無(wú)理數(shù)概念的PCK內(nèi)涵分析

山西省太原市第五十六中學(xué)校 智婧超

一、課標(biāo)的要求

了解無(wú)理數(shù)的概念。

二、無(wú)理數(shù)概念的理解以及其所蘊(yùn)涵的學(xué)科教育價(jià)值

（一）無(wú)理數(shù)概念

教材給出的無(wú)理數(shù)的概念是：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，實(shí)質(zhì)上，無(wú)理數(shù)的本質(zhì)屬性是與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的等價(jià)性，從有理數(shù)的角度來(lái)看，無(wú)理數(shù)既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)。教材將認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)這一內(nèi)容分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)主要是為了讓學(xué)生感受到無(wú)理數(shù)在生活中的存在性和廣泛性。第二課時(shí)主要用估算的方法得到無(wú)理數(shù)的小數(shù)表示形式，從而得出無(wú)理數(shù)的概念。

（二）無(wú)理數(shù)概念的教育價(jià)值

無(wú)理數(shù)概念這一節(jié)內(nèi)容是在勾股定理及有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上，再一次讓學(xué)生感受數(shù)不夠用了，從而引入無(wú)理數(shù)將數(shù)的范圍擴(kuò)張大了實(shí)數(shù)。是上一章勾股定理的進(jìn)一步深化，同時(shí)又是實(shí)數(shù)概念及運(yùn)算的開始。

學(xué)好本節(jié)課，不僅能夠發(fā)展學(xué)生的抽象能力、推理能力，同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)到逼近的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。因此，在課堂中應(yīng)該注意滲透這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

有理數(shù)來(lái)源于生活，無(wú)理數(shù)來(lái)源于數(shù)學(xué)本身，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)精神和理性思維，這也體現(xiàn)了本節(jié)課的教育價(jià)值。

三、無(wú)理數(shù)概念與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系

小學(xué)階段，小數(shù)的分類和分?jǐn)?shù)與小數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，是探索無(wú)理數(shù)與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)之間關(guān)系的基礎(chǔ)。在七年級(jí)，數(shù)域擴(kuò)張到了有理數(shù)數(shù)域，可以用有理數(shù)的概念來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是否是有理數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)不是有理數(shù)的新數(shù)，在初中階段，既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)的數(shù)就是無(wú)理數(shù)。高中階段，學(xué)生又將學(xué)習(xí)虛數(shù)，將數(shù)域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)數(shù)域。

八年級(jí)的勾股定理為無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)為以后學(xué)習(xí)二次根式及一元二次方程等知識(shí)做好了鋪墊。

四、學(xué)生學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)概念的經(jīng)驗(yàn)、困惑以及容易發(fā)生的錯(cuò)誤

（一）學(xué)習(xí)有理數(shù)概念的經(jīng)驗(yàn)

1.學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)學(xué)習(xí)了小數(shù)的分類，分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的關(guān)系，體會(huì)了第一次數(shù)的擴(kuò)張，對(duì)無(wú)理數(shù)的概念學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在七年級(jí)上半學(xué)期，體會(huì)了數(shù)的第二次擴(kuò)張，學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念和分類，可以運(yùn)用有理數(shù)的概念判斷一個(gè)數(shù)是否是有理數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)這種新數(shù)。

3.八年級(jí)上第一章，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，為無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)，也為學(xué)生構(gòu)造無(wú)理數(shù)的線段提供了方法。

（二）學(xué)習(xí)有理數(shù)概念的困惑以及容易發(fā)生的錯(cuò)誤

1. 學(xué)生在判斷當(dāng)a2=2時(shí)，a是否為有理數(shù)時(shí)可能存在無(wú)從下手的感覺，沒有解題思路。

2. 學(xué)生在構(gòu)造三邊分別為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)的直角三角形時(shí)可能存在問(wèn)題。

五、確定無(wú)理數(shù)概念課的教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)拼圖活動(dòng)，能根據(jù)有理數(shù)的概念判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)，從而感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性。

2.在探究過(guò)程中，提升動(dòng)手實(shí)踐能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和推理的能力。

3.能正確地判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)，能在方格紙中準(zhǔn)確地表示出有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的線段，加深對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的理解。

六、幫助學(xué)生獲得無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)策略

1.引入讓學(xué)生再一次感受數(shù)的擴(kuò)張規(guī)律，引發(fā)思考：有理數(shù)夠用嗎？

2.問(wèn)題設(shè)置具有梯度，在讓學(xué)生判斷a2=2時(shí)，a是否為有理數(shù)時(shí)，設(shè)置一系列問(wèn)題：a是否為整數(shù)，a是否是分?jǐn)?shù)，從而得出 不是有理數(shù)的結(jié)論。

3.每一個(gè)例子之后都及時(shí)總結(jié)例子中的數(shù)是一種新數(shù)，不是學(xué)生熟悉的有理數(shù)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)生活中確實(shí)存在無(wú)理數(shù)的感受。

4.在判斷線段的長(zhǎng)度是否為有理數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶勾股定理，構(gòu)造直角三角形來(lái)判斷。為學(xué)生構(gòu)造符合條件的直角三角形打下基礎(chǔ)。