改進(jìn)枝切法在PMP相位展開中的應(yīng)用

郭戈

摘要

相位展開是相位輪廓測量術(shù)（PMP）中的關(guān)鍵步驟，關(guān)系到測量的精度。本文針對枝切法在殘差點(diǎn)密集的地方會形成“孤島”，導(dǎo)致部分相位無法展開的問題，提出了利用質(zhì)量圖將包裹相位圖分為高質(zhì)量區(qū)域和低質(zhì)量區(qū)域，在高質(zhì)量區(qū)域采用枝切法展開相位，低質(zhì)量區(qū)域采用最小二乘法展開相位。仿真模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在殘差點(diǎn)密集的地方，有效的解決了“孤島”現(xiàn)象。

【關(guān)鍵詞】相位展開 枝切法質(zhì)量圖 最小二乘法

相位輪廓測量術(shù)（Phase MeasuringProfilometry，PMP）是一種面結(jié)構(gòu)光測量技術(shù)，具有非接觸式、精度高和速度快等優(yōu)勢，在三維視覺測量中有著廣泛的應(yīng)用。在計(jì)算包裹相位時(shí)用到了反正切函數(shù)，得到的包裹相位的值被限制在（-π，π]之間，所以如何從間斷的包裹相位值中恢復(fù)出真實(shí)的相位值，即相位展開是相位輪廓測量術(shù)的關(guān)鍵技術(shù)之一，相位展開的精度關(guān)系到三維重建的精度。

如果包裹相位圖中沒有噪聲，滿足Itoh條件（展開相位圖中相鄰相位點(diǎn)的差分小于π）的條件時(shí)，采用相鄰相位加減2兀先展開行再展開列（或先展開列再展開行）的基本原理相位展開法，包裹相位圖的每個(gè)點(diǎn)的相位都得到展開，就可以得到展開的二維相位圖。但在真實(shí)的測量環(huán)境中，被測物體表面存在反光、陰影、孔洞、斷裂等噪聲區(qū)域，有效像素被斷開不再連續(xù)，噪聲區(qū)域得不到正確的展開相位值，并且任意一點(diǎn)的相位展開錯(cuò)誤都會沿著展開路徑傳播，造成“拉線”現(xiàn)象，相位展開的難度就體現(xiàn)在這些方面。

為了增加相位展開算法的抗干擾性，國內(nèi)外不同領(lǐng)域的學(xué)者研究了很多算法，這些算法大致可以分為依賴于積分路徑的局部算法和基于最小二乘法的全局算法。Goldstein枝切法是局部算法中比較經(jīng)典的，通過識別包裹相位圖中的正負(fù)殘差點(diǎn)并在之間形成枝切線，相位展開的路徑需要避開枝切線，這樣就不會造成由于積分路徑不同而相位展開結(jié)果不一樣的情況，避開殘差點(diǎn)，誤差沒有累加，限制了誤差的傳播。Goldstein連接相鄰最近殘差點(diǎn)設(shè)置枝切線，該算法執(zhí)行很快，但是在殘差點(diǎn)密集的區(qū)域，枝切線容易自我封閉，在包裹相位圖中形成“孤島”，導(dǎo)致這部分區(qū)域無法解纏。最小二乘相位展開算法是一種全局最優(yōu)化算法，該算法的主要思路是使展開相位的局域微分和包裹相位的局域微分之差在最小二乘意義下最小，求得最接近真實(shí)值的展開相位，每個(gè)像素點(diǎn)的展開相位都是近似值，影響相位展開的精度。

本文針對Goldstein算法容易出現(xiàn)“孤島”現(xiàn)象的缺點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的枝切法算法。采用質(zhì)量圖的方式將包裹相位圖分為高質(zhì)量區(qū)域和低質(zhì)量區(qū)域。質(zhì)量圖的作用是定義包裹相位圖中每個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的好壞的二維數(shù)據(jù)陣列。在高質(zhì)量區(qū)域采用Goldstein枝切法，保證了在高質(zhì)量區(qū)域的精度，在低質(zhì)量區(qū)域也就是殘差點(diǎn)密集的地方，采用最小二乘法展開相位，“孤島”區(qū)域包裹相位也能順利展開。仿真模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在殘差點(diǎn)密集的地方，有效的解決了“孤島”現(xiàn)象。

1 枝切法

枝切法是Goldstein等人1988年提出的一種路徑相關(guān)算法。首先要識別包裹相位圖中的殘差點(diǎn)，連接相鄰正負(fù)殘差點(diǎn)形成枝切線。由于殘差點(diǎn)的存在，在積分過程中為了將誤差限制在局部范圍內(nèi)阻止誤差的傳播，在展開相位過程中積分路徑需要繞開枝切線。殘差點(diǎn)，用2×2的單元閉環(huán)來識別包裹相位圖中的噪聲區(qū)域。在包裹相位圖中取出如圖1所示的2X2閉環(huán)，并沿著圖中箭頭所指的方向進(jìn)行積分。

