錯(cuò)誤再分析 計(jì)算不用愁

杜曉亮

計(jì)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力要求，正確地計(jì)算“數(shù)與式”是計(jì)算能力強(qiáng)的一種體現(xiàn).下面對(duì)“數(shù)與式”幾種常見錯(cuò)誤進(jìn)行糾錯(cuò)分析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、審題或概念不清出錯(cuò)

此類錯(cuò)誤，常出現(xiàn)在解答基礎(chǔ)題中，由于此類題非常容易，一般不去檢查而導(dǎo)致失分.

例1 -3的倒數(shù)是（ ）.

A.3 B.-3 C.[13] D.[-13]

【錯(cuò)解】A、C.

【錯(cuò)因分析】此類題多在各省市中考題第1小題出現(xiàn)，主要考查大家對(duì)基本概念的理解.出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因往往是審題不清，漏看了負(fù)號(hào)，或者是概念混淆，把求倒數(shù)錯(cuò)求成相反數(shù).雖然此題難度不大，但還是有不少同學(xué)會(huì)出錯(cuò)，非?？上?

【應(yīng)對(duì)措施】要想避免此類題做錯(cuò)，首先應(yīng)沉著、冷靜地審題，避免審題出錯(cuò).其次，基本概念要理解，對(duì)倒數(shù)、相反數(shù)、平方根、算數(shù)平方根等概念“成對(duì)”記憶，知道它們的聯(lián)系與區(qū)別，避免混淆概念.

【正解】D.

例2 計(jì)算：[1-2]-[832]-（5-π）0-2cos45°.

【錯(cuò)解】原式=1+[2]-[2]-1-2×1=-3.

【錯(cuò)因分析】解此題的主要錯(cuò)誤有：一是含有無理數(shù)的絕對(duì)值的計(jì)算出錯(cuò)誤，誤認(rèn)為[1-2]=[1+2]或[1-2]或-1-[2]，前者和后者均注意到了[1-2]是負(fù)數(shù)，去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)要取它的相反數(shù)，但求[1-2]的相反數(shù)時(shí)出錯(cuò).誤認(rèn)為[1-2]=[1-2]的主要原因是沒注意到[1-2]是負(fù)數(shù)，絕對(duì)值運(yùn)算時(shí)出錯(cuò).本質(zhì)原因是對(duì)絕對(duì)值的概念理解不清，把求絕對(duì)值認(rèn)為是把“-”號(hào)去掉.二是把[8]與[83]混淆.三是記憶錯(cuò)誤，誤記cos45°=1.當(dāng)然，同時(shí)出現(xiàn)以上三種錯(cuò)誤不多見，但出現(xiàn)其中一兩種錯(cuò)誤，比較常見.

【應(yīng)對(duì)措施】要想避免以上錯(cuò)誤的發(fā)生，最重要的是，要清晰地理解基本概念，比如理解了絕對(duì)值的意義（包括代數(shù)意義及幾何意義），就不會(huì)簡單地認(rèn)為絕對(duì)值運(yùn)算就是把“-”變成“+”.同樣，理解算術(shù)平方根、立方根的概念與符號(hào)表示，也就不會(huì)混淆[8]與[83].特殊的三角函數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤，多數(shù)是因?yàn)榘?個(gè)特殊的三角函數(shù)值記憶不清，導(dǎo)致“張冠李戴”.避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，可畫出草圖，根據(jù)三角函數(shù)的定義來計(jì)算出三角函數(shù)值.

【正解】原式=-1+[2]-1-1-[2]=-3.

二、運(yùn)算順序、運(yùn)算法則運(yùn)用錯(cuò)誤

運(yùn)算能力是基本數(shù)學(xué)能力，運(yùn)算技能、推理技能、畫圖技能是數(shù)學(xué)的基本技能.正確運(yùn)算，需要運(yùn)算順序正確，且正確運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算法則與公式.

例3 計(jì)算[a-b2ab]÷[a-bb]×[ba-b].

【錯(cuò)解】原式=[a-b2ab]÷1=[a-b2ab].

