織造是一種新型織造技術，是使紗線在三維空間中依多個方向分布并相互交織形成不分層的整體結構，由該技術生產(chǎn)的碳纖維增強體制成的復合材料具有優(yōu)異的性能[1-2]，近年來在航空航天、汽車、交通、能源和運動器材等領域得到飛速發(fā)展。

打緯運動是三維立體織造的核心環(huán)節(jié)之一，其設計不僅影響引緯機構、開口機構，還直接關系到碳纖維織物的成型結構?，F(xiàn)有碳纖維立體織機打緯機構普遍采用曲柄滑塊裝置同步驅動鋼筘垂直入緯的方式實現(xiàn)平行打緯[3-5]，通過控制曲柄滑塊機構伺服電機的輸入?yún)?shù)實現(xiàn)變打緯力輸出，可適應不同層數(shù)、不同尺寸規(guī)格立體織物的打緯力需求。在織造過程中，由于打緯力必須大于打緯阻力，才能順利完成打緯運動動作。因此，打緯力的精確計算和校核是設計打緯機構的基礎和關鍵[6-7]。建立打緯機構運動模型并利用現(xiàn)代分析力學方法開展研究，對于改善織機織造工藝及性能有重要意義。

目前對織機打緯機構的研究僅停留在運動學分析和簡單動力學建模上，或者應用虛擬軟件對機構進行動態(tài)建模獲取仿真性能指標。無論是理論求解或是軟件仿真計算都多以數(shù)值手段為主，即采用數(shù)值積分方法，計算系統(tǒng)的動力學響應，從而分析系統(tǒng)中存在的運動現(xiàn)象和力學特性[8-13]。而在機構運動方程精確解析解求方面一直很少有文獻涉及，由于困難重重，尚處于起步階段。Lie對稱性理論在處理線性和非線性、常系數(shù)和變系數(shù)微分方程的問題都是等同的，它和其他的現(xiàn)代分析方法一起，是求?！⒎址匠痰慕馕鼋庾羁赡芙y(tǒng)一的工具，可以用來進行大范圍的全局動力學研究，且計算過程易于程序化[14]。國內(nèi)外關于利用Lie對稱性方法解析研究立體織機打緯機構動力學尚未有報道。筆者基于Lie對稱性方法對打緯機構的運動響應進行研究，進而指出系統(tǒng)參數(shù)對機構動態(tài)特性的影響，為實現(xiàn)打緯機構的優(yōu)化設計和合理控制提供理論依據(jù)。

1 微分方程的Lie對稱解法

(1)

(2)

(3)

[X1,X2]=X1X2-X2X1

(4)

其中，X1,X2都是空間X中的元素。

LieSophus的重要研究發(fā)現(xiàn)就是確定方程組(4)的無窮小生成元的解{X(0)}必構成一Lie代數(shù)。Lie積分方法是指任意二維Lie代數(shù)可以通過它的一個恰當?shù)幕颓‘數(shù)淖兞考捶Q為典型變量的選擇，生成元必然會變換成4個非相似的標準形式之一，原微分方程可以轉換成4個標準微分方程，進而可成熟求其通解，再反過來推演原方程的通解。

2 立體織機打緯機構運動模型

普通織機主要用于織造平面二維織物，連接鋼筘機構的輸出運動軌跡為圓弧，屬于擺動打緯，很難將立體織物的數(shù)根緯紗同時打入織口，并使每根緯紗所受打緯力相等，因此，對立體織物的平行打緯動作需要使用前后往復運動規(guī)律，借用普通傳統(tǒng)打緯運動設計，根據(jù)機構學，當四桿機構中有一連桿為曲柄，另一連桿相對機架作往復移動而成為滑塊時，四桿機構就變成曲柄滑塊機構，選擇偏置式曲柄滑塊立體織機打緯機構作為研究對象，如圖1。

圖1 立體織機打緯機構的三維實體示意

當織機運轉速度不是很高時，可以將打緯機構的所有構件看作是剛性體，同時考慮到本文是首次應用力學系統(tǒng)的對稱性理論分析機械多體系統(tǒng)的動力學特性，因此解析求解微分方程的自由度不應過多，本著能說明問題和方法的可行性原則，所以暫時不考慮織機打緯機構運動副間隙、構件的彈性變形以及機電耦合等因素?，F(xiàn)以曲軸軸承中心o為原點，水平方向為x軸建立右手坐標系，r是曲柄長度，l是牽手連桿AB的長度，h是偏置距離，θ是曲柄與x軸的夾角即曲柄轉角，φ是連桿與x軸的夾角，s是滑塊的位移。其機構如圖2所示。

圖2 曲柄滑塊打緯機構示意

任何機構的運動學分析是其動力學的基礎，下面用變換微分法建立系統(tǒng)的運動方程模型，為了計算慣性打緯力，須知道滑塊的運動規(guī)律，則取廣義坐標q=[q1,q2]T=[φ,s]T，由幾何閉環(huán)矢量知，系統(tǒng)存在兩個代數(shù)非線性約束關系：

rsinθ+lsinφ=h

rcosθ+lcosφ=s

(5)

式(5)中θ,r，l，h均為已知。

為克服定量分析困難，將上述非線性方程轉化為線性方程，進而利用成熟的高精度計算方法，對上式連續(xù)求二次導，并將求解出的打緯機構的運動方程改成矩陣形式：

(6)

3 機構打緯特性靈敏度分析

(7)

(8)

則解析解得表達式為：

(9)

