非圓齒輪數(shù)控滾切加工的現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)

李先平， 舒啟林， 李歡歡

（沈陽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110159）

0 引言

齒輪是機(jī)械裝備中最常用的一種傳動(dòng)零件，非圓齒輪是圓柱齒輪的一種變形，兼具了齒輪和凸輪的優(yōu)點(diǎn)，不僅有穩(wěn)定的傳動(dòng)比，還能實(shí)現(xiàn)非勻速傳動(dòng)，主要運(yùn)用于輕工業(yè)[1]、機(jī)床制造業(yè)及儀器儀表業(yè)。它的概念最早于二十世紀(jì)初期提出，迄今已有一百多年的歷史，但由于它的設(shè)計(jì)和計(jì)算復(fù)雜、難以加工的特點(diǎn)使其發(fā)展停滯。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使非圓齒輪的理論再次被提出。現(xiàn)階段對(duì)非圓齒輪的研究主要集中在利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行非圓齒輪節(jié)曲線的設(shè)計(jì)、非圓齒輪齒廓生成以及數(shù)控加工程序的生成和仿真加工等方面，并逐步實(shí)現(xiàn)整個(gè)過程的全自動(dòng)化。另外隨著CAD/CAM技術(shù)的日趨成熟，可以使抽象的數(shù)學(xué)式變成直觀的圖形。

1 非圓齒輪加工方法

早期加工非圓齒輪加工方法有靠模法、近似滾切法，但由于加工精度不高、效率低逐漸被淘汰[2]?，F(xiàn)在對(duì)非圓齒輪加工的研究主要集中在數(shù)控滾齒、數(shù)控插齒及數(shù)控銑齒和線切割技術(shù)。

1.1 數(shù)控插齒

非圓齒輪的加工最早是通過插齒加工實(shí)現(xiàn)的[3]，插齒被廣泛用于非圓內(nèi)、外齒輪的加工，并具有較高的精度。徐曉俊[4]提出一種基于節(jié)曲線離散點(diǎn)的通用非圓齒輪數(shù)控插齒程序設(shè)計(jì)方法，通過各離散點(diǎn)計(jì)算出刀具和工作臺(tái)的離散位置，通過計(jì)算機(jī)輔助生成加工程序。楊世平[5]根據(jù)非圓齒輪節(jié)曲線方程推導(dǎo)出數(shù)控插齒機(jī)五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。李波[6]利用非圓齒輪的節(jié)曲線法向向量得到基于包絡(luò)模型的非圓內(nèi)齒輪插齒加工三軸聯(lián)動(dòng)模型，該模型簡化了自動(dòng)編程的計(jì)算量。李建剛、吳序堂等[7]提出了一種判斷非圓齒輪任意齒廓是否發(fā)生根切的精確方法，提高了數(shù)控插齒加工非圓齒輪的質(zhì)量。

1.2 數(shù)控銑齒

李宇鵬、田斌等[8]根據(jù)非圓帶輪節(jié)曲線切線的極坐標(biāo)理論建立了銑削加工非圓齒輪的點(diǎn)位計(jì)算模型，并在坐標(biāo)鏜床上采用分度頭分齒銑切非圓帶輪，為非圓齒輪銑削加工奠定了基礎(chǔ)?？椎掠耓9]利用斷續(xù)展成法進(jìn)行數(shù)控銑削加工，加工時(shí)主要有四種運(yùn)動(dòng)：銑刀繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)、銑刀的軸向移動(dòng)、銑刀軸心與非圓齒輪齒坯中心距移動(dòng)和回轉(zhuǎn)工作臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)。由于數(shù)控銑齒加工非圓齒輪的效率較低，故該方法使用較少。

1.3 數(shù)控線切割

張生余、金秀石[10]利用圓柱齒輪的嚙合原理找到齒面法線與節(jié)圓焦點(diǎn)跟齒面之間的幾何關(guān)系計(jì)算出每個(gè)齒的齒廓坐標(biāo)，然后利用計(jì)算機(jī)打印出穿孔帶，在線切割機(jī)床上實(shí)現(xiàn)非圓齒輪加工。李建剛、吳序堂等[11]將非圓齒輪的齒廓計(jì)算轉(zhuǎn)化成求非圓齒輪節(jié)曲線的全部齒廓數(shù)據(jù)，可快速精確計(jì)算非圓齒輪齒廓。戴有華、胡赤兵等[12]利用三維軟件實(shí)現(xiàn)非圓齒輪建模，然后利用軟件仿真模塊生成數(shù)控線切割加工代碼。

