一種PCB動(dòng)態(tài)應(yīng)變的監(jiān)測(cè)方法研究

楊龍,賀青川,陳文華,潘駿,朱謙

（浙江理工大學(xué)浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018）

0 引言

機(jī)電設(shè)備在工作過(guò)程中，印刷電路板（Printed Circuit Board,PCB）受振動(dòng)載荷作用時(shí)，產(chǎn)生的彎矩與固定于PCB上元器件的慣性力共同作用會(huì)使PCB基體、元器件、引腳和焊接點(diǎn)產(chǎn)生過(guò)大的應(yīng)力和應(yīng)變，導(dǎo)致PCB分層、焊點(diǎn)斷裂、焊點(diǎn)脫落、引腳斷裂、元件的封裝開(kāi)裂等失效模式發(fā)生，任何一種失效模式發(fā)生都可能導(dǎo)致機(jī)電設(shè)備故障[1-3]。因此，研究建立在線監(jiān)測(cè)機(jī)電設(shè)備中PCB受振動(dòng)作用時(shí)的振幅、應(yīng)力、應(yīng)變方法，能夠?yàn)閷?shí)現(xiàn)對(duì)PCB分層、焊點(diǎn)斷裂、焊點(diǎn)脫落等失效模式進(jìn)行預(yù)測(cè)、保障設(shè)備正常運(yùn)行提供技術(shù)支撐[4-6]。

目前，獲得PCB受沖擊和振動(dòng)載荷時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)的技術(shù)途徑主要有兩種：一是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量，可以獲得PCB在不同振動(dòng)載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)[7-8]；二是結(jié)合有限元計(jì)算軟件，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，獲得PCB動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)，所用方法包括質(zhì)量平均法、質(zhì)量與剛度平均法、局部平均法等[9-10]。針對(duì)數(shù)值計(jì)算方法，關(guān)鍵是如何獲得準(zhǔn)確可靠的輸入?yún)?shù)（彈性模量、泊松比、剛度、阻尼、有限元模型的邊界條件等）來(lái)提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性[11-12]。另外，關(guān)于如何建立PCB動(dòng)態(tài)應(yīng)變的理論計(jì)算方法，快速獲得PCB在不同載荷下動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究也從未間斷[13]。通過(guò)理論計(jì)算的PCB動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)和應(yīng)變，可作為分析實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果和數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的參考。然而，利用上述技術(shù)途徑均無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)PCB動(dòng)態(tài)應(yīng)變的長(zhǎng)期實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。

在上述背景下，本文根據(jù)Timoshenko薄板應(yīng)變計(jì)算模型[14]，推導(dǎo)出了PCB振動(dòng)速度與動(dòng)態(tài)應(yīng)變的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出了一種PCB動(dòng)態(tài)應(yīng)變監(jiān)測(cè)的方法。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比分析實(shí)測(cè)與理論計(jì)算PCB應(yīng)變，驗(yàn)證本文提出的應(yīng)變監(jiān)測(cè)方法的可行性，為PCB分層、焊點(diǎn)斷裂、焊點(diǎn)脫落等失效預(yù)測(cè)奠定技術(shù)基礎(chǔ)。

1 PCB應(yīng)變計(jì)算方法

PCB由多層環(huán)氧樹(shù)脂薄板碾壓合成，中間具有導(dǎo)電金屬層，因此其材料屬性會(huì)隨載荷方向的變化而變化[10-12]。又因PCB具體的層疊方向未知，目前在確定PCB的材料屬性時(shí)，通常按照各向同性材料處理，且假設(shè)PCB的厚度均勻、各層的材料屬性相同。

1.1 應(yīng)變計(jì)算基本方程

當(dāng)PCB受彎曲應(yīng)力和面內(nèi)應(yīng)力同時(shí)作用時(shí)，其動(dòng)能方程和應(yīng)變能方程表達(dá)式為[15]：

式中：a和b為x和y方向長(zhǎng)度（坐標(biāo)系如圖1所示）；A=ab為PCB面積；m為PCB面密度；h為厚度；E為彈性模量；μ是泊松比；D=Eh3/[12（1-μ）]是剛度；w=w（x,y,t）是撓度函數(shù)；φ=φ（x,y,t）是應(yīng)力（Airy）函數(shù)。式（2）中第一項(xiàng)是由彎曲應(yīng)力推導(dǎo)出，第二項(xiàng)由面內(nèi)應(yīng)力推導(dǎo)出。

圖1 PCB模型

為便于表述，引入拉普拉斯算子Δ和L算子：

函數(shù)w和φ的表達(dá)式如下：

式中：ws（t）為固定的支撐架坐標(biāo)；wf（t）為模態(tài)的撓度函數(shù)；z（t）為主坐標(biāo)；Φ（x,y）為靜應(yīng)力函數(shù)；函數(shù)φ為

當(dāng)邊界條件為固支時(shí)，邊界位移為0，因此可滿足

對(duì)于固支條件（1≤a/b≤1.5），wfc（t）為[15]

