從兩道試題看賽車“攻彎”問題

沈榮燦

(浙江省上虞中學,浙江 上虞 312300)

賽車在進入彎道時,一方面由于地面所提供摩擦力的限制,需要減速以保障安全過彎;另一方面又為了贏得比賽,希望以盡可能大的速度過彎以縮短時間.以這一類生活實際為背景的考題在2017年4月的浙江省選考中已有所體現(xiàn).筆者以此題為例,分析賽車過彎情景中的運動學問題.

圖1

題1.(浙江省普通高校招生2017年4月選考科目考試物理試題第20題)圖1中給出了一段“S”形單行盤山公路的示意圖,彎道1、彎道2可看作兩個不同水平面上的圓弧,圓心分別為O1、O2,彎道中心線半徑分別為r1=10 m,r2=20 m,彎道2比彎道1高h=12 m,有一直道與兩彎道相切,質(zhì)量m=1200 kg的汽車通過彎道時做勻速圓周運動,路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是車重的1.25倍,行駛時要求汽車不打滑(sin37°=0.6,sin53°=0.8)

(1) 求汽車沿彎道1中心線行駛的最大速度v1;

(2) 汽車以v1進入直道,以P=30 kW的恒定功率直線行駛了t=8.0 s進入彎道2,此時速度恰為通過彎道2中心線的最大速度,求直道上除重力外的阻力對汽車做的功;

(3) 汽車從彎道1的A點進入,從同一直徑上的B點駛離,有經(jīng)驗的司機會利用路面寬度,用最短時間勻速安全通過彎道.設(shè)路寬d=10 m,求此最短時間(A、B兩點都在軌道的中心線上,計算時視汽車為質(zhì)點).

圖2

圖3

情景2:汽車沿中心線內(nèi)側(cè)過彎，如圖3所示.

綜上所述:汽車沿著中心線內(nèi)側(cè)且與路面邊緣相切時,過彎用時最短.

圖4

如圖4所示,對直角三角形AO1O′由勾股定理可列式:

至此本題解答完畢,其難點在于第3問:如何判斷汽車最快過彎的正確軌跡,既不是沿中心線,也不是相切于外側(cè)路面,而是結(jié)合題意的要求從A點出發(fā)相切于內(nèi)側(cè)路面.仔細思考本題,發(fā)現(xiàn)題目還是在一處做了簡化——汽車從中心線A點入彎.而在真實的情況中,車輛入彎前可能在中心線處,可能在路面內(nèi)側(cè),也可能在路面外側(cè),那么在這一更接近真實的情況下,如何過彎才能用時最短呢?

圖5

圖6

由題設(shè)所給的情景,不妨假設(shè)汽車從A點的最外側(cè)切入圓軌道，如圖5所示,軌跡與題(3)軌跡類似,同理可求得t″=1.74 s.那么是否可以的得出這樣一個結(jié)論:為取得比賽的勝利,汽車在進彎時應選擇最外側(cè)——最內(nèi)側(cè)——最外側(cè)這一段圓弧以最大速率行駛?

不妨做如下假設(shè):最內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)彎路面的半徑為r,汽車在最內(nèi)側(cè)路面向外x處以不發(fā)生側(cè)滑的極限速率v′入彎,經(jīng)如圖6所示軌跡后出彎,其圓周運動的半徑為r′,則可列式

r′2=(r′-r)2+(r+x)2，

解得

其中

面對如此復雜的函數(shù)表達式,要判斷其單調(diào)性顯然是很困難的.但可從兩方面來說明簡單地說“為取得比賽的勝利,汽車在進彎時應選擇最外側(cè)——最內(nèi)側(cè)——最外側(cè)這一段圓弧以最大速率行駛”這一結(jié)論是錯誤的.

(1) 假設(shè)路面趨向于無限寬,按上述結(jié)論,汽車從在外側(cè)處入彎,此時路程趨向于無窮大,但汽車實際行駛存在一個最大速度vm,那么過彎時間也趨向于無窮.由此分析還可知:汽車如何運用極限速率選取合理的過彎路徑與彎道內(nèi)徑、外徑、汽車輪胎與地面摩擦因數(shù)、汽車最高速率等因素相關(guān).一句話就是與賽道與賽車有關(guān),因此即使是同一輛賽車,也應根據(jù)不同的賽道選取不同的過彎策略.

(2) 如圖5所示,當汽車從路面最外側(cè)入彎必將從最外側(cè)處彎,但出彎時速度方向已指向軌道外,賽車必將沖出賽道.因此從這一種從最外側(cè)入彎的方式是不安全的.

圖7

題2. 如圖7所示為某一環(huán)形摩托車賽道(非標準)示意圖,ABCD為環(huán)外邊緣,EFGH為環(huán)內(nèi)邊緣.該環(huán)形賽道有兩段直線部分和兩段半圓環(huán)部分組成,直線部分長為200 m,半圓環(huán)部分的內(nèi)環(huán)半徑為10 m,外環(huán)半徑為40 m.某摩托車騎手在直線跑到能達到的最大速度為40 m/s,該摩托車與地面的靜摩擦系數(shù)為1.0.試問:

(1) 摩托車手沿賽道外邊緣轉(zhuǎn)彎時的最大速度不能超過多少?

(2) 若他從A從靜止開始沿賽道外邊緣逆時針運動,要求他能順利進入彎道,則從A到B的最短時間為多少?

(3) 他在起跑線EA上某處由靜止開始沿逆時針運動,轉(zhuǎn)彎半徑為多少時,行駛一圈的時間最短.最短時間為多少?(提示:摩托車可看成質(zhì)點,g取10 m/s2,π取3)

AE至BF段運動可分為加速、勻速、減速3個階段.

CG至DH段運動可分為加速、勻速、減速3個階段.

綜上各式,摩托車手在起跑線EA上某處由靜止開始沿逆時針運動用時

其中10 m≤r≤40 m.

分析該函數(shù)定義域上單調(diào)遞增,所以取r=10 m時,tmin=21.125 s.

從本題的分析過程可以看出,本題與題1是兩種不同過彎方式(或可說是兩種不同的比賽規(guī)則).題1中允許賽車在過彎過程中改變車道,題2更像是田徑場上的400 m比賽——不允許變道(但400 m比賽因要求路程相同,各道起點不同),此處同一條起跑線、同一條終點線有失公平.