1.4 數(shù)控滾齒

為實(shí)現(xiàn)高硬度、大模數(shù)、大齒寬的非圓齒輪，戴有虎[13]根據(jù)非圓齒輪嚙合原理建立了滾切加工非圓齒輪的數(shù)學(xué)模型，為非圓齒輪滾切加工的研究奠定了基礎(chǔ)。其后有大量學(xué)者進(jìn)行了非圓齒輪滾切加工的研究，其主要研究方向有：自動(dòng)編程，工藝庫，加工誤差。

2 非圓齒輪滾切的數(shù)控系統(tǒng)

2.1 滾切數(shù)學(xué)模型

譚偉明、胡赤兵等[14]通過對(duì)非圓齒輪節(jié)曲線分析，建立了滾齒加工各運(yùn)動(dòng)軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，為實(shí)現(xiàn)滾齒加工自動(dòng)編程奠定了基礎(chǔ)。張國政等[15]推導(dǎo)了滾切加工直齒非圓齒輪的數(shù)學(xué)模型。滾切過程中，滾刀節(jié)線與齒輪節(jié)線相互保持純滾動(dòng)，其滾切示意圖如圖1所示。

圖1 直齒非圓齒輪滾切示意圖

直齒非圓齒輪的節(jié)曲線表達(dá)式記為r=r（θ），它是以極角θ為自變量的函數(shù)，通過微分幾何原理可以得滾切運(yùn)動(dòng)模型：

式中：ψ為滾刀轉(zhuǎn)角；K為滾刀頭數(shù)；m為滾刀模數(shù)；φ為工件轉(zhuǎn)角；R為滾刀軸線與工件回轉(zhuǎn)軸線的距離。

由滾切模型可以看出，滾切非圓直齒齒輪需要三個(gè)基本運(yùn)動(dòng)：工件轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度ωc）、刀具轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度ωb）及工件與刀具軸線間的相對(duì)位移（線速度vy）。在實(shí)際加工中，為了加工整個(gè)全齒寬，需要刀具沿工件軸線方向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。

丁和艷[16]建立了非圓斜齒輪數(shù)控滾切加工的運(yùn)動(dòng)模型。加工斜齒非圓齒輪時(shí)，需要五個(gè)基本運(yùn)動(dòng)：工件轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度ωc）、刀具轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度ωb）、工件與刀具軸線間的相對(duì)位移（線速度vy）、刀具沿工件軸線方向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)（vz）及滾刀沿工件軸向的差動(dòng)運(yùn)動(dòng)（Δωc），它們均是以極角θ為自變量的函數(shù)。

2.2 滾切加工方案

在進(jìn)行非圓直齒輪滾切加工時(shí)考慮三個(gè)基本運(yùn)動(dòng)，則滾切加工方案有：滾刀恒速、工件恒速及工件等極角恒速。

1）滾刀恒速。即ωb為固定值，則通過數(shù)值積分法得運(yùn)動(dòng)模型，其中工件角速度ωc和刀具軸線間的相對(duì)位移的線速度vy均是與ωb有關(guān)的函數(shù):

當(dāng)滾刀的切削功率較大時(shí)，宜采用此方案。

2）工件恒速。即ωc=固定值，則ωb、vy均是與ωc有關(guān)的函數(shù):

當(dāng)滾刀的切削功率較小時(shí)，宜采用此方案。

3）工件等極角速度。即dθ/dt=固定值，通過數(shù)值微分法則可得相關(guān)運(yùn)動(dòng)模型:

此方法的數(shù)值計(jì)算最簡單，但ωb、vy和ωc三者無一恒定，加大了控制難度，且該方案的切削不均勻，因此一般不采用該方案。

2.3 數(shù)控滾切插補(bǔ)算法

傳統(tǒng)的非圓齒輪滾齒加工是通過齒輪控制各軸進(jìn)行關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)，文獻(xiàn)[17]對(duì)各軸聯(lián)動(dòng)方案進(jìn)行了研究。數(shù)控滾切加工非圓齒輪插補(bǔ)算法是數(shù)控系統(tǒng)的核心，它是影響機(jī)床加工性能的重要因素。非圓齒輪滾切的插補(bǔ)方法有三種：等極角插補(bǔ)，等弧長插補(bǔ)，三樣條曲線插補(bǔ)。

1）等極角插補(bǔ)。根據(jù)精度要求將非圓齒輪的節(jié)線分成若干極角相等，弧長不一定相等的曲線，求出若干節(jié)點(diǎn)。將合格節(jié)點(diǎn)連成一系列首尾相連的折線，則此折線近似替代非圓齒輪的節(jié)曲線。再將這些若干節(jié)點(diǎn)帶入滾切數(shù)學(xué)模型中，就能求出各運(yùn)動(dòng)軸的增量。此方法是基于直線插補(bǔ)的算法，為了保證加工精度，需要節(jié)點(diǎn)足夠多，導(dǎo)致計(jì)算量增加。另外，此插補(bǔ)方法加工出的非圓齒輪齒距不均勻，在極徑大處齒距大，極徑小處極徑小。

2）等弧長插補(bǔ)。根據(jù)精度要求將非圓齒輪的節(jié)曲線分成若干弧長相等的曲線，求出這些曲線的端點(diǎn)值，再將這些節(jié)點(diǎn)連成一系列折線逼近非圓齒輪節(jié)曲線，再按等直線插補(bǔ)。此加工方法同樣基于直線插補(bǔ)，加工出的齒輪齒距分布均勻。但在各相鄰折線交接處一階、二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此加工過程中各運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)方向和受力會(huì)產(chǎn)生突變，引起機(jī)床振動(dòng)，降低加工質(zhì)量。

3）三樣條插補(bǔ)。吳焱明[18]最先提出用三樣條曲線擬合非圓齒輪的節(jié)曲線，并進(jìn)行插補(bǔ)。此方法可以在一段加工程序內(nèi)通過連續(xù)插補(bǔ)完成，避免了運(yùn)動(dòng)軸的方向及受力突變，減少了振動(dòng)。田芳勇[19]根據(jù)曲線插補(bǔ)提出了三次B樣條曲線自適應(yīng)插補(bǔ)算法，該算法在保證加工要求同時(shí)，保證運(yùn)動(dòng)軌跡每一瞬時(shí)的速度和加速度在系統(tǒng)允許范圍內(nèi)，提高加工精度。此方法與前兩種插補(bǔ)方法相比，插補(bǔ)的計(jì)算量大，對(duì)計(jì)算機(jī)處理器要求較高。

2.4 自動(dòng)編程系統(tǒng)

數(shù)控滾切加工非圓齒輪關(guān)鍵在于編制數(shù)控程序，靠手動(dòng)編程難以實(shí)現(xiàn)非圓齒輪滾切加工，因此滾切加工的研究主要針對(duì)自動(dòng)編程。胡赤兵[20]通過非圓齒輪的滾切運(yùn)動(dòng)模型建立了滾切加工非圓齒輪的自動(dòng)編程系統(tǒng)。用戶只需要輸入一些非圓齒輪的基本參數(shù)、滾刀參數(shù)、工藝參數(shù)和機(jī)床參數(shù)等，系統(tǒng)就能自動(dòng)生成加工代碼。系統(tǒng)主要包括：參數(shù)輸入模塊、工藝處理模塊、后置處理模塊以及信息管理模塊。

3 非圓齒輪滾切加工的工藝

3.1 切削參數(shù)

滾切加工的切削參數(shù)主要考慮刀具材料、工件材料、齒輪模數(shù)、機(jī)床特性和其它。現(xiàn)在滾切非圓齒輪的切削參數(shù)大部依靠經(jīng)驗(yàn)確定，沒有針對(duì)非圓齒輪滾切的切削參數(shù)表。有學(xué)者曾以圓柱齒輪切削參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論為基礎(chǔ)[21]，建立了非圓齒輪的切削參數(shù)優(yōu)化模型，這為切削參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新方向。