將式（3）和式（6）代入式（4）,得：

求解式（7），得固支PCB的靜應(yīng)力函數(shù)Φ（x,y）為

1.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)計(jì)算

將式（3）撓度函數(shù)代入式（1）和式（2），得：

式中：

式中：M0為與激振力相關(guān)的歸一化質(zhì)量；M為與系統(tǒng)自身振動(dòng)相關(guān)的歸一化質(zhì)量；ω0為自然頻率；α為非線性參數(shù)。

將式（11）和式（12）代入Lagrange方程，得：

得到Duffing型非線性微分方程：

根據(jù)橢圓函數(shù)解的特征，式（16）的通解如下：

式中：σ為頻率參數(shù)；t為時(shí)間；ε為初始相位角；A為振幅；k為橢圓函數(shù)的模數(shù)。

對(duì)式（17）微分，可得：

將式（17）和式（19）代入式（16）,可驗(yàn)證式（17）滿足方程解的要求。當(dāng)t=0時(shí)，振動(dòng)初始作用于ws（t），可認(rèn)為位移z（t）沒(méi)有變化，而速度z˙（t）為最大值，因此主坐標(biāo)可滿足下列關(guān)系：

式中，V為ws（t）初始速度。將式（17）和式（18）代入式（20），可得：

由式（21）中第一式可得：

因此，可求得相角

即：

式中K（k）是完全橢圓積分。初始相位角ε為：

由式（21）中第二式可得：

其中：

將式（21）代入式（25），可求得：

其中

若把式（16）還可以改寫(xiě)為下面的形式：

即

當(dāng)PCB初始位移、速度為0，則常數(shù)C也為0，因此

式（23）為時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式，因此又可改寫(xiě)為

其中

式（31）為模數(shù)為k的第一類(lèi)橢圓積分。當(dāng)z（t）在第一個(gè)1/4周期達(dá)到最大值z(mì)ma（xt）時(shí)，相角θ取得最大值。此時(shí)，式（35）變?yōu)槟?shù)為k的第一類(lèi)完全橢圓積分：

再由式（27）可得：

1.3 應(yīng)力與應(yīng)變計(jì)算

PCB的動(dòng)態(tài)應(yīng)力可利用下列關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算[14-15]：

根據(jù)式（35），可得應(yīng)力計(jì)算公式如下：

PCB的動(dòng)態(tài)應(yīng)變可以根據(jù)廣義虎克定律進(jìn)行計(jì)算：

2 應(yīng)變測(cè)量實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)用的PCB板及螺栓孔所在位置尺寸參數(shù)如圖2所示：其中PCB板長(zhǎng)為230 mm，寬為152 mm；螺栓孔所在位置a=220 mm，b=142 mm；PCB板厚h=2 mm，PCB板質(zhì)量M=0.141 kg；彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.21。測(cè)量應(yīng)變所用設(shè)備如圖3所示，應(yīng)變測(cè)量使用三軸應(yīng)變片（0°/45°/90°），應(yīng)變片1～5位置如圖2所示。應(yīng)變片0°對(duì)應(yīng)x方向，所測(cè)應(yīng)變用S_X表示；90°對(duì)應(yīng)y方向，所測(cè)應(yīng)變用S_Y表示；45°對(duì)應(yīng)與x、y方向夾角為45°，所測(cè)應(yīng)變用S_XY表示。

圖2 PCB幾何模型

由文獻(xiàn)[3]～[6]可知，采用螺釘固定PCB可近似固支條件，因此本文用8個(gè)M3螺釘，按照如圖2所示的位置固定。實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示，激振源為電磁振動(dòng)臺(tái)，加載方式為恒速正弦掃頻振動(dòng)：速度為20 mm/s；掃頻范圍分為10～300 Hz；線性掃頻速度300 Hz/min。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，采用KEYENCE公司的LK-G5000激光速度傳感器測(cè)量振動(dòng)速度。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)變和速度傳感器的采樣率設(shè)置為1.5 k。在測(cè)量應(yīng)變測(cè)量前，用一塊與圖2所示幾何參數(shù)相同的PCB進(jìn)行共振頻率測(cè)試，結(jié)果如圖4所示，一階共振頻率約為250.5 Hz。由此可以確定，將掃頻范圍定為10～300 Hz，能夠測(cè)得共振頻率處應(yīng)變。

圖3 實(shí)驗(yàn)照片

圖4 共振頻率測(cè)試結(jié)果

根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件，因正弦掃頻速度為5 Hz/s，記錄數(shù)據(jù)量為1.5k，據(jù)此可知數(shù)據(jù)記錄速度為0.3 k/Hz。數(shù)據(jù)采集的起止時(shí)間由軟件自動(dòng)記錄，由此可將得到關(guān)于時(shí)間序列的應(yīng)變數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為與頻率對(duì)應(yīng)的序列。圖5為測(cè)得的5個(gè)位置的結(jié)果。圖6為1號(hào)位置（如圖2所示）的測(cè)量結(jié)果。圖7為1號(hào)位置的運(yùn)動(dòng)速度。由圖6和圖7可以看出，共振頻率位置的應(yīng)變和速度均達(dá)到峰值。