【錯(cuò)因分析】分式的乘除是同級(jí)運(yùn)算，計(jì)算時(shí)應(yīng)從左到右依次進(jìn)行，而錯(cuò)解受最后兩項(xiàng)剛好互為倒數(shù)的影響，先進(jìn)行了后兩項(xiàng)的乘法運(yùn)算.

【應(yīng)對(duì)措施】分式的運(yùn)算順序和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，應(yīng)先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減，同級(jí)運(yùn)算要從左到右依次計(jì)算，有括號(hào)一般要先算括號(hào)內(nèi)的.

【正解】原式=[a-b2ab]×[ba-b]×[ba-b]=[ba].

例4 先化簡，再求值：[3x+1-x+1]÷

[x2+4x+4x+1]，其中x=[2]-2.

【錯(cuò)解1】原式

=[3x+1-x+12x+1]÷[x2+4x+4x+1].

【錯(cuò)因分析】把x+1看作整體，原本想利用“整體思想”簡便計(jì)算，但沒有注意到x前是“-”號(hào)，導(dǎo)致化簡錯(cuò)誤.

【應(yīng)對(duì)措施】在化簡求值的題型中，利用“整體思想”，其實(shí)就是添括號(hào)的過程.這個(gè)過程非常重要，最好不要省略不寫.此題在添加括號(hào)時(shí)注意到x前面的符號(hào)，便得到：原式=[3x+1-x-1]÷[x2+4x+4x+1].

當(dāng)然，也可以不用“整體思想”，把“-x+1”看成兩項(xiàng)，與[3x+1]進(jìn)行通分.雖然此解法步驟較多，但是對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)來講，易于理解，不易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.

【錯(cuò)解2】原式

=[3x+1-x-1]÷[x2+4x+4x+1]

=[3x+1-x2-1x+1]÷[x+22x+1]

=[3-x2-1x+1]÷[x+22x+1].

【錯(cuò)因分析】此解答過程前兩步是正確的，但第三步進(jìn)行同分母分式運(yùn)算時(shí)，在合并分子的過程中，沒意識(shí)到分?jǐn)?shù)線也有括號(hào)的功能，錯(cuò)認(rèn)為只要把分子的每一項(xiàng)放在一起就行.

【應(yīng)對(duì)措施】進(jìn)行同分母分式運(yùn)算時(shí)，若第二個(gè)分式的分子是多項(xiàng)式，要注意第二個(gè)分式的分子是一個(gè)整體，在合并分子之前有一個(gè)添括號(hào)后再去括號(hào)的過程.

【正解】

原式=[3x+1-x+1x-1x+1]·[x+1x+22]

=[-x+2x-2x+1]·[x+1x+22]=[2-xx+2]，

當(dāng)x=[2-2]時(shí)，

原式=[2-2+22-2+2]=[4-22]=[22-1].

三、誤把分式化簡運(yùn)算當(dāng)成解分式方程

例5 化簡[1x-2]-[4x2-4].

【錯(cuò)解】原式=x+2-4=x-2.

【錯(cuò)因分析】分式化簡是將異分母通過通分，化成同分母后再進(jìn)一步運(yùn)算，以達(dá)到化成最簡分式或整式的目的，其運(yùn)算的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，是代數(shù)式的恒等變形，與小學(xué)學(xué)習(xí)過的分?jǐn)?shù)運(yùn)算相類似.解分式方程是通過在方程兩邊同時(shí)乘最簡公分母，從而把分式方程化為整式方程，達(dá)到求出未知數(shù)的值的目的，其運(yùn)算的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，所進(jìn)行的是方程的同解變形.當(dāng)然，方程的同解變形，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生失根，因而常常需要對(duì)所得到的解進(jìn)行檢驗(yàn).計(jì)算時(shí)常因?yàn)椤胺质竭\(yùn)算”與“解分式方程”這兩者的“樣子”相似而容易把二者混淆.

【應(yīng)對(duì)措施】在下筆答題之前，同學(xué)們一定要先審清題意，識(shí)別好運(yùn)算的類型，或者先識(shí)別問題解決的目標(biāo)，然后再選取相應(yīng)的解法進(jìn)行化簡或者解方程.

【正解】原式=[x+2x2-4]-[4x2-4]=[1x+2].

（作者單位：廣東省深圳市新華中學(xué)）endprint