一類(lèi)三階微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題兩個(gè)正解的存在性

高 揚(yáng)

(大慶師范學(xué)院教師教育學(xué)院，黑龍江大慶 163712)

1 引言

常微分方程的邊值問(wèn)題在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.一直以來(lái)，常微分方程邊值問(wèn)題的正解存在性受到了廣泛關(guān)注，而其中關(guān)于三階m點(diǎn)邊值問(wèn)題的多個(gè)正解存在性的研究并不多見(jiàn)[1-3].

本文考慮如下的一類(lèi)三階常微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題:

(1.1)

應(yīng)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理可知，邊值問(wèn)題(1.1)至少存在兩個(gè)正解.

為了方便起見(jiàn)，先做如下假設(shè)：

(H2)h:(0,1)→[0,+)連續(xù)，h(t)不恒為0，允許在t=0及1處奇異，且0

(H3)f:[0,+)→[0,+)連續(xù).

2 引理

引理2[3]函數(shù)g(t,s)，滿(mǎn)足下面不等式

其中，

證明 由引理2及G(t,s),k(t,s)的定義可知，

P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]}，

則P是C[0,1]上的一個(gè)正錐.取

定義算子

引理4[3]若滿(mǎn)足假設(shè)(H2)～(H3)，則算子A:P1→P1是全連續(xù)的.

3 主要結(jié)果

定理1 若滿(mǎn)足假設(shè)(H1)～(H3)且

(3.1)

(3.2)

其中，λ1是前面給出的算子T的第一特征值.

如果存在R0>0，使得

f(u)<ηR0，?0≤u≤R0，

(3.3)

證明 由(3.1)和(3.2)可知，存在0

f(u)≥λ1u，?0≤u≤r1，

以及r2>R0，使得

假設(shè)A在?Br1∩P1和?Br2∩P1上無(wú)不動(dòng)點(diǎn).否則結(jié)論成立.

類(lèi)似引理5和引理6的證明，可得i(A,Br1∩P1,P1)=0，i(A,Br2∩P1,P1)=0.

?u∈?BR0∩P1，由(3.3)及引理3有

故

‖Au‖≤‖u‖，?u∈?BR0∩P1.

由引理1知

i(A,BR0∩P1,P1)=1.

因此

定理2 若滿(mǎn)足假設(shè)(H1)～(H3)，且

(3.4)

(3.5)

其中，λ1是前面給出的算子T的第一特征值.

如果存在R0>0，使得

f(u)>ηR0，?0≤Ju≤R0.

(3.6)

假設(shè)A在?Br1∩P1和?Br2∩P1上無(wú)不動(dòng)點(diǎn).否則結(jié)論成立.

類(lèi)似引理5和引理6的證明，可知

i(A,Br1∩P1,P1)=1，i(A,Br2∩P1,P1)=1.

?u∈?BR0∩P1，由(3.6)及引理3有

故

‖Au‖≥‖u‖，?u∈?BR0∩P1.

由引理1可知

i(A,BR0∩P1,P1)=0.

因此

[1]周韶林,薛亞娣.一類(lèi)奇異三階m點(diǎn)邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,32(7):22-25.

[2]吳紅萍.一類(lèi)非線性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的多個(gè)正解[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,31(2):4-6.

[3]趙微.一類(lèi)三階常微分方程m點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解存在性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(20):255-259.

[4]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南:山東科技大學(xué)出版社,2001.

[5]Zhang G,Sun J.Positive solutions of m-point boundary value problems[J].Math. Anal. Appl.,2004(291):406-418.