圖5 5個(gè)位置的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果

圖6 1號(hào)位置的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果

圖7 1號(hào)位置的速度

3 應(yīng)變計(jì)算與分析

依據(jù)第1部分給出的動(dòng)態(tài)應(yīng)變計(jì)算方法，以1號(hào)位置（如圖2所示）應(yīng)變計(jì)算為例，進(jìn)行應(yīng)變計(jì)算，計(jì)算過(guò)程步驟如下：

1）面積：A=a×b=220×142=31 240 mm2；

2）面密度：m=M/（A×g）=M/（A×9800）=4.606×10-10kg·s2/mm3;

3）振動(dòng)頻率：依據(jù)式（13）得ω=2453.05 Hz；

4）振動(dòng)速度:恒速V=20 mm/s;

5）彈性剛度:D=Eh3/［12（1-μ）］=1494.5 kg·mm;

6）非線性參數(shù)（式（15））：α=421 306.73 mm-2·s-2;

7）振幅（依據(jù)式（34））:

8） 應(yīng)力（依據(jù)式（35）～（38）：σx=0.02 kg·mm－2;σy=0.023 47 kg·mm－2;τxy=0。

9）應(yīng)變（式（39））：

重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，以2453.05 Hz為振動(dòng)頻率ω輸入?yún)?shù)，以測(cè)量的速度（圖7）為速度輸入?yún)?shù)，其它參數(shù)不變，計(jì)算1號(hào)位置（x=y=0）處的應(yīng)變，結(jié)果如圖8和圖9所示。從圖中可以直接看出：計(jì)算所得應(yīng)變大于圖6所示測(cè)量所得應(yīng)變。表1給出了測(cè)量和計(jì)算結(jié)果的峰值及相對(duì)偏差。從表1中可以看出，相對(duì)誤差不超過(guò)10%。

圖8 計(jì)算所得應(yīng)變S1_X

圖9 計(jì)算所得應(yīng)變S1_Y

表1 測(cè)量和計(jì)算結(jié)果的峰值及相對(duì)偏差 10-6

引起偏差的原因主要有兩方面:一是受測(cè)量誤差影響，應(yīng)變片本身靠敏感柵來(lái)感應(yīng)PCB表面的應(yīng)變，而敏感柵具有一定尺寸，故所測(cè)量應(yīng)變實(shí)際是敏感柵所覆蓋的一塊小面積上應(yīng)變量的均值;另外，粘貼應(yīng)變片也是人為引入誤差因素的一個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)。粘貼應(yīng)變片時(shí)，要求應(yīng)變片與測(cè)量物體表面無(wú)縫粘貼，且膠水層應(yīng)盡量薄。然而實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)變片的粘貼層中可能會(huì)夾有氣泡，或粘貼固化不均，這些因素都將導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值之間存在偏差。二是受輸入的材料參數(shù)誤差的影響，主要包括彈性模量、泊松比。在推導(dǎo)PCB振動(dòng)速度與動(dòng)態(tài)應(yīng)變的計(jì)算公式時(shí)，假設(shè)PCB各向同性材料，PCB各層的厚度均勻、各層的材料結(jié)構(gòu)均勻。然而，這些假設(shè)會(huì)與實(shí)際存在偏差，從而造成計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)偏差。

總體而言，X、Y方向的應(yīng)變計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的相對(duì)偏差在工程允許的15%以內(nèi)。由此可知，若要在線監(jiān)測(cè)PCB應(yīng)變，可以在被監(jiān)測(cè)位置放置微型速度傳感器，并利用該傳感器監(jiān)測(cè)振動(dòng)速度；然后以監(jiān)測(cè)的速度作為輸入?yún)?shù)，利用本文給出方法計(jì)算應(yīng)變。由于速度是實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的，因此計(jì)算出的應(yīng)變能夠反映PCB應(yīng)變的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。另外，理論計(jì)算不足之處在于45°方向的應(yīng)變S_XY無(wú)法通過(guò)計(jì)算獲得。

4 結(jié)論

本文根據(jù)Timoshenko薄板應(yīng)變計(jì)算模型，推導(dǎo)出PCB振動(dòng)速度與動(dòng)態(tài)應(yīng)變的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出了一種PCB動(dòng)態(tài)應(yīng)變監(jiān)測(cè)的方法。首先，通過(guò)在PCB上放置傳感器，監(jiān)測(cè)振動(dòng)速度；然后以監(jiān)測(cè)的速度信號(hào)作為輸入?yún)?shù)，利用本文推導(dǎo)的應(yīng)變計(jì)算方法計(jì)算出應(yīng)變，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)PCB應(yīng)變動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的監(jiān)測(cè)。通過(guò)對(duì)比分析實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了利用本文方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)PCB應(yīng)變動(dòng)態(tài)變化的監(jiān)測(cè)；為PCB分層、焊點(diǎn)斷裂、焊點(diǎn)脫落等失效預(yù)測(cè)提供了技術(shù)支撐。

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