基于不確定測度的電力系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計(jì)(三)算法對比

陳艷波, 謝瀚陽, 王 鵬, 王金麗, 葛 婷, 王若蘭

(1. 華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院, 北京市 102206; 2. 廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司信息中心, 廣東省廣州市 510600; 3. 中國電力科學(xué)研究院有限公司, 北京市 100192)

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51777067);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2016YQ02)。

0 引言

本文是該系列文章的第3篇。第2篇在不確定理論體系下,以不確定測度為基礎(chǔ),提出了基于兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小準(zhǔn)則的最大正常率最小偏差度(maximum normal-rate least deviation,MNLD)估計(jì)方法[1]。本文將對MNLD方法與已有的狀態(tài)估計(jì)(state estimation,SE)方法進(jìn)行詳細(xì)的分析對比。

已有的SE方法中,加權(quán)最小二乘(WLS)估計(jì)[2]以其數(shù)學(xué)模型簡潔、計(jì)算方法簡單得到廣泛應(yīng)用。WLS估計(jì)假定量測誤差服從正態(tài)分布,是加權(quán)最小方差無偏估計(jì)。但是,實(shí)際量測誤差不一定服從正態(tài)分布,此時(shí)WLS估計(jì)結(jié)果沒有理論上的保證;WLS估計(jì)在使用時(shí)需要加上一個(gè)基于殘差的不良數(shù)據(jù)辨識環(huán)節(jié),如最大標(biāo)準(zhǔn)化殘差(largest normal residual,LNR)法,但WLS+LNR對強(qiáng)相關(guān)的多不良數(shù)據(jù)的辨識能力有限。

抗差狀態(tài)估計(jì)(robust state estimation,RSE)在估計(jì)過程中可以自動(dòng)抑制不良數(shù)據(jù)。加權(quán)最小絕對值(weighted least absolute value,WLAV)[3]是基于殘差的絕對值最小準(zhǔn)則;QC(quadratic-constant)準(zhǔn)則[4]是假定一個(gè)閾值,將正常量測殘差視作正態(tài)分布,異常量測殘差視作均勻分布,以此賦大小權(quán)?；跍y量不確定度的最大正常測點(diǎn)率(maximum normal measurement rate,MNMR)[5-7]的思想是通過量測值是否落入測量不確定區(qū)間來區(qū)分量測數(shù)據(jù)的“好壞”。

已有SE方法主要建立在概率統(tǒng)計(jì)體系下大數(shù)定律或測量不確定度的理論基礎(chǔ)上。由于實(shí)際系統(tǒng)中量測量的數(shù)目有限,直接使用小樣本或者假定主觀先驗(yàn)概率去應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算和求解,估計(jì)結(jié)果的精度沒有理論上的保證。

不確定測度能夠合理地處理主觀信息[8],本文通過對基于不確定測度的MNLD估計(jì)方法與已有的SE方法進(jìn)行了多個(gè)方面的對比,并進(jìn)行了系統(tǒng)的分析。

1 估計(jì)方法比較

電力SE在數(shù)學(xué)上需要求解一個(gè)優(yōu)化問題,其模型可以統(tǒng)一表示為:

(1)

式中:Fn(·)為ρi的函數(shù);m為系統(tǒng)的量測量個(gè)數(shù);Z為m維量測量向量;x為狀態(tài)向量;h(·)為量測函數(shù)向量;ρ為m維量測誤差向量;ρi為ρ向量中第i個(gè)元素,即第i個(gè)測點(diǎn)的測量誤差。

不同的估計(jì)方法,在于Fn(·)函數(shù)的不同。

1.1 WLS估計(jì)

WLS估計(jì)采用的是殘差的加權(quán)平方和最小的準(zhǔn)則函數(shù),Fn(·)的形式為:

(2)

式中:ωi為第i個(gè)測點(diǎn)的權(quán)重。

WLS估計(jì)對嚴(yán)格服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)為無偏估計(jì)。當(dāng)實(shí)際量測誤差不服從正態(tài)分布時(shí),WLS估計(jì)將失去無偏估計(jì)的優(yōu)良性能;WLS估計(jì)本身無抗差能力,在使用時(shí)常使用WLS+LNR等方法。