在包裹相位圖中，累加2X2閉環(huán)的差分的再包裹值，求得：

若滿足Itoh條件，包裹相位差分的再包裹值W{△Ψ（n）}就等于真實(shí)相位的差分值△Φ（n），則q=0。如果不滿足Itoh條件，q值就有可能為+2π或者-2π，如果q=+2π，2×2閉環(huán)左上角的點(diǎn)標(biāo)記為正殘差點(diǎn)，q=-2π，閉環(huán)左上角的點(diǎn)標(biāo)記為負(fù)殘差點(diǎn)。

圖2為Goldstein的算法流程圖，該算法主要分為三個(gè)步驟：

第一步，識別殘差點(diǎn)。利用C2）式計(jì)算出包裹相位圖中的殘差點(diǎn)，并標(biāo)記出殘差點(diǎn)的正負(fù)極性。

第二步，連接枝切線。從識別的殘差點(diǎn)中選取一個(gè)未平衡殘差點(diǎn)，在該殘差點(diǎn)的3×3鄰域或5×5鄰域內(nèi)搜索其他殘差點(diǎn)，根據(jù)圖2中的規(guī)則，形成枝切線。

第三步，相位展開。選取一個(gè)非枝切線上的點(diǎn)，利用洪水填充法（Flood Fill）展開相位。直到所有的非枝切相位都已經(jīng)展開了，再展開與已展開相位相鄰近的枝切點(diǎn)相位。

枝切線將局部噪聲區(qū)域隔開，避免了誤差的傳播。枝切法運(yùn)行速度快，在非枝切線區(qū)域相位展開精度高，但如果殘差點(diǎn)密集，枝切線連接會形成自我包圍的“孤島”區(qū)域，枝切法相位展開過程中，積分路徑不能穿過枝切線，導(dǎo)致“孤島”區(qū)域的相位展開失敗。

2 最小二乘法

基于最小二乘法的相位展開就是求泊松方程的解，泊松方程如式（3）所示：

對離散泊松方程（3）進(jìn)行離散余弦正變換（DTC）：

二維離散余弦反變換（IDCT）

基于離散余弦變換求解泊松方程的相位展開方法步驟如下：

第一步：由包裹相位求出ρ_ij;

第二步：對ρ_ij進(jìn)行DCT變換得到ρ_ij，即ρ_ij=DCT（ρ_ij）;

第三步：計(jì)算

第四步：作Φ_ij的二維離散余弦反變換，即Φ_ij=IDCT（Φ_ij），得到最小二乘意義下的展開相位Φ_ij。

3 改進(jìn)枝切法

結(jié)合Goldstein枝切法和最小二乘法的合成算法具體步驟如下：

第一步，根據(jù)質(zhì)量圖將包裹相位圖分為高質(zhì)量區(qū)域和低質(zhì)量區(qū)域，即產(chǎn)生出0/1二值掩模圖，其中0表示包裹相位圖中的低質(zhì)量區(qū)域，1表示包裹相位圖中的高質(zhì)量區(qū)域。

第二步，采用Goldstein枝切法對高質(zhì)量區(qū)域進(jìn)行相位展開。

第三步，剩下的低質(zhì)量區(qū)域采用最小二乘法展開相位。

4 仿真結(jié)果及分析

采用Matlab中的peaks函數(shù)生成包裹相位圖，在圖中位置加上50×50的噪聲區(qū)域。

如圖3（b）中，在噪聲區(qū)域殘差點(diǎn)密集，枝切線自我包圍形成“孤島”，導(dǎo)致在這個(gè)區(qū)域相位展開失敗。改進(jìn)枝切法在低質(zhì)量區(qū)域（殘差點(diǎn)密集），采用最小二乘法相位展開，如圖3（c）中，殘差點(diǎn)密集的地方也能有效的展開。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

如圖4（c）中，少量黑點(diǎn)分布在相位展開圖中，這就是“孤島區(qū)域”相位展開失敗造成的，如圖4（c）中，改進(jìn)枝切法有效的解決了這個(gè)問題。

6 結(jié)束語

本文提出的改進(jìn)枝切法，既利用了Goldstein枝切法速度快，一致性好的優(yōu)點(diǎn)，又發(fā)揮了最小二乘法穩(wěn)健性好的優(yōu)點(diǎn)。通過質(zhì)量圖將包裹相位圖劃分為高質(zhì)量區(qū)域和低質(zhì)量區(qū)域，不同區(qū)域采取不同的相位展開算法，解決了Goldstein枝切法“孤島”區(qū)域相位無法展開的問題。

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