淺談導數(shù)的幾種應用與思路

董斯宇

摘要：導數(shù)在幾種問題，尤其在求函數(shù)的極值、單調性等方面，求解非常方便、簡潔。同時，在不等式求解方面，將不等式轉換為函數(shù)，進而求函數(shù)與零的關系更是一個求解不等式問題的不二法門。在求解最優(yōu)化問題中，常常將導數(shù)思想融入求解，如拉格朗日乘數(shù)法的使用。本文試圖以導數(shù)在函數(shù)極值、不等式中的綜合應用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個問題總結導數(shù)的解題思路與方法。

關鍵詞：導數(shù) 極值 不等式 拉格朗日乘數(shù)法

通常來說，導數(shù)可以從不同的角度靈活考察知識的綜合運用和解決數(shù)學問題的能力。與此同時，導數(shù)與不等式、數(shù)列、函數(shù)等知識的交集命題，應用數(shù)學知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點。本文試圖以導數(shù)在函數(shù)極值、不等式中的綜合應用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個問題總結導數(shù)的解題思路與方法。

1導數(shù)在求函數(shù)極值中的應用

使用Matlab軟件繪制出函數(shù)的圖像，并在圖中標注出極小值如下圖所示，從圖中可以看出繪圖結果與計算結果吻合性較好。

2導數(shù)在不等式證明中的應用

不等式是目前來說高中數(shù)學里面學生較為頭疼的一個難點，不等式證明不僅要求證明者要有非常好的靈活運用已學的知識的能力，還要有對不等式模型的一種感知，即看到題目知道考的是哪一類不等式。通過各種模型式子的變形，或者就已知式子將不等式經過合理的變形，最后通過層層推導得出結論。不等式證明需要證明者有極強的邏輯性。問題分析：對導數(shù)證明不等式問題而言，第一步通常是求解原方程或把不等式看作一個新的函數(shù)，求解其一階導數(shù)，再根據(jù)一階導數(shù)的復雜性，以判斷是否需要求二階導數(shù)。求完一階導數(shù)之后，根據(jù)題目給的條件，把條件帶入一階導數(shù)，通?？梢灾苯拥贸鼋Y論，若不行則必須從二階導數(shù)入手。但是需要提醒的是這類函數(shù)求最值問題需要特別注意定義域，定義域可能會影響參數(shù)的取值范圍。

3拉格朗日乘數(shù)法

4總結

本文著重討論了在求函數(shù)極值，不等式問題以及拉格朗日乘數(shù)法中導數(shù)的應用，事實上，導數(shù)的應用范圍何其之廣，本文提到的只是鳳毛翎角，例如在解析幾何與立體幾何中以及在向量中，都具有重要的應用。總之，導數(shù)作為大學課程《高等數(shù)學》中微積分的學習基礎，在新課標的課程大綱中，將導數(shù)移至高中數(shù)學的學習，雖然，高中數(shù)學課程的學習內容增加了，但由于導數(shù)本身具有極強的實際應用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實際運用性，是高中數(shù)學學習過程中的一個很好的學習工具。與此同時，導數(shù)是在各類考試中重點的考試內容，霸占非常大的分數(shù)比例，一般試卷壓軸題出導數(shù)的題目概率及其之高。因此，在學習導數(shù)過程中要注意理解導數(shù)的一些常規(guī)運用并且理解導數(shù)的意義，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，同時熟練的掌握導數(shù)的運用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實力。

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