3.2 對(duì)刀計(jì)算

非圓齒輪是對(duì)號(hào)嚙合的，主動(dòng)輪與從動(dòng)輪在同一個(gè)極徑處相差1/2個(gè)齒距，因此加工時(shí)存在對(duì)刀起始點(diǎn)問題。早期的對(duì)刀是依靠工人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行，有很大的齒形誤差。田芳勇[22]提出了光電編碼器對(duì)刀，該方法是在滾刀旋轉(zhuǎn)軸和工作臺(tái)上分別安裝一個(gè)光電編碼器，并在滾刀某一位置設(shè)置零位，在工作臺(tái)某一位置設(shè)置零位并與齒輪的起始位置重合。開動(dòng)機(jī)床后，工件和滾刀均以一定的速度旋轉(zhuǎn)。此時(shí)系統(tǒng)開始檢查光電編碼器的脈沖信號(hào)，當(dāng)同時(shí)檢測(cè)到齒坯軸和滾刀軸上光電編碼器上的零位信號(hào)后完成對(duì)刀。

3.3 軸向躥刀

在多周聯(lián)動(dòng)滾切加工非圓齒輪時(shí)，非圓齒輪加工范圍如圖2所示。

圖2 滾刀運(yùn)動(dòng)區(qū)域

非圓齒輪繞運(yùn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，最大運(yùn)動(dòng)區(qū)域長度為L，當(dāng)L大于滾刀長度時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)無法加工的情況。綜合考慮滾刀受不均勻載荷和滾刀的軸向加工范圍不足的情況需要進(jìn)行軸向躥刀。夏鏈等[23]通過對(duì)滾切運(yùn)動(dòng)分析找到了軸向躥刀方案。

3.4 走刀方式

走刀方式主要有逆滾、順滾和軸向逆順滾，不同的走刀方式有不同的刀軌點(diǎn)位計(jì)算方法。目前大部分滾齒加工都采用逆滾方式進(jìn)行。加工時(shí)采取何種走刀方式需要綜合考慮機(jī)床參數(shù)、刀具參數(shù)、工件材料、加工精度以及加工效率等相關(guān)因子。

4 非圓齒輪滾切加工的加工誤差

非圓齒輪沒有確定的精度標(biāo)準(zhǔn)，都是根據(jù)傳動(dòng)要求和使用者要求確定精度的?，F(xiàn)在對(duì)非圓齒輪的精度研究主要集中在對(duì)非圓齒輪周節(jié)累積誤差、齒廓誤差和節(jié)曲線誤差上。滾切加工非圓齒輪的加工誤差除了理論誤差外，還有工藝系統(tǒng)的誤差。

4.1 滾刀誤差

滾刀誤差主要分為滾刀制造誤差和滾刀安裝誤差，文獻(xiàn)[24]分析了滾刀制造誤差對(duì)滾切加工影響，并建立了滾刀制造誤差對(duì)齒廓誤差影響的誤差計(jì)算公式。滾刀的安裝誤差是指滾刀安裝在機(jī)床刀桿上之后形成的徑向跳動(dòng)誤差、軸向歪斜量及軸向竄動(dòng)，它們將使?jié)L刀切削刃在一轉(zhuǎn)中周期的產(chǎn)生多切或少切，因而引起被加工齒輪齒廓誤差。

4.2 機(jī)床誤差

機(jī)床誤差主要有機(jī)床導(dǎo)軌誤差、傳動(dòng)原件制造安裝誤差和電壓波動(dòng)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)速變化。齒輪在滾切加工時(shí)，輪齒的寬度是滾刀作垂直進(jìn)給運(yùn)動(dòng)加工形成的，當(dāng)?shù)都軐?dǎo)軌和工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線有傾斜角度時(shí)，就會(huì)使被切齒輪在齒寬方向產(chǎn)生原始齒廓位移誤差[25]。滾切時(shí)由于傳動(dòng)件不可避免有制造、安裝誤差，會(huì)使?jié)L刀與被加工齒輪間的相對(duì)位置發(fā)生變化，因此會(huì)將誤差直接反映在被加工件上，引起轉(zhuǎn)角誤差。文獻(xiàn)[26]提出用轉(zhuǎn)角誤差和傳動(dòng)鏈的

