金融數(shù)學(xué)中的若干前沿問題

杜帆

【摘 要】金融數(shù)學(xué)是近些年發(fā)展起來的邊緣學(xué)科，它在兩次的“華爾街”革命的基礎(chǔ)上產(chǎn)生與發(fā)展，并通過現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法的應(yīng)用對(duì)金融的理論和實(shí)踐進(jìn)行了數(shù)量分析?；诖?，本文在對(duì)金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展分析基礎(chǔ)上對(duì)其前沿問題進(jìn)行進(jìn)一步分析，希望可以為金融數(shù)學(xué)的更好發(fā)展提供一些借鑒。

【關(guān)鍵詞】金融數(shù)學(xué)；前沿問題；探索研究

一、金融數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

20世紀(jì)初，在法國(guó)數(shù)學(xué)家巴歇里的《投機(jī)的原理》中，通過布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行描繪，金融數(shù)學(xué)由此而誕生。1905年，愛因斯坦做過相關(guān)研究，但未引起高度關(guān)注。1950年，薩廖爾開始全方位研究金融數(shù)學(xué)，這標(biāo)志著金融數(shù)學(xué)真正進(jìn)入發(fā)展期，現(xiàn)代金融學(xué)由此開始。

現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的發(fā)展，離不開兩次華爾街革命。在第一次華爾街革命中，將靜態(tài)投資組合理論研究并充分體現(xiàn)出來。1952年，馬爾科維茲提出投資組合問題，以均值-方差模型為基礎(chǔ)。開啟了通過數(shù)理化方法，研究金融問題的大門。1964年，夏普提出CAPM資產(chǎn)定價(jià)模型，明確資產(chǎn)預(yù)期收益率影響因素中系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的重要影響作用。1976年，羅斯提出套利定價(jià)理論，其認(rèn)為若干個(gè)資產(chǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素影響著資產(chǎn)價(jià)格，不單單是市場(chǎng)因素。

在第二次華爾街革命中，靜態(tài)決策朝著動(dòng)態(tài)決策方向發(fā)展。1970年，固定匯率被浮動(dòng)匯率取而代之，誕生了期貨、期權(quán)等多種金融衍生工具，促進(jìn)了金融工程學(xué)的產(chǎn)生。1973年，休斯、布萊克等人共同提出了著名的“B- S”模式。隨后，MertonR.C.提出并大力推行期權(quán)定價(jià)公式。期權(quán)定價(jià)公式的產(chǎn)生，使期權(quán)交易在世界金融中占據(jù)重要地位，在近代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究工作中，具有里程碑式的重要作用。

二、金融數(shù)學(xué)中的若干前沿問題

1.利率的期限結(jié)構(gòu)問題

對(duì)于“B-S模型”的理論內(nèi)容而言，所謂的利率不是任意確定的，而是已經(jīng)規(guī)定的常數(shù)。在實(shí)際中，利率的變化是比較繁瑣復(fù)雜的，債券利率的性質(zhì)不同，其變化規(guī)律也就有所不同，債券利率的到期日不同，其變化規(guī)律自然而然也不同。也就是說，關(guān)于利率的期限結(jié)構(gòu)方面，一般情況下可以通過收益率這種方式來進(jìn)行表現(xiàn)。

在傳統(tǒng)的利率結(jié)構(gòu)中，主要包括：市場(chǎng)分割理論、流動(dòng)性偏好理論、無偏預(yù)期理論以及優(yōu)先置產(chǎn)理論這四種理論。

在近期的利率期限結(jié)構(gòu)模型中，主要包括：一般均衡模型、二項(xiàng)式網(wǎng)狀模型、無套利模型以及鞍模型。其中，一般均衡模型誕生于1986年，是由Cov-Ingersoll-Ross提出來的；二項(xiàng)式網(wǎng)狀模型誕生于1980年，是由Ho-Lee所提出的；無套利模型誕生于1987年，是由Vasicek提出來的；鞍模型誕生于1992年，是由Heath-Jarrow-Morton提出來的。

