『數(shù)列五類熱點(diǎn)問題』突破

■江蘇省南京市第十三中學(xué) 陸逸凡

高考對(duì)數(shù)列的考查主要是圍繞“等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、一般數(shù)列的切入點(diǎn)的應(yīng)用、公式法求和、裂項(xiàng)相消法求和、錯(cuò)位相減法求和、數(shù)列新定義問題的探究”等展開的,凸顯數(shù)列的工具性、應(yīng)用性及創(chuàng)新性。

熱點(diǎn)1：等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)

例1 (1)(河北省衡水中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)于任意的自然數(shù)n,都有

(2)在等比數(shù)列{an}中,a1=4,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列,則q等于( )。

A.2 B.-2 C.3 D.-3

熱點(diǎn)2：等差、等比數(shù)列中的最值問題

例2 (1)(河北衡水中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)已知數(shù)列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7,若其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn的最大值為 。

(2)(2017年安徽阜陽二模)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為 。

解析：(1)構(gòu)建等差數(shù)列的通項(xiàng)求最值。由4an+1=4an-7,知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d=-,{a}為單調(diào)遞減數(shù)列,其通項(xiàng)

n,所以n=15,即數(shù)列{an}的前15項(xiàng)均為正值,第16項(xiàng)開始為負(fù)值,故S15最大,S15=

(2)由整體代換確定公比,進(jìn)而求通項(xiàng)公式,a2+a4=qa1+qa3=q(a1+a3)=10q=5,得

突破：求解數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng),先研究數(shù)列的單調(diào)性,可以用也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或利用數(shù)形結(jié)合求解。對(duì)于公差d<0的等差數(shù)列,當(dāng)a1<0時(shí),存在最大值,且(Sn)max=S1=a1,但無最小值;當(dāng)a1＞0時(shí),存在最大值Sm,正整數(shù)m由不等式組當(dāng)am=0時(shí),最大值Sm-1=Sm,但無最小值。類比可探究d＞0時(shí)的最值,或利用二次函數(shù)求解;等比數(shù)列中的最值可以構(gòu)造二次函數(shù)求解或構(gòu)建不等式組求解或借助公比溝通降元用均值不等式求解。

熱點(diǎn)3：Sn與d=0之間的關(guān)系及裂項(xiàng)法求特殊數(shù)列的和

例3 (河南八市重點(diǎn)高中2017屆高三第一次測評(píng))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2an+n(n ∈N*)。

(1)求證數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

解析：(1)由一般數(shù)列的切入點(diǎn)化輔助數(shù)列為等比數(shù)列。當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1+n-1,Sn=2an+n(n∈N*),an=Sn-Sn-1,則an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1)。因?yàn)閍1-1=-2≠0,故an-1≠0,所以{an-1}是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,所以an-1=-2n,an=-2n+1。

突破：數(shù)列前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)滿足關(guān)系式an+1=kSn+b,n∈N*或an+1=kSn+bn+m,m,n∈N*,總可以利用一般數(shù)列的切恒等變形構(gòu)造輔助的等比數(shù)列,通過解方程求通項(xiàng)。裂項(xiàng)方

解析：(1)由S2=2a2-2,S3=a4-2,作差可得a3=a4-2a2,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得q2-q-2=0。因?yàn)閝＞0,所以q=2,代入S2=2a2-2,可得a1=2,所以an=2n。

(2)由于{bn}為等差乘等比型,所以利用錯(cuò)位相減法求和。相消法求和后再求范圍。

熱點(diǎn)4：錯(cuò)位相減法求特殊數(shù)列的和

例4 (2017年甘肅省第二次高考診斷)已知等比數(shù)列an{}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q＞0,S2=2a2-2,S3=a4-2。

(1)求數(shù)列an{}的通項(xiàng)公式;

突破：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：一是判斷模型,對(duì)于數(shù)列{anbn},數(shù)列{an},{bn}中一個(gè)為等差數(shù)列,一個(gè)為等比數(shù)列;二是錯(cuò)開位置,一般是先給前n項(xiàng)和逐項(xiàng)乘以公比,再把前n項(xiàng)和退后一個(gè)位置來書寫,這樣避免兩式相減時(shí)看錯(cuò)列;三是相減,相減時(shí)一定要注意式中最后一項(xiàng)的符號(hào);四是中間兩兩結(jié)合提公差構(gòu)成等比數(shù)列前n-1項(xiàng)和用公式求和,為保證結(jié)果正確,可對(duì)得到的和取n=1,2進(jìn)行驗(yàn)證。

熱點(diǎn)5：數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的交匯

例5 (湖北省優(yōu)質(zhì)高中2017屆高三下學(xué)期聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和Sn滿足S1＞1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N)*。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2bn-1)=1,并記Tn為bn{}的前n項(xiàng)和,求證：3Tn+1＞log2(an+3),n∈N*。

11112),解得a1=1或a1=2,因?yàn)閍1=S1＞1,所以a=2。又由a=S-S=(a+

1n+1n+1nn+11)(a+2)-(a+1)(a+2),得(a+

n+1nnn+1an)(an+1-an-3)=0,即an+1-an-3=0或an+1=-an。因an＞0,故an+1=-an不成立,舍去。故{an}的通項(xiàng)an=3n-1。

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：3Tn+1＞log2(an+3)。

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即3Tk+1＞log2(ak+3)。注意到an(2bn-1)=1、an=,則當(dāng)n=k+1時(shí),有：

3Tk+1+1-log2(ak+1+3)

=3(Tk+bk+1)+1-log2(ak+1+3)

=3Tk+1-log2(ak+1+3)+3bk+1

＞log2(ak+3)-log2(ak+1+3)+3bk+1

因k∈N*,則(3k+3)3-(3k+5)(3k+0。從而3Tk+1+1＞log2(ak+1+3)。這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

綜上可知,3Tn+1＞log2(an+3)對(duì)任何n∈N*成立。

突破：用數(shù)學(xué)歸納法證明遞推數(shù)列時(shí),作差使用歸納假設(shè),根據(jù)an(2bn-1)=1、an=的關(guān)系,簡化了不求出Tn的表達(dá)式,壓縮了思維長度,凸現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的“簡單且具有操作性和目標(biāo)性”的本質(zhì)屬性。