式中：Δφ為總傳動(dòng)鏈誤差；im為傳動(dòng)鏈第m和原件至傳動(dòng)鏈末端的傳動(dòng)比；Δφm為傳動(dòng)鏈第m個(gè)元件的轉(zhuǎn)角誤差。

4.3 齒坯誤差

實(shí)踐證明，齒坯的制造誤差會(huì)使齒輪在滾齒機(jī)上的安裝偏心，是造成被加工齒輪周節(jié)累積誤差主要原因之一[27]，另外齒坯誤差還導(dǎo)致了嚙合線誤差。非圓齒輪齒坯誤差導(dǎo)致的嚙合線誤差計(jì)算比圓柱齒輪的計(jì)算更復(fù)雜，現(xiàn)今沒有較好的計(jì)算方式。

5 非圓齒輪滾切加工發(fā)展趨勢(shì)

1）插補(bǔ)算法多樣性。為適應(yīng)不同的傳動(dòng)需求，非圓齒輪節(jié)曲線也朝著多樣性發(fā)展，因此要求滾切非圓齒輪的系統(tǒng)能更廣范圍適應(yīng)不同的非圓齒輪。非圓齒輪的節(jié)曲線不同會(huì)使運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)量產(chǎn)生變化，因此需要研究更多的插補(bǔ)算法，以適應(yīng)不同類型的非圓齒輪。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，系統(tǒng)承載能力更強(qiáng)，因此可以實(shí)現(xiàn)更多的復(fù)雜運(yùn)算。

2）獨(dú)立的誤差補(bǔ)償?，F(xiàn)在對(duì)滾切非圓齒輪誤差補(bǔ)償大部分是按照?qǐng)A柱齒輪誤差補(bǔ)償進(jìn)行計(jì)算的，但非圓齒輪在原理上就與圓柱齒輪不同，因此需要考慮更多的誤差影響因子，綜合考慮工藝系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、升降速、動(dòng)態(tài)影響等因素，建立滾切非圓齒輪的誤差補(bǔ)償系統(tǒng)。

3）工藝優(yōu)化?，F(xiàn)今對(duì)滾切加工非圓齒輪的加工工藝研究還很少，有相關(guān)的研究都近似于圓柱齒輪的工藝。非圓齒輪滾切加工時(shí)不可避免地會(huì)出現(xiàn)升降速，會(huì)引起機(jī)床振動(dòng)，降低加工質(zhì)量，欲實(shí)現(xiàn)高速高效的加工，需要優(yōu)化滾切加工工藝。隨著優(yōu)化科學(xué)在制造業(yè)中的廣泛運(yùn)用，滾切加工非圓齒輪的工藝優(yōu)化找到了新的方向。

4）統(tǒng)一檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)。非圓齒輪節(jié)曲線復(fù)雜多樣，導(dǎo)致了檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)多樣?，F(xiàn)在對(duì)非圓齒輪的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)都是根據(jù)傳遞運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性和客戶要求進(jìn)行建立的，并沒有像圓柱齒輪那樣有一套統(tǒng)一的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，因此為滾切非圓齒輪機(jī)床的研究帶來了困難。因此有必要制定統(tǒng)一的非圓齒輪檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)。

6 結(jié)論

從滾切加工非圓齒輪的加工數(shù)控系統(tǒng)構(gòu)建方法、加工工藝、加工誤差分析三個(gè)方面較為系統(tǒng)地介紹了現(xiàn)有研究成果，重點(diǎn)突出插補(bǔ)計(jì)算、滾切方案的研究成果，指出要建立統(tǒng)一檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)以推進(jìn)非圓齒輪的推廣；要發(fā)展更多的插補(bǔ)算法；要采用機(jī)械優(yōu)化理論對(duì)非圓齒輪滾齒工藝進(jìn)行優(yōu)化；要建立完整獨(dú)立的非圓齒輪插補(bǔ)系統(tǒng)。傳動(dòng)比來表示最終運(yùn)動(dòng)誤差：

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