對打緯機構動力學性能的評價，主要是通過打緯力大小范圍是否滿足工作性能要求，打緯力必須大于打緯阻力，打緯力愈大，動作效率越高，但織機的振動就愈明顯，會引起緯紗運動出現(xiàn)比較明顯的波動?？梢姡蚓暳σ膊粦h大于打緯阻力。關于打緯阻力的詳細計算原理和過程可參見文獻[16]。定義數(shù)字化評價指標：

(10)

其中，m為滑塊質量，F(xiàn)為打緯阻力，T為合理的目標常數(shù)，T>1，一般可取3～10。一般A越小，表示打緯效果越好。

取系統(tǒng)的設計標定參數(shù)向量X為驅動轉角速度ω、長度比λ、偏置距離h，則打緯動態(tài)性能局部靈敏度特征向量為：

(11)

對于具體的織機結構模型，可以進一步計算打緯性能指標對設計參數(shù)的靈敏度數(shù)值大小。

4 示例說明

以普通某型立體織機為例進行打緯機構的運動特性分析，系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 曲柄滑塊機構的相關參數(shù)

曲柄角速度/(rad·s-1)曲柄長度/m連桿長度/m偏置距離/m滑塊質量/kg打緯阻力/N100.20.50.110100

用Lie對稱性解析解法和Matlab仿真得到系統(tǒng)滑塊位置響應曲線對比，見圖3。

圖3 滑塊位移曲線

圖4 性能指標與角速度變化

圖5 性能指標與尺寸比變化

圖6 性能指標與偏置距離變化

圖4～圖6表明，轉速提高和尺寸比的作用能影響打緯性能，且轉速變化對機構加速度影響最為明顯，尺寸長度比與打緯性能關系也很明顯。因此，單純增加打緯機構尺寸來提升打緯機構動態(tài)性能并非有效方法，應綜合考慮織機轉速、織物種類并結合打緯機構其他方向變形帶來的影響綜合優(yōu)化結構參數(shù)。

5 結論

筆者應用微分變換法建立了立體織機打緯機構系統(tǒng)兩自由運動模型，用Lie對稱法計算了系統(tǒng)機構精確的運動規(guī)律曲線，結果表明，Lie分析方法對于求解非線性方程是高效、準確的。

其次，研究了打緯機構系統(tǒng)動力學動態(tài)性能指標關于曲柄轉速、尺寸長度比、偏置距離等設計參數(shù)的局部靈敏度分析，實際算例表明，轉速對打緯機構系統(tǒng)的性能影響很大，基本是反比關系，尺寸長度比對其也有較明顯的影響，偏置距離對其影響變換不明顯。研究指明了打緯機構設計參數(shù)的修改方向，也為打緯機構打緯力的精確控制方法和結構優(yōu)化創(chuàng)新設計奠定了基礎。

[1] 楊建成,姜海濤,蔣秀明.碳纖維立體織機打緯機構運動特性仿真[J].天津工業(yè)大學學報,2016，35(3):84-88.

[2] 姚孟利.研發(fā)碳纖維立體織造裝備為發(fā)展纖維增強復合材料提供技術保障[J].紡織機械,2012(3):2-5.

[3] 李佳.立體織機經(jīng)紗系統(tǒng)和打緯機構的設計[D].上海:東華大學,2013.

[4] 姜海濤. 碳纖維立體織機打緯機構優(yōu)化與工藝研究[D].天津:天津工業(yè)大學,2015.

[5] 張立泉，朱建勛，張建鐘，等.三維機織結構設計和織造技術的研究[J].玻璃纖維,2002 (2):3-7.

[6] MASC'HINENWESEN V D F.Development of the Weaving Machine and 3D Woven Spacer Fabric Structures for Lightweight Composites Materials[D].Dresden:Technische Universitat Dresden,2007.

[7] UOKARNESHANA N,ALAUIRUSAMYB R.Weaving of 3D Fabrics:A Critical Appreciation of the Developments[J].Textile Progress,2009,41(1):1-58.

[8] YAN H S,YEH C C. Integrated Kinematics and Dynamic Designs for Variable-speed Plate Cram Mechanisms [J].Journal of Mechanical Engineering Seience,2011,225(1):194-203.

[9] 金玉珍,胡小冬，林培峰，等.噴氣織機打緯機構及墻板的振動特性[J].紡織學報,2016, 37(7):131-136,141.

[10] 陳靜,馮志華.噴氣織機四連桿打緯機構動態(tài)響應的數(shù)值解[J].蘇州大學學報(自然科學版),2006, 22(2):48-51.

[11] 金國光,秦凱旋，魏展，等.劍桿織機柔性從動件共軛凸輪打緯機構動力學分析[J].紡織學報,2016,5(37):137-142.

[12] 魏展,金國光，袁汝旺，等.高速共軛凸輪打緯機構柔性動力學分析[J].機械工程學報,2017,53(3):81-90.

[13] 孫中奎,馮志華，路翔飛，等.噴氣織機六連桿打緯機構動態(tài)特性分析與優(yōu)化[J].蘇州大學學報(工科版),2011,31 (4):48-51.

[14] 田疇.李群及其在微分方程中的應用[M].北京：科學出版社,2001.

[15] 梅鳳翔.李群和李代數(shù)對約束力學系統(tǒng)的應用[M].北京:科學出版社，1999.

[16] 吳強,李佳,陳革.立體織造打緯阻力的計算[J].東華大學學報(自然科學版),2013,39(5):614-617.