電容濾波型不控整流裝置2/3/2/0導(dǎo)通模式的數(shù)值分析

徐 塵 付立軍

（海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033）

多脈波不控整流裝置因其結(jié)構(gòu)簡潔、運(yùn)行可靠及容量大的特點(diǎn)在高壓直流輸電、變頻調(diào)速系統(tǒng)、靜止無功補(bǔ)償器、有源電力濾波器等場合廣泛應(yīng)用[1-3]。傳統(tǒng)上電子學(xué)對此類整流裝置的研究多集中于其直流側(cè)串接較大平波電抗器輸出恒流的情形[4-6]，而隨著中高壓變頻調(diào)速系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，裝置直流側(cè)并聯(lián)較大濾波電容作為直流電壓源的情況，也在引起國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注[7-11]。

根據(jù)整流裝置直流側(cè)輸出電流波形是否連續(xù)，電容濾波型三相不控整流裝置的工作模式可劃分為電流斷續(xù)模式和電流連續(xù)模式。根據(jù)工作過程中導(dǎo)通的功率元件數(shù)量及順序，存在兩種斷續(xù)工作模式，即“2/0”模式和“2/3/2/0”模式[12]。

對長時(shí)間穩(wěn)態(tài)工作的整流裝置，一般應(yīng)確保其處于電流連續(xù)模式，避免電流斷續(xù)帶來較大諧波畸變。但若裝置工作在某些負(fù)載變化較快的場合，如脈沖負(fù)載，則不可避免出現(xiàn)電流斷續(xù)。由于2/3/2/0模式狀態(tài)間切換過程復(fù)雜，在 1/6周期內(nèi)會出現(xiàn) 4種電路模態(tài)，且其相對應(yīng)的負(fù)載范圍窄，因此以往對于整流裝置斷續(xù)模式的研究集中于2/0模式[13-17]，忽略了對2/3/2/0模式的研究。如果采用2/0模式的計(jì)算方法來近似計(jì)算2/3/2/0模式，則不可避免會出現(xiàn)計(jì)算偏差。因此，完善2/3/2/0模式的研究，對準(zhǔn)確分析電容濾波型三相不控整流裝置的非線性運(yùn)行機(jī)理具有現(xiàn)實(shí)意義。對完善多脈波不控整流裝置（如12脈波、24脈波）的運(yùn)行模式研究也有借鑒參考價(jià)值。

本文采用經(jīng)典電路分析方法，分析了2/3/2/0模式4個(gè)導(dǎo)通階段間的邊界條件，利用電路的對稱性對不同導(dǎo)通狀態(tài)下電容濾波型三相不控整流裝置的電壓電流參數(shù)建立了微分方程，應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法最終求得精確解，經(jīng)過與電路時(shí)域仿真相比對，最終證明該方法的準(zhǔn)確性。

1 2/3/2/0模式的等效電路

電容濾波型多脈波不控整流裝置交流側(cè)大多連接變壓器或發(fā)電機(jī)，交流電感的作用不可忽略，而由于空間、成本約束，直流側(cè)一般不再專門配備濾波電感，而并聯(lián)以較大容量的濾波電容。如圖1所示，L為交流側(cè)等效電感，r為交流側(cè)等效電阻，C為濾波電容，R為負(fù)載電阻。本文中設(shè)電路參數(shù)對稱，交流側(cè)為理想的三相交流電源，不含高次諧波。由圖2交流電流波形可知，2/0模式分為二管導(dǎo)通和電流斷續(xù)兩個(gè)階段。2/3/2/0模式則分4個(gè)階段：①二管導(dǎo)通，為方便敘述，以D1、D6管起始導(dǎo)通為例，作為整個(gè)過程的起點(diǎn)；②發(fā)生換相，由于線電壓周期脈動，存在由 A、B相換至 A、C相的過程。而換相過程中由于交流電感的存在導(dǎo)致電流無法突變，會出現(xiàn)D1、D2、D6三管導(dǎo)通；③換相結(jié)束，再次進(jìn)入二管導(dǎo)通，但時(shí)間很短，此時(shí)D1、D2導(dǎo)通；④換相過后出現(xiàn)交流側(cè)電流斷續(xù)，此時(shí)電流為0，直到出現(xiàn)新的二管導(dǎo)通為止。整個(gè)過程持續(xù)π/3電角度。

