基于電化學(xué)機(jī)理模型的鋰離子電池參數(shù)辨識及SOC 估計(jì)

鄧 昊，楊 林，鄧忠偉，李冬冬，楊 洋，蔡亦山，羌嘉曦

（1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200240；2.上海凌翼動力科技有限公司，上海 200240）

電動汽車已成為國內(nèi)外汽車科技發(fā)展的重點(diǎn)。如何準(zhǔn)確估計(jì)SOC（電池電量），是電動汽車發(fā)展中亟待解決的關(guān)鍵問題?，F(xiàn)有的SOC 估計(jì)方法，除基于完全依賴實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)模型外，主要基于等效電路模型（ECM），其具有模型簡單、計(jì)算方便的優(yōu)點(diǎn)[1-2]。但數(shù)據(jù)模型的實(shí)驗(yàn)工作量大、難于全覆蓋電池在電動汽車等應(yīng)用的全部工況，等效電路模型亦屬于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，不能體現(xiàn)電池實(shí)際的物理參數(shù)，因而無法描述電池內(nèi)部的電化學(xué)行為與物理特性。相比而言，電化學(xué)機(jī)理模型（如P2D，pseudo-two-dimensional）[3]是根據(jù)電池內(nèi)部機(jī)理建立電化學(xué)動力和傳輸方程組，因此，可以更準(zhǔn)確地描述電池的運(yùn)行狀態(tài)、健康狀態(tài)，提高了電池SOC 估計(jì)的準(zhǔn)確性。但P2D 模型的控制方程[4]之間的耦合程度高、計(jì)算量大。需要對P2D 模型進(jìn)行合理簡化，才能用于電池管理系統(tǒng)（BMS）等實(shí)時(shí)應(yīng)用中。而簡化后的SP2D（simple pseudo-twodimensional）模型仍然參數(shù)過多[5-6]，且各參數(shù)對電池輸出電壓的敏感度不同，難以準(zhǔn)確辨識全部參數(shù)，因而依然難以解決SOC 在線估計(jì)的問題。

本文將在簡化P2D 模型（SP2D）的基礎(chǔ)上，提出基于模型參數(shù)可辨識性分析的最優(yōu)辨識參數(shù)組及參數(shù)辨識方法，解決參數(shù)辨識問題；進(jìn)而研究基于SP2D 的SOC 自適應(yīng)卡爾曼濾波（adaptive extended Kalman filter，AEKF）估計(jì)算法，實(shí)現(xiàn)對SOC 的準(zhǔn)確在線估計(jì)；并通過對某款車用磷酸鐵鋰電池（容量為94 AH，具體參數(shù)由電池生產(chǎn)企業(yè)提供，如表1 所示）的實(shí)驗(yàn)，對比基于ECM 和SP2D 兩種模型的SOC 估計(jì)方法，驗(yàn)證本文方法的有效性。θ 為電荷比。

表1 實(shí)驗(yàn)電池參數(shù)Tab.1 Parameters of the experimental battery

1 鋰離子電池電化學(xué)機(jī)理模型SP2D

電池P2D 模型由4 個(gè)偏微分方程和1 個(gè)代數(shù)方程組成[7]。分析表明，簡化P2D 模型中液相濃度、固相表面濃度和反應(yīng)電流的計(jì)算，是簡化P2D 模型的關(guān)鍵。為此，在SP2D 模型中分別利用了多項(xiàng)式近似的方法來計(jì)算這3 項(xiàng)的分布（表2）。圖1 是模型的坐標(biāo)基準(zhǔn)。Lp為電池正極部分的長度；Ls為隔膜部分的長度。在表2 中，液相濃度ce由式（1）表示，通過對式（2）進(jìn)行離散化，迭代求解液相濃度積分Qe,n[6]，得到每一個(gè)時(shí)刻液相濃度 ce的 分布。反應(yīng)電流 jf用三階多項(xiàng)式（式（3））近似求得，通過取式（4）在y=0，， Ln時(shí)[5]建立的3 個(gè)方程迭代求解。其中，y 為電池各部分相應(yīng)的位置坐標(biāo)，Ln為電池負(fù)極部分的長度， κeff為有效液相電導(dǎo)率，σeff為有效固相電導(dǎo)率?？紤]到電極的多孔性，取Bruggeman 系數(shù)得 κeff=κε1e.5，σeff=σε1s.5。固相表面濃度采用PP 方法（曲線近似方法）[7]，將粒子固相濃度 cs以多項(xiàng)式（6）近似求得，通過表面濃度 cs,sur，平均濃度 cs以 及體積平均濃度流 q 建立式（7）來求解得到。由于這3 個(gè)參數(shù)只和反應(yīng)電流 jf有關(guān)，因此，代入 jf即可以得到固