1.2 WLAV估計(jì)

WLAV估計(jì)采用的是殘差的絕對值之和最小的準(zhǔn)則函數(shù),Fn(·)的形式為:

Fn(ρi)=ωi|ρi|

(3)

WLAV估計(jì)方法是量測誤差服從拉普拉斯分布時(shí)的極大似然估計(jì)。在誤差分布不服從拉普拉斯分布時(shí),不是最優(yōu)估計(jì)。WLAV估計(jì)具有抗差性,但易受杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)的影響[9]。

1.3 QC非二次準(zhǔn)則

QC估計(jì)對殘差進(jìn)行分段處理,殘差較小時(shí)以殘差的加權(quán)平方和最小為目標(biāo)函數(shù),殘差較大時(shí)則特殊處理,Fn(·)的形式為:

(4)

式中:σi為第i個(gè)測點(diǎn)的不良數(shù)據(jù)判定的閾值。

QC估計(jì)從目標(biāo)函數(shù)的形式來看,可以看作是假定了正常量測時(shí)誤差服從正態(tài)分布,異常量測時(shí)誤差服從均勻分布的極大似然估計(jì)的近似。以閾值的形式判別不良數(shù)據(jù),使得QC非二次準(zhǔn)則具有抗差性,但是仍不能排除杠桿量測。

1.4 MNMR估計(jì)

MNMR估計(jì)引入測量不確定度的概念,定義了正常測點(diǎn)和正常測點(diǎn)率,以正常測點(diǎn)率最高為目標(biāo)函數(shù),其理想模型為:

(5)

式中:Ui為置信概率p對應(yīng)的第i個(gè)測點(diǎn)的擴(kuò)展不確定度;g(·)為測點(diǎn)評價(jià)函數(shù),有

(6)

MNMR估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)不只是與殘差相關(guān),還與測量不確定度相關(guān),若對MNMR理想模型作如下等價(jià)變換:

(7)

其中

(8)

這樣,目標(biāo)函數(shù)將變成廣義的殘差函數(shù),Fn(·)的形式為:

Fn(ρi)=geq(ρi)

(9)

文獻(xiàn)[10]指出,經(jīng)過變換后的MNMR估計(jì)模型,從目標(biāo)函數(shù)的形式上看,該模型是認(rèn)為測量噪聲服從自適應(yīng)的均勻分布,通過均勻分布的閾值判別量測量是否為不良數(shù)據(jù)[11]。而閾值是由基于統(tǒng)計(jì)方法得到的測量不確定度決定的,這使得MNMR估計(jì)在大樣本估計(jì)問題中具有較好的抗差性。

1.5 MNLD估計(jì)

在數(shù)學(xué)上MNLD估計(jì)是多目標(biāo)規(guī)劃問題,它在不確定理論下以測點(diǎn)正常率和量測值偏離估計(jì)值程度最小為目標(biāo),其理想的目標(biāo)函數(shù)為:

(10)

其中

(11)

θi為測點(diǎn)i量測噪聲不確定分布下置信水平為α對應(yīng)的不確定度。

MNLD估計(jì)從第1個(gè)目標(biāo)函數(shù)的形式上看,也是首先認(rèn)為測量噪聲服從自適應(yīng)的均勻分布,通過均勻分布的閾值判別是否為不良數(shù)據(jù)。其閾值是根據(jù)極大熵原理確定分布類型后得到的,因此其自適應(yīng)性是來自使用于小樣本或沒有樣本的不確定測度,具有較強(qiáng)的抗差性。

從第2個(gè)目標(biāo)函數(shù)的形式上看,MNLD估計(jì)進(jìn)一步將剔除了不良數(shù)據(jù)后的量測值進(jìn)行最小最大絕對值估計(jì),Fn(·)的形式為:

Fn(ρj)=max(|ρj|)j∈N(1)

(12)

式中:N(1)為正常測點(diǎn)集。

本文對MNLD估計(jì)方法,以及上述的WLS,WLAV,QC和MNMR估計(jì)方法的性能進(jìn)行對比測試,分別用IEEE 9,14,30,39,57,118,300節(jié)點(diǎn)及實(shí)際電網(wǎng)算例進(jìn)行仿真試驗(yàn)。計(jì)算機(jī)試驗(yàn)條件為:PC機(jī),DELL,CPU為Intel(R) Core(TM) i5-4590、主頻為3.30 GHz、內(nèi)存4.00 GB,算法采用Java編程。