設(shè)[0, γ]為 D1/D6管導(dǎo)通區(qū)間，[γ, δ]為 D1/D2/D6管導(dǎo)通區(qū)間，[δ, ε]為 D1/D2導(dǎo)通區(qū)間，[ε, π/3]為無器件導(dǎo)通區(qū)間。對不同區(qū)間的直流電壓uc和交流電流iA、iB、iC進(jìn)行劃分，4個(gè)階段分別用下標(biāo)1、2、3、4加以區(qū)分。其各個(gè)階段的等效電路如圖3所示。

圖1 電容濾波型三相不控整流裝置拓?fù)?/p>

圖2 電容濾波型三相不控整流裝置的電流斷續(xù)模式交流電流波形

圖3 2/3/2/0模式的等效電路

2 2/3/2/0模式的數(shù)值分析

在第一個(gè)二管導(dǎo)通區(qū)間，結(jié)合基爾霍夫定律，有如下二階微分方程：

當(dāng)式（1）的特征方程具有共軛復(fù)根時(shí)，該方程解的形式為

但是c1仍未知，留到后文解決。

0時(shí)刻交流電流為0，變化率也為0，有如下關(guān)系：

由式（4）可知，u0為變量θ的函數(shù)。

tωγ=時(shí)刻，第一次二管導(dǎo)通結(jié)束，進(jìn)入三管導(dǎo)通階段，D1/D2/D6管導(dǎo)通，此時(shí)，iB=iA，C相電流iC為0，其電流變化率也為0，其等效電路如圖4所示，并可以建立如下方程組：

圖4 三管導(dǎo)通起始時(shí)刻等效電路

則有

式（7）的第一個(gè)方程為二階非齊次常微分方程，當(dāng)該二階方程的特征方程具有共軛復(fù)根時(shí)，uc2的解可表示為

進(jìn)入[δ, ε]區(qū)間的等效電路，整流裝置再度進(jìn)入二管導(dǎo)通狀態(tài)，類似方程（1），可得直流側(cè)電容電壓3cu 的二階微分方程如下（方程中ωt取[0, ε?δ]）：

由ε時(shí)刻電流斷續(xù)，電路開路，得到臨界條件：

此時(shí)直流電壓與線電壓有如下關(guān)系：

而設(shè)電流斷續(xù)時(shí)的電容電壓等于u3，有如下表達(dá)：

由式（27）可知，可將c1看做u4的函數(shù)，而式（26）的后半式u4可由u3表達(dá)。這樣，前文假設(shè)的其他參數(shù) u1、i1、u2、i2、u4均可由 5個(gè)未知數(shù)θ、γ 、δ 、ε 、u3的相關(guān)函數(shù)來表示。這5個(gè)未知數(shù)，由式（6）、式（15）、式（21）、式（23）、式（25）組成非線性方程組，采用數(shù)值計(jì)算方法如牛頓法、割線法等，可求出上述5個(gè)未知數(shù)的確定解，應(yīng)注意上述數(shù)值計(jì)算法均為局部最優(yōu)解法，所以初值選取應(yīng)盡可能合理。求出相關(guān)未知數(shù)后，可根據(jù)式（27）求出直流電壓uc，uc呈現(xiàn)6倍頻波動。