2.市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)性問題

不僅僅是在“B- S”模型中，在大力普及的其他模型中，通常都會(huì)假定某一隨機(jī)過程，例如：布朗運(yùn)動(dòng)等，都會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格發(fā)生波動(dòng)，隨后再開展相關(guān)研究與分析工作，研究與分析工作的開展也是隨機(jī)進(jìn)行的。然而，在大部分金融市場(chǎng)情形中，都難以與這些平穩(wěn)的假設(shè)情況相適應(yīng)，異常波動(dòng)情形頻頻發(fā)生，例如：分別在1929年和1987年，整個(gè)股票市場(chǎng)都出現(xiàn)了崩潰情形。為了能夠?qū)⒐善眱r(jià)格的有關(guān)變化規(guī)律正確、詳盡的表達(dá)出來，應(yīng)當(dāng)對(duì)以下幾個(gè)方面的因素進(jìn)行認(rèn)真考量：

（1）股票價(jià)格的依賴性能，對(duì)股票價(jià)格波動(dòng)率的影響；

（2）股票價(jià)格的波動(dòng)率，與其余隨機(jī)變量之間所存在的依賴關(guān)系；

（3）部分情形中，股票價(jià)格不會(huì)一直處于比較平穩(wěn)狀態(tài)，可能會(huì)出現(xiàn)突然跳動(dòng)情形。

通過運(yùn)用隨機(jī)波動(dòng)率模型，能夠?qū)⒁陨线@些因素充分反映出來。通常運(yùn)用的方法主要包括：GRCH模型及其推廣、隨機(jī)波動(dòng)率模型、移動(dòng)平均法以及隱含波動(dòng)率模型。其中，GRCH模型及其推廣也被稱為自回歸條件異方差模型。除此之外，隨機(jī)微分方程與隨機(jī)最優(yōu)控制這兩種數(shù)學(xué)工具，雖然起步比較晚，但是在整個(gè)金融領(lǐng)域中，已經(jīng)獲得大力認(rèn)可，并得到廣泛普及與應(yīng)用，為金融行業(yè)的發(fā)展做出了非常卓越的貢獻(xiàn)。

3.突發(fā)事件問題

在小概率事件的范疇中，將突發(fā)事件包括進(jìn)來。傳統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程預(yù)測(cè)理論難以對(duì)一些比較重要的大型金融震蕩問題進(jìn)行闡述。這里所說的重要的大型金融震蕩問題，包括諸多事件，比如：1987年發(fā)生的“黑色星期一”西方的金融崩潰、1997年發(fā)生的東南亞金融危機(jī)、1998年發(fā)生于美國(guó)的長(zhǎng)期資本管理公司基金事件等等。在對(duì)股票價(jià)格的暴跌或暴漲情形做出闡述的過程中，可以對(duì)海岸線和宇宙星系模式的分形理論和混沌理論進(jìn)行運(yùn)用。通過分形理論與混沌理論的有關(guān)知識(shí)內(nèi)容的運(yùn)用，能夠?qū)⒐善眱r(jià)格的暴跌與暴漲科學(xué)合理的闡述出來。

除此之外，在諸多的金融理論中，突變理論與沖擊理論也得到了廣泛的普及與運(yùn)用。由于金融系統(tǒng)包括許多方面的知識(shí)內(nèi)容，并且與其他系統(tǒng)存在著比較緊密的聯(lián)系，在金融數(shù)學(xué)的研究工作中，金融系統(tǒng)的復(fù)雜性仍是主要課題之一。同時(shí)，突發(fā)事件的產(chǎn)生屢見不鮮，并且對(duì)金融系統(tǒng)具有非常重要的影響。因此，在金融數(shù)學(xué)的課題中，對(duì)突發(fā)事件的研究仍然占據(jù)非常重要的位置。

