均值-方差準(zhǔn)則下相依雙險種最優(yōu)再保險

蔣蘭青

( 閩江師范高等?？茖W(xué)校初等教育系，福州 350108)

引 言

隨著對保險破產(chǎn)概率研究的成熟和完善，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注再保險對破產(chǎn)概率的影響，以及再保險設(shè)計如何達到最優(yōu)，從而為原保險公司分散風(fēng)險，擴大承保能力。已有不少文獻研究過單一的成數(shù)或超額賠款再保險模型的破產(chǎn)概率，或者進一步討論模型的最優(yōu)自留額。王旭在文獻［1］中討論了離散時間比例再保險模型的破產(chǎn)概率，文獻［2-3］均利用最小化破產(chǎn)概率討論了最優(yōu)的比例再保險問題，文獻［4-7］利用期望效用函數(shù)最大化研究了最優(yōu)化比例或超額損失再保險策略。而早在2002 年，Centeno M L 就在文獻［8］中研究了成數(shù)超額賠款混合再保險模型，其中成數(shù)再保險保費按原始條款計算，而超額賠款再保費則依據(jù)期望值原則計算，并且假設(shè)理賠過程是一個復(fù)合Poisson 過程。李興玉等在文獻［9］中以經(jīng)典破產(chǎn)理論為基礎(chǔ)，將比例再保險和超額賠款再保險納入考量，構(gòu)造與風(fēng)險態(tài)度有關(guān)的投資函數(shù)，再根據(jù)鞅方法得到與投資謹(jǐn)慎性有關(guān)的破產(chǎn)概率。

受前人的啟發(fā)，本文建立成數(shù)和超額損失混合雙險種再保險模型，并考慮兩險種的理賠之間不是獨立的，將Centeno M L 在文獻［10］中的某種相依關(guān)系引入到模型中，建立了一類更符合實際的再保險模型。其次，考慮到原保險人利用再保險轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險必然會減少其原有的期望收益，但是一個合理的再保險又可以通過增加安全性來降低風(fēng)險，綜合這兩方面因素，保險人必須通過權(quán)衡收益和風(fēng)險來得到最優(yōu)策略。文獻［11-14］均從不同角度研究了均值-方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)再保險問題。文獻［11］將保險公司比例再保險的收益和風(fēng)險通過線性組合的方式，轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的最優(yōu)決策模型，通過確定分出比例來使再保險的風(fēng)險效用達到最大。根據(jù)該思想，最優(yōu)再保險的決策問題就轉(zhuǎn)化為再保險中相應(yīng)參數(shù)的選取問題。本文運用均值-方差原理，即通過將總體風(fēng)險最小和期望收益最大的雙目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，得到了模型的相應(yīng)參數(shù)，從而選取最優(yōu)自留額。

1 預(yù)備知識與模型建立

定義1［15］計數(shù)過程{N( t) ，t ≥0} 稱為參數(shù)為λ( λ ＞0) 的齊次Poisson 過程，如果:

(1) N(0) = 0;

(2) 過程有獨立增量;

(3) 對任意的s，t ≥0;

定理1［16］關(guān)于齊次Poisson 過程的可加性。設(shè)M ={Mt，t ≥0} 和N = {Nt，t ≥0} 是強度分別為λ1和λ2的齊次Poisson 過程，并且兩個過程相互獨立，對于每一個ω ∈Ω 和任意的t ≥0，令:

Kt( ω) = Mt( ω) + Nt( ω)

則上式定義的過程K = {Kt，t ≥0} 稱為過程M = {Mt，t ≥0} 和N = {Nt，t ≥0} 的疊加，且是服從強度為λ =λ1+ λ2的齊次Poisson 過程。

定理2［16］設(shè){S( t) ，t ≥0} 是一個復(fù)合Poisson 過程，Poisson 過程{N( t) ，t ≥0} 的強度為λ，則:

(1) S( t) 有獨立增量;

(2) 若E( Xi) ＜+ ∞，則E( S( t) ) = λtE( X1) ，Var( S( t) ) = λtE() 。

下面進行模型的建立。

設(shè)( Ω，F(xiàn)，P) 為一個完備的概率空間，本文考慮的所有隨機變量都是定義在該概率空間上的。假設(shè)保險公司對兩類險種采取不同的再保險策略，具體而言，對險種一的理賠選擇自留比例為a 的成數(shù)再保險，對險種二的理賠選擇自留額為M 的超額賠款再保險，建立如下的相依混合雙險種再保險風(fēng)險模型，保險公司的盈余過程與盈利過程分別為式(1) 和式(2) :

其中:

(1) u ≥0 為保險公司的初始資金，P 為單位時間的保費率。

(2) {Xi，i ≥1}，{Yj，j ≥1} 是取值于［0，∞) 上非負(fù)獨立同分布的隨機變量序列，分別表示險種一在第i次的理賠額及險種二在第j 次的理賠額，設(shè)其分布函數(shù)分別為F( x) ，G( y) ，均值分別為μ1，μ2，且對x ≤0 有F( x) = 0，對y ≤0 有G( y) = 0。

(3) N1( t) ，N2( t) 分別表示兩類險種在t 時間內(nèi)的理賠次數(shù)，令N1( t) = K1( t) + K( t) ，N2( t) = K2( t) +K( t) ，其中K1( t) ，K2( t) ，K( t) 分別服從參數(shù)為λ1，λ2，λ 的Poisson 分布且相互獨立，這樣兩險種的各自理賠總額便通過K( t) 聯(lián)系起來。由定理1 易知N1( t) ，N2( t) 是分別服從強度為λ1+λ，λ2+λ 的齊次Poisson 過程。

(4) h( Yj) = min{Yj，M} 表示險種二在第j 次的理賠額，Pa，PM分別為成數(shù)再保險和超額賠款再保險的單位時間再保費率，假設(shè)原保險公司與再保險公司都是按期望值原理收取保費，且原保險、成數(shù)再保險和超額賠款再保險的安全負(fù)載分別為θ，θ1，θ2( θ ≤θ1，θ ≤θ2) ，于是P = (1 + θ) ［( λ1+ λ) μ1+ ( λ2+ λ) μ2］，Pa=(1 + θ1) (1 － a) ( λ1+ λ) μ1，PM= (1 + θ2) ( λ2+λ) E［( Yj－ M)+］。

(5) {W( t) ，t ≥0} 為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，表示保險公司不確定的收益和支出，σ ＞0 為干擾因子。且假設(shè){Xi，i ≥1}，{Yj，j ≥1}，{N1( t) ，t ≥0}，{N2( t) ，t ≥0}，{W( t) ，t ≥0} 之間相互獨立。

定義2記Ta，M= inf{t| U( t，a，M) ＜0} 表示保險公司的破產(chǎn)時刻，若對所有t，均有U( t，a，M) ＞0，則Ta，M= ∞; 記ψ( u，a，M) = P( Ta，M＜∞| U(0) = u) ，?u ≥0 表示最終破產(chǎn)概率。

2 均值方差下的最優(yōu)再保險

引言中已指出均值－方差原理的思想，即通過將總體風(fēng)險最小和期望收益最大的雙目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，本節(jié)將利用該方法求解以下模型的最優(yōu)自留額:

這里考慮在某一時間段內(nèi)的理賠，記兩類總理賠分別為:

由模型中的相關(guān)符號定義知，保險公司在該時間段內(nèi)的期望收益為:

原自留總風(fēng)險的方差為:

其中:

從而:

原保險公司是為了得到一個最優(yōu)的再保險合同，即選取適當(dāng)?shù)腶，M 后，能使總期望收益盡量的大，而同時總的風(fēng)險盡量的小。然而這是一個非線性的雙目標(biāo)規(guī)劃問題，兩個目標(biāo)相互沖突，當(dāng)保險人厭惡風(fēng)險時，其獲得的收益就小，而當(dāng)保險人追求收益時，其面臨的風(fēng)險就增大，因此無法得出最優(yōu)解。但可以通過控制一個目標(biāo)變量，而使另一個目標(biāo)變量達到最優(yōu)。本節(jié)就是在既定的期望收益下，使保險公司的總風(fēng)險方差達到最小。

假設(shè)期望收益為k，可以利用Lagrange 乘數(shù)法來求上述問題的最優(yōu)解，此時Lagrange 函數(shù)為:

式(8) 分別對a，M，η 求偏導(dǎo)，并令其為0，得:

由式(9) － 式( 11) 組成的方程組的解即為所要的最優(yōu)解。當(dāng)理賠的分布函數(shù)確定時，代入上述方程組即可求得最優(yōu)解。

3 應(yīng)用舉例

設(shè)兩險種理賠額{Xi，i ≥1}，{Yj，j ≥1} 均服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布，即F( x) = 1 － e－x，x ＞0; G( y) =1 － e－y，y ＞0，于是μ1= μ2= 1，且:

假設(shè)θ = 0.2，θ1= θ2，= 0.3，λ1= λ2= 1，σ =0.05，k = 0.6，根據(jù)這些數(shù)據(jù)并利用Matlab 計算得:成數(shù)再保險的最優(yōu)自留比例a = 0.6075，超額賠款再保險的最優(yōu)自留額M = 1.2939。