直流電流 id在區(qū)間[0, π/3]內(nèi)與 A 相電流 iA重疊，也呈現(xiàn)6倍頻波動。表達(dá)式如式（28）所示。

以A相電流為例，2/3/2/0導(dǎo)通模式下的半個(gè)周期內(nèi)交流側(cè)電流表達(dá)式如式（29）所示，由于交流電流存在半波對稱的特點(diǎn)，所以后半周期(t)=?iA(t ? π /ω)。

3 初值選取及算法收斂性

本文提出的對非線性方程的數(shù)值求解，傳統(tǒng)多采用牛頓法、二分法、割線法或其他改進(jìn)型算法。這類迭代法一般都有局部收斂的問題，因此，初值的選擇對于算法最終是否能夠收斂十分關(guān)鍵，初值的選取應(yīng)盡量接近。本文對初值的選取原則如下：2/3/2/0導(dǎo)通模式介于 2/0導(dǎo)通模式和 3/2導(dǎo)通模式之間，三管導(dǎo)通時(shí)長很短，可近似將γδε、、都取為π/3；θ為線電壓 uAC與D1、D6起始導(dǎo)通時(shí)刻的差值，由于交流電感引起二極管導(dǎo)通延遲，所以這個(gè)角度應(yīng)選擇在0到π/6之間，本文取為π/12；而電壓u3的初值可由不控整流的直流電壓平均值的計(jì)算公式[5]近似得到，近似取為1.35m/E 。

4 仿真與驗(yàn)證

利用符號計(jì)算軟件 Mathematica對上述方程組進(jìn)行編程，調(diào)用該軟件的FindRoot函數(shù)，選擇割線法對上述5個(gè)方程進(jìn)行數(shù)值求解。計(jì)算算例參數(shù)如下：L=0.2mH，r=0.02Ω，C=3.3mF，R=8.5Ω，Em=2206V，交流電壓頻率為 50Hz。裝置工作在穩(wěn)態(tài)時(shí)，處于2/3/2/0模式。同時(shí)利用Matlab/Simulink軟件對如圖1所示電路進(jìn)行時(shí)域仿真，仿真中設(shè)定二極管為理想開關(guān)元件，未考慮導(dǎo)通壓降，以驗(yàn)證本文提出的計(jì)算方法。計(jì)算經(jīng)過8次迭代收斂，數(shù)值計(jì)算求解方程組結(jié)果見表1。

表1 計(jì)算結(jié)果

由式（33）、式（34），通過分別計(jì)算電容電壓uc及直流電流 id在π/3電角度內(nèi)的傅里葉級數(shù)求取各特征頻率幅值，獲得各次諧波含量；在時(shí)域仿真中則通過使用Powergui模塊的FFT分析工具獲得電容電壓及直流電流的諧波分量。計(jì)算結(jié)果與仿真對比見表2至表4。

從表 2、表 3中可以看出，直流側(cè)的諧波分量主要為6次諧波的倍頻分量。由表4可知，交流電流諧波次數(shù)為6n±1次。計(jì)算結(jié)果、仿真結(jié)果的直流分量和各次諧波幅值基本一致，證明了本文所提方法的正確性。

表2 直流電壓諧波含量計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對比

表3 直流電流諧波含量計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對比

表4 交流電流諧波含量計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對比

5 結(jié)論

對三相不控整流裝置的電流斷續(xù)模式，以往的研究基本上聚焦于“2/0”模式。對切換狀態(tài)復(fù)雜的“2/3/2/0”導(dǎo)通模式，在三相對稱且交流電壓不含高次諧波分量前提下，本文進(jìn)行了分析計(jì)算方法的推導(dǎo)。主要根據(jù)不同導(dǎo)通狀態(tài)的分界條件，利用電路的對稱性，列寫出解析表達(dá)式。最終將復(fù)雜的電路狀態(tài)轉(zhuǎn)換用五元微分方程組來表達(dá)，繼而利用數(shù)值計(jì)算方法，求解了該超越方程組。本文利用上述方法分析了電壓、電流的諧波含量，與仿真對比，驗(yàn)證了該方法的正確性。

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