2 抗差性試驗(yàn)

本節(jié)將所提出的MNLD估計(jì)方法與已有的常用估計(jì)方法WLS,WLAV,QC和MNMR進(jìn)行抗差性能的對比研究。其中WLS估計(jì)不具有抗差性,在WLS估計(jì)之后利用LNR法辨識不良數(shù)據(jù)。

針對電網(wǎng)運(yùn)行實(shí)際可能遇到的一般性不良數(shù)據(jù),以及難以處理的強(qiáng)相關(guān)的多不良數(shù)據(jù)和杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù),本節(jié)分別采用不同的估計(jì)方法對IEEE 9,14,30,39,118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真試驗(yàn),包括SE效果、迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間等。

SE效果的評價(jià)指標(biāo)除了采用本系列文章第1篇所提出的不確定理論下的測點(diǎn)正常率η和考慮測點(diǎn)正常率的偏離度Δn-m進(jìn)行評價(jià)外,對參與正常測量的測點(diǎn)再采用偏差的平均絕對值S1和無窮范數(shù)Smax進(jìn)行評價(jià)[12]:

(13)

(14)

S1和Smax分別用以衡量正常測點(diǎn)估計(jì)值與真值的整體偏差和最大偏差。

2.1 一般不良數(shù)據(jù)辨識

通過將潮流計(jì)算的結(jié)果分別加上2%的高斯噪聲或服從均勻分布的噪聲,再將部分?jǐn)?shù)據(jù)通過符號置反、置零、加減20%以上的手段變?yōu)椴涣紨?shù)據(jù),得到含不良數(shù)據(jù)的測量數(shù)據(jù)。本實(shí)驗(yàn)采用IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)(見附錄A圖A1),其中包含量測量110個(gè),添加不良數(shù)據(jù)10個(gè)。表1和表2分別給出了加正態(tài)分布噪聲和均勻分布噪聲的IEEE節(jié)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,圖1和圖2分別給出了抗差性表現(xiàn)良好的MNLD,MNMR和WLAV抗差估計(jì)方法在含正態(tài)分布噪聲和均勻分布噪聲時(shí)的估計(jì)殘差分布。

表1 含正態(tài)分布噪聲和不良數(shù)據(jù)的IEEE系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果Table 1 Estimation result of IEEE system containing bad data and noise with normal distribution

表2 含均勻分布噪聲和不良數(shù)據(jù)的IEEE系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果Table 2 Estimation result of IEEE system containing bad data and noise with uniform distribution

圖1 含正態(tài)分布噪聲的IEEE系統(tǒng)估計(jì)殘差分布Fig.1 Residual distribution in IEEE system containing noise with normal distribution

圖2 含均勻分布噪聲的IEEE系統(tǒng)估計(jì)殘差分布Fig.2 Residual distribution in IEEE system containing noise with uniform distribution

從表1、表2試驗(yàn)結(jié)果可以得出以下結(jié)論。

1)量測噪聲符合高斯分布時(shí),MNLD方法、MNMR方法和WLS+LNR方法的結(jié)果指標(biāo)η和S1基本相同,而且優(yōu)于其他兩種方法,而MNLD方法的指標(biāo)Δn-m和Smax優(yōu)于MNMR方法和WLS+LNR方法;WLAV方法和QC方法次之。

2)量測噪聲符合均勻分布時(shí),MNLD方法結(jié)果的合理性最優(yōu),基本與含正態(tài)分布噪聲時(shí)的結(jié)果一致;MNMR方法、WLS+LNR方法和WLAV方法次之,其估計(jì)性能不如含正態(tài)分布噪聲時(shí)的表現(xiàn),特別是指標(biāo)η和S1;QC方法次之。

3)RSE方法WLAV,MNMR和MNLD的迭代次數(shù)與WLS相差不大,QC方法迭代次數(shù)相對較多,說明WLAV,MVMR和MNLD方法具有較高的計(jì)算效率。