4.市場(chǎng)的不完全性和信息不對(duì)稱性

現(xiàn)實(shí)中的證券市場(chǎng)，并不是完全市場(chǎng)，而是屬于不完全市場(chǎng)的范疇。也就是說，在金融證券市場(chǎng)中，市場(chǎng)中的證券與股票投資組合并不是自由、不受任何形式約束的，其離不開一些因素的限制。不完全市場(chǎng)的一般均衡理論是由達(dá)菲等人共同提出的。通過一般均衡理論的有關(guān)知識(shí)內(nèi)容，在理論角度上，充分說明金融創(chuàng)新具有一定的科學(xué)性與合理性，與此同時(shí)，在社會(huì)資本資源配置效率的提升方面，做出了非常重要的貢獻(xiàn)。鞅理論被Karatzas等人引進(jìn)，在金融市場(chǎng)不夠全面、系統(tǒng)的情況下，伴隨著鞅理論的大力引進(jìn)，使原本比較棘手的衍生證券定價(jià)問題得以順利解決。現(xiàn)階段，在國(guó)外金融理論知識(shí)內(nèi)容中，以鞅方法為基礎(chǔ)的定價(jià)理論仍然發(fā)揮著重要的主導(dǎo)作用，為國(guó)外金融理論的研究與發(fā)展做出了非常卓越的貢獻(xiàn)。endprint

除此之外，在現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)當(dāng)中，參與的經(jīng)濟(jì)人所掌握的信息并不是對(duì)稱的，也就是說，信息具有一定的不互通性，所掌握的信息存在著不一致情況。一旦信息出現(xiàn)不對(duì)稱的情形，經(jīng)濟(jì)人和經(jīng)濟(jì)人之間的相互對(duì)策就會(huì)出現(xiàn)問題，其中包括參與經(jīng)濟(jì)人許許多多的信息層次，將其引入到問題的解決本身存在難度，倘若運(yùn)用數(shù)學(xué)處理的方法對(duì)該問題進(jìn)行解決，則更是難上加難。在金融領(lǐng)域的研究工作中，對(duì)重復(fù)對(duì)策、多人對(duì)策、隨機(jī)對(duì)策以及微分對(duì)策這些理論開展了進(jìn)一步的研究，深化推動(dòng)這些理論內(nèi)容的發(fā)展，在未來的金融領(lǐng)域中，有著廣闊的發(fā)展空間。

5.實(shí)證研究

當(dāng)前，在我國(guó)學(xué)術(shù)研究動(dòng)態(tài)中，金融學(xué)注重將企業(yè)和證券市場(chǎng)的具體情況作為出發(fā)點(diǎn)，將企業(yè)與證券市場(chǎng)的實(shí)證研究工作放到更加突出位置。因此，在金融學(xué)的相關(guān)實(shí)證研究工作中，尤其突出強(qiáng)化數(shù)據(jù)的重要作用，倘若脫離了實(shí)際數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與支持功能，金融數(shù)學(xué)實(shí)證研究工作的開展只是由概念至概念的研究，亦或是只是由模型至模型的研究，即便開展了相關(guān)實(shí)證研究工作，但是在取得重要金融涵義成果方面將存在非常大的難度。在開展金融數(shù)學(xué)實(shí)證研究工作的過程中，我們應(yīng)當(dāng)立足于實(shí)際，在對(duì)模型進(jìn)行構(gòu)建時(shí)，利用實(shí)踐中所取得的數(shù)據(jù)來完成，將數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律充分表現(xiàn)出來，并對(duì)新的金融概念進(jìn)行高度概括。在對(duì)問題進(jìn)行研究的過程中，應(yīng)當(dāng)對(duì)新的金融概念進(jìn)行探索，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，來完成對(duì)概念的表述，通過實(shí)際數(shù)據(jù)，來對(duì)有關(guān)知識(shí)內(nèi)容的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)。

三、結(jié)語

市場(chǎng)的發(fā)展與建設(shè)讓金融數(shù)學(xué)的概念越來越呈現(xiàn)出重要的發(fā)展態(tài)勢(shì)，其研究不僅影響著我國(guó)金融領(lǐng)域的發(fā)展，更影響著我國(guó)的經(jīng)濟(jì)建設(shè)與戰(zhàn)略目標(biāo)的制定。我們需要在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域不斷學(xué)習(xí)，并不斷對(duì)其前沿問題進(jìn)行研究，提升自身金融數(shù)學(xué)能力，為將來有幸進(jìn)入金融領(lǐng)域工作做好準(zhǔn)備。

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