高 揚
(大慶師范學院教師教育學院,黑龍江大慶 163712)
常微分方程的邊值問題在物理學和力學等領域有著重要應用.一直以來,常微分方程邊值問題的正解存在性受到了廣泛關注,而其中關于三階m點邊值問題的多個正解存在性的研究并不多見[1-3].
本文考慮如下的一類三階常微分方程多點邊值問題:
(1.1)
應用錐拉伸與壓縮不動點定理可知,邊值問題(1.1)至少存在兩個正解.
為了方便起見,先做如下假設:
(H2)h:(0,1)→[0,+)連續(xù),h(t)不恒為0,允許在t=0及1處奇異,且0 (H3)f:[0,+)→[0,+)連續(xù). 引理2[3]函數(shù)g(t,s),滿足下面不等式 其中, 證明 由引理2及G(t,s),k(t,s)的定義可知, P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]}, 則P是C[0,1]上的一個正錐.取 定義算子 引理4[3]若滿足假設(H2)~(H3),則算子A:P1→P1是全連續(xù)的. 定理1 若滿足假設(H1)~(H3)且 (3.1) (3.2) 其中,λ1是前面給出的算子T的第一特征值. 如果存在R0>0,使得 f(u)<ηR0,?0≤u≤R0, (3.3) 證明 由(3.1)和(3.2)可知,存在0 f(u)≥λ1u,?0≤u≤r1, 以及r2>R0,使得 假設A在?Br1∩P1和?Br2∩P1上無不動點.否則結論成立. 類似引理5和引理6的證明,可得i(A,Br1∩P1,P1)=0,i(A,Br2∩P1,P1)=0. ?u∈?BR0∩P1,由(3.3)及引理3有 故 ‖Au‖≤‖u‖,?u∈?BR0∩P1. 由引理1知 i(A,BR0∩P1,P1)=1. 因此 定理2 若滿足假設(H1)~(H3),且 (3.4) (3.5) 其中,λ1是前面給出的算子T的第一特征值. 如果存在R0>0,使得 f(u)>ηR0,?0≤Ju≤R0. (3.6) 假設A在?Br1∩P1和?Br2∩P1上無不動點.否則結論成立. 類似引理5和引理6的證明,可知 i(A,Br1∩P1,P1)=1,i(A,Br2∩P1,P1)=1. ?u∈?BR0∩P1,由(3.6)及引理3有 故 ‖Au‖≥‖u‖,?u∈?BR0∩P1. 由引理1可知 i(A,BR0∩P1,P1)=0. 因此 [1]周韶林,薛亞娣.一類奇異三階m點邊值問題多個正解的存在性[J].西南大學學報:自然科學版,2010,32(7):22-25. [2]吳紅萍.一類非線性三階三點邊值問題的多個正解[J].貴州大學學報:自然科學版,2014,31(2):4-6. [3]趙微.一類三階常微分方程m點邊值問題的正解存在性[J].數(shù)學的實踐與認識,2013,43(20):255-259. [4]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟南:山東科技大學出版社,2001. [5]Zhang G,Sun J.Positive solutions of m-point boundary value problems[J].Math. Anal. Appl.,2004(291):406-418.2 引理
3 主要結果