需要指出的是,如圖1(a)和(b)所示,在量測噪聲符合高斯(正態(tài))分布時(shí),MNLD方法的指標(biāo)Δn-m和Smax優(yōu)于MNMR和WLS+LNR方法。這是因?yàn)镸NLD方法進(jìn)一步將正常測點(diǎn)的量測值進(jìn)行最小最大絕對值估計(jì),使得正常量測值偏離估計(jì)值最小,殘差更集中地分布在0附近,如圖1(a)所示,因此其估計(jì)結(jié)果合理性更好。

而在量測噪聲符合均勻分布時(shí),因?yàn)橄嗤旁氡认路木鶆蚍植嫉脑肼暤姆讲畋雀咚乖肼暤姆讲畲?而直接與方差相關(guān)的測量不確定度因此受到影響,使得基于測量不確定度的MNMR方法的正常測點(diǎn)判據(jù)與實(shí)際存在偏差,極端情況下可能會將正常量測誤判為異常量測,因此合理性下降;WLS+LNR方法因?yàn)椴涣紨?shù)據(jù)辨識是基于殘差并假定噪聲服從正態(tài)分布,也會因?yàn)橄嗤脑驅(qū)е潞侠硇韵陆?而基于不確定測度的MNLD方法能合理處理先驗(yàn)信息,使得正常測點(diǎn)判據(jù)自適應(yīng)于實(shí)際情況,因此合理性較優(yōu)。

2.2 強(qiáng)相關(guān)多不良數(shù)據(jù)辨識

強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)是指不良數(shù)據(jù)之間存在高度的相關(guān)性。強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)會引起SE結(jié)果偏離實(shí)際,是電力系統(tǒng)SE的難題。

本節(jié)通過將IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)潮流計(jì)算的結(jié)果分別加上3%服從正態(tài)分布的噪聲,再將節(jié)點(diǎn)5注入有功功率P5,以及線路5-1首端、線路5-2首端和線路5-4首端有功功率P5-1,P5-2,P5-4按相同比例系數(shù)縮小,得到含強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)的測量數(shù)據(jù)。含強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)的IEEE系統(tǒng)量測值與MNLD估計(jì)值如附錄A表A1所示。對具有抗差性的MNLD,MNMR,WLAV和QC方法進(jìn)行測試,各個(gè)方法的估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3的估計(jì)試驗(yàn)結(jié)果表明,MNLD方法和MNMR方法在面對含強(qiáng)相關(guān)多不良數(shù)據(jù)的系統(tǒng)時(shí),估計(jì)結(jié)果的測點(diǎn)正常率最高,對強(qiáng)相關(guān)多不良數(shù)據(jù)抑制效果顯著,但MNLD方法的SE結(jié)果評價(jià)指標(biāo)Δ106-110優(yōu)于MNMR方法,因此MNLD方法的估計(jì)結(jié)果更具合理性。WLAV方法合理性次之,其節(jié)點(diǎn)5注入有功功率的估計(jì)結(jié)果受到強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)的嚴(yán)重影響。QC估計(jì)方法面對含強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)的系統(tǒng)時(shí),估計(jì)結(jié)果嚴(yán)重偏離實(shí)際。

表3 含強(qiáng)相關(guān)不良數(shù)據(jù)的IEEE系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果Table 3 Estimation result of IEEE system containing bad data with strong correlation

2.3 杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)辨識

在SE中,杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)會給基于殘差的不良數(shù)據(jù)識別及一般的抗差SE算法帶來嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。以一個(gè)IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例,潮流計(jì)算結(jié)果分別加上3%的服從正態(tài)分布的噪聲,通過改變線路2-5的線路阻抗使得線路2-5首端有功功率和無功功率成為杠桿量測,再在杠桿量測中加入不良數(shù)據(jù),對具有抗差性的MNLD,WLAV,QC和MNMR方法進(jìn)行測試,表4所示為各個(gè)方法的估計(jì)結(jié)果。

表4 含杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)的IEEE系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果Table 4 Estimation result of IEEE system containing bad data at leverage point

表4的估計(jì)試驗(yàn)結(jié)果表明,MNLD和MNMR方法在面對含杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)的系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果合理性相當(dāng),能抑制杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù),但MNLD方法的結(jié)果評價(jià)指標(biāo)小于MNMR方法,因此MNLD方法的SE結(jié)果更具合理性。WLAV,QC和WLS方法在面對含杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)的系統(tǒng)時(shí),估計(jì)結(jié)果嚴(yán)重偏離實(shí)際。

