進給伺服系統(tǒng)的PID參數(shù)整定

文思奇 林榮文 黃李威

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108）

在交流伺服系統(tǒng)中，多數(shù)采用三相永磁同步電動機（PMSM）。這類電動機與無刷直流電動機（BLDC）和感應(yīng)異步電動機（IM）相比，其效率高，運行可靠。永磁同步電動機有兩種類型，一種是內(nèi)裝式，另一種是外裝式。外裝式常見的隱極式同步電動機，其特點是在d軸和q軸上，磁路的磁阻基本相同。內(nèi)裝式常見的凸極式同步電動機[1]，其特點是在q軸上的磁阻小于d軸，且結(jié)構(gòu)簡單，制造成本低，易對永磁磁極進行優(yōu)化設(shè)計[2]。

目前在工業(yè)上大量使用常規(guī)的PID參數(shù)調(diào)節(jié)來實現(xiàn)控制伺服系統(tǒng)，這種固定參數(shù)的調(diào)節(jié)方式由于系統(tǒng)的非線性和被控對象特性變化時，控制性能比較差。于是可以借助智能控制算法來達到更好的控制效果。

本文主要介紹基于遺傳算法的伺服系統(tǒng)PID參數(shù)整定，通過Matlab仿真Kp、Ki、Kd參數(shù)自整定得到最優(yōu)解。

1 數(shù)控機床進給伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型

1.1 PMSM的數(shù)學模型

通過坐標變換將三相坐標系下的定子交流電流變換為兩相旋轉(zhuǎn)坐標系下的直軸電流和交軸電流[3]。

為了得到理想情況：①假設(shè)磁路不飽和；②定子三相繞組對稱，忽略空間高次諧波；③忽略鐵心損耗（渦流損耗和磁滯損耗）；④定子空載電動勢是比較標準的正弦波；⑥系統(tǒng)中頻率和溫度對繞組的電阻假設(shè)無影響，一直保持恒定值。圖1為PMSM等效結(jié)構(gòu)坐標圖。

圖1 PMSM等效結(jié)構(gòu)坐標圖

圖1 中，Oa、Ob、Oc為三相定子繞組的軸線，取轉(zhuǎn)子的軸線與定子a相繞組的軸線的電氣角為θ，可以建立永磁同步電動機的物理方程[4]為

式（1）、式（2）分別是感應(yīng)電動機的電壓方程和磁鏈方程，ua、ub、uc是三相定子繞組的電壓，ia、ib、ic是三相定子繞組的電流，?a、?b、?c是三相定子繞組的磁鏈，定子電阻Ra＝Rb＝Rc＝R，定子電感La＝Lb＝Lc=L；?f為轉(zhuǎn)子磁場的等效磁鏈。

三相定子交流電的主要作用是產(chǎn)生一個旋轉(zhuǎn)的磁場[5]，當兩相相位正交的對稱繞組通以兩相相位相差90°的交流電時，也能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場。根據(jù)矢量變換原理，建立一個與永磁同步電動機轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的d-q坐標系，讓d軸與轉(zhuǎn)子磁極重合，順著旋轉(zhuǎn)方向超前90°電角度為q軸，把永磁同步電動機定子的各參量都轉(zhuǎn)化到d-q旋轉(zhuǎn)坐標系下。

1.2 矢量變換原理

矢量變換分為Clarke和Park兩種，變換的基本的原則是變換前后磁動勢完全等效。矢量變換時，先進行 Clarke變換，式（3）中將三相靜止坐標系的電流值iA、iB、iC轉(zhuǎn)換為兩相靜止坐標系中的電流值 iα、iβ。然后再經(jīng)過 Park變換，兩相靜止坐標系就變成了兩相旋轉(zhuǎn)坐標系[6]。式（5）中將兩相旋轉(zhuǎn)坐標系中的電流值 iα、iβ轉(zhuǎn)換為兩相靜止坐標系中的電流值id、iq。

圖2為OABC到Oab的轉(zhuǎn)換。

圖2 OABC到Oαβ的轉(zhuǎn)換

圖3 Oαβ到OMT的轉(zhuǎn)換

可以得到Clarke正變換為

Clarke和Park變換其用意就是將交流電動機電流解耦成勵磁電流跟電驅(qū)電流來控制，模擬直流電動機一樣的控制特性。

1.3 同步旋轉(zhuǎn)坐標上的PMSM數(shù)學模型

凸極式電動機的自感互感都是余弦函數(shù)，將電壓方程變成含有時變系數(shù)的微分方程。圖4為永磁同步電動機矢量圖。

圖4 永磁同步電動機矢量圖

設(shè)定Lmd、Lmq為d、q軸的勵磁電感；Lsσ為d、q軸線圈的漏感；ud、uq為d、q軸定子電壓；id、iq為 d、q軸定子電流；φd、φq為 d、q軸定子磁鏈；Lq=Lmq+Lsσ、Ld=Lmd+Lsσ為 d、q 軸的總電感；φf是轉(zhuǎn)子磁場的等效磁鏈。

得到PMSM電流方程為

2 遺傳算法在PID控制中的應(yīng)用

遺傳算法（genetic algorithms, GA）是以自然選擇和基因遺傳理論為基礎(chǔ)[7]，模擬大自然生物進化過程，通過選擇，交叉，變異等操作[8]，在解空間中通過指定的迭代次數(shù)進行尋優(yōu)，向著全局最優(yōu)的方向收斂。

在遺傳算法中，根據(jù)實際需求設(shè)定一個適應(yīng)度函數(shù)，篩選出適應(yīng)度較高個體，以提高遺傳算法的搜索效率和全局搜索能力[9]。遺傳算法過程用到了適應(yīng)度準則，適應(yīng)度高的會擁有較高概率遺傳到下一代中，適應(yīng)度低的則會擁有較高的概率被淘汰[10]。

選用誤差絕對值時間積分性能指標作為參數(shù)選擇的最小目標函數(shù)，即

式中，e(t)為系統(tǒng)誤差；u(t)為控制器輸出；tu為上升時間；w1、w2、w3、w4為權(quán)值，而且 w4＞＞w1。

本文取適應(yīng)度函數(shù)為目標函數(shù)J的倒數(shù)，即

式中，遺傳算法在進化搜索中基本不利用外部信息，僅以適應(yīng)度函數(shù)為依據(jù)，利用種群每個個體的適應(yīng)度來進行搜索。因為適應(yīng)度函數(shù)的復雜度是遺傳算法復雜度的主要組成部分，所以適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計應(yīng)盡可能簡單，使計算的時間復雜度最小。

在伺服系統(tǒng)中應(yīng)用遺傳算法時，首先需要對參數(shù)進行編碼和譯碼操作。編碼一般有二進制編碼和浮點數(shù)編碼兩種方式，這里選用二進制編碼。由于二進制編碼不能直接在控制器算式中使用，因此必須解碼后使用。編碼時，將3個參數(shù)分別代表10位二進制碼，同樣在解碼過程中，將這個數(shù)字串分為三部分，每十位為一個二進制編碼。然后轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。例如在工業(yè)過程控制中，Kp的變化范圍是從0.1到100。Kp譯碼公式如下：

式中，m為十位無符號二進制編碼。

再確定一個解碼方案，相當于基因型到表現(xiàn)型的轉(zhuǎn)換。然后進行解碼操作。再通過已經(jīng)確定的轉(zhuǎn)換規(guī)則可得到個體的適應(yīng)度。適應(yīng)度值非負，適應(yīng)度值增加的方向就是目標函數(shù)優(yōu)化的方向。圖5為基于遺傳算法的PID優(yōu)化控制方案原理圖。

圖5 基于遺傳算法的PID優(yōu)化控制方案原理圖

本文選用比例選擇算子。因為比例選擇算子嚴格的遵循個體被選中的概率和適應(yīng)度呈線性的正比關(guān)系。

式中，Pi代表被選中的概率。在這個群體中適應(yīng)度高的個體要比適應(yīng)度低的個體更容易遺傳下去，因為被選中進行復制的概率大。這樣就使得這種遺傳關(guān)系變得特別容易從適應(yīng)度中看出來，并且比較標準。

根據(jù)遺傳算法的流程，可以得到基于遺傳算法的PID參數(shù)尋優(yōu)的流程圖。與單純的GA算法類似，也是一個迭代循環(huán)。

圖6是基于遺傳算法的PID整定流程圖，可以看出在經(jīng)過主要的選擇變異交叉操作后，進行判斷，若群體不穩(wěn)定，則繼續(xù)迭代；若達到穩(wěn)定條件，則停止操作，輸出尋優(yōu)結(jié)果。

這種算法方法簡單，僅僅需要對數(shù)字串進行復制交換或者改變某一位。由于復制、交叉和變異功能以及群點尋優(yōu)的方式避免了陷入局部最優(yōu)解問題，所以這種方法不受模型初始條件的影響，可以在完全不知道系統(tǒng)初始狀態(tài)的情況下，在一個解空間中進行迭代尋優(yōu)。一般來說，先根據(jù)傳統(tǒng)工業(yè)控制中的實際操作經(jīng)驗，選取一組參數(shù)，然后進行遺傳算法的迭代，直到達到控制要求為止。這樣就可以節(jié)省很多時間以及避免不必要的時間浪費以及計算浪費，提高了控制效率。

把遺傳算法運用于PID的參數(shù)整定，不但克服了常規(guī)PID整定方法的缺點，而且實現(xiàn)了PID參數(shù)離線整定。這種方法把遺傳學的思想與控制工程相結(jié)合，模擬自然進化過程，搜尋最優(yōu)解。

圖6 遺傳算法（GA）流程

3 進行Matlab仿真

圖7 階躍響應(yīng)輸出曲線

圖8 階躍響應(yīng)誤差曲線

圖9 最優(yōu)個體適應(yīng)值

圖 10 Kp、Ki、Kd優(yōu)化曲線

使用經(jīng)驗法選定Kp、Ki、Kd參數(shù)時，假設(shè)選定的Kp=0.5、Ki=60、Kd=0，當輸入為一階躍函數(shù)時，得到輸出曲線和誤差曲線，分別如圖7和圖8所示。

圖7中調(diào)節(jié)時間為0.071s，很明顯能看出此次調(diào)節(jié)時間較長，且系統(tǒng)波動較大。若應(yīng)用在實際的工業(yè)控制中，控制效果不太好。使用遺傳算法時，進行Matlab仿真。

其中，Kp=0.1656、Ki=65.8216、Kd=0，適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)值是Jbest=11.64?？梢钥闯鲈?00次迭代中，最優(yōu)個體適應(yīng)度值在 20次循環(huán)后逐漸趨于穩(wěn)定。在圖10中，采樣點取每次迭代的最后一次結(jié)果，也就是最優(yōu)解，采樣100次后，繪制出優(yōu)化曲線圖。可以看出得到Kp、Ki、Kd都已經(jīng)穩(wěn)定，取出這個穩(wěn)定值就是最優(yōu)解。Kp、Ki、Kd得到最優(yōu)解后繪制輸出曲線和誤差曲線，分別如圖11和圖12所示。

圖11 GA優(yōu)化階躍響應(yīng)輸出曲線

圖12 GA優(yōu)化階躍響應(yīng)誤差曲線

調(diào)節(jié)時間為0.0481s，相比于使用經(jīng)驗法，調(diào)節(jié)時間已經(jīng)明顯變短，圖形波動也沒有經(jīng)驗法變化的劇烈，波形更加平滑。因此，可以知道基于遺傳算法的PID參數(shù)調(diào)節(jié)比僅僅依靠經(jīng)驗值進行估算Kp、Ki、Kd的方式收斂速度更快。

4 結(jié)論

通過本文的研究，傳統(tǒng)的PID控制依靠經(jīng)驗選取參數(shù)，曲線波動較大，調(diào)節(jié)時間也比較長。相比于傳統(tǒng)的PID控制，基于遺傳算法的PID控制效果更好，實現(xiàn)了PID參數(shù)調(diào)節(jié)的全局最優(yōu)化。經(jīng)過仿真實驗，可以得出基于遺傳算法的PID參數(shù)整定與傳統(tǒng)的PID參數(shù)選定相對比，具有更加精確的優(yōu)點，多目標尋優(yōu)，運算速度更快，魯棒性強，是理想快捷的優(yōu)化算法。

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