3 計(jì)算效率對比試驗(yàn)

為了進(jìn)行計(jì)算效率比較,本節(jié)在正常量測條件下分別對5種SE方法WLS,WLAV,QC,MNMR及MNLD進(jìn)行了測試。在試驗(yàn)中,WLS采用牛頓法求解,其他3種SE采用內(nèi)點(diǎn)法求解。SE收斂時(shí)的迭代次數(shù)及平均計(jì)算耗時(shí)如表5所示。

表5 迭代次數(shù)與計(jì)算耗時(shí)的對比Table 5 Comparison of iteration times and calculation time

由表5可見,在這5種狀態(tài)估計(jì)器中,WLS的計(jì)算效率最高;而在后4種抗差狀態(tài)估計(jì)器中,MNLD,MNMR和WLAV方法的計(jì)算效率較高;而且隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大,MNLD方法的迭代次數(shù)及計(jì)算耗時(shí)增長緩慢,因而MNLD方法適用于實(shí)際的大規(guī)模系統(tǒng)的估計(jì)。

4 實(shí)際運(yùn)行情況

利用東北某實(shí)際電網(wǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù)斷面,應(yīng)用WLS,WLAV,QC,MNMR及MNLD方法進(jìn)行SE的計(jì)算結(jié)果如表6所示?？梢钥闯?MNLD在測點(diǎn)正常率和量測量偏離估計(jì)值的程度上都有很大的提高,其合理性優(yōu)于其他算法。

表6 實(shí)際電網(wǎng)數(shù)據(jù)估計(jì)結(jié)果Table 6 Estimation results of practical data in power grid

5 結(jié)語

本文對基于不確定測度提出的MNLD估計(jì)方法與已有的估計(jì)方法WLS,WLAV,QC和MNMR進(jìn)行了抗差性、計(jì)算效率的對比研究分析。測試結(jié)果表明如下。

1)在抗差性能上,MNLD方法對強(qiáng)相關(guān)的多不良數(shù)據(jù)和杠桿點(diǎn)不良數(shù)據(jù)均具有較強(qiáng)的抑制能力,其抗差性能優(yōu)于基于殘差的傳統(tǒng)SE方法和基于測量不確定度的MNMR方法。

2)在計(jì)算效率上,MNLD方法計(jì)算效率較高,而且隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大,MNLD方法的迭代次數(shù)及計(jì)算耗時(shí)增長緩慢,因而對實(shí)際的大規(guī)模電力系統(tǒng)的SE,MNLD方法有其應(yīng)用價(jià)值。

值得指出的是,本系列文章所提出的基于不確定測度的MNLD估計(jì)方法具有非線性特性,因此對于高阻抗比的電力系統(tǒng),其收斂性不如WLS方法,如何提高M(jìn)NLD方法對于高阻抗比電力系統(tǒng)的適應(yīng)性是下一步的研究方向。同時(shí),僅當(dāng)不良數(shù)據(jù)、拓?fù)溴e(cuò)誤和參數(shù)錯(cuò)誤被同時(shí)辨識出時(shí),SE才能得到可信的估計(jì)結(jié)果,如何基于MNLD方法進(jìn)行狀態(tài)、拓?fù)浜蛥?shù)的綜合估計(jì)也是下一步的研究方向。

本文得到國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51407069)資助,謹(jǐn)此致謝!

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

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[10] 陳艷波,馬進(jìn),文一宇.一種電力系統(tǒng)量測噪聲自適應(yīng)抗差狀態(tài)估計(jì)方法[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化,2015,39(8):66-73.DOI:10.7500/AEPS20140402006.

CHEN Yanbo, MA Jin, WEN Yiyu. An adaptive robust state estimation approach for measurement noise[J]. Automation of Electric Power Systems, 2015, 39(8): 66-73. DOI: 10.7500/AEPS20140402006.

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陳艷波(1982—),男,通信作者,博士,副教授,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向:電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)、信息安全、綜合能源系統(tǒng)。E-mail： yanbochen2008@sina.com

謝瀚陽(1992—),男,碩士研究生,主要研究方向:電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)。

王 鵬(1982—),男,碩士,主要研究方向:配電網(wǎng)調(diào)度自動(dòng)化系統(tǒng)。

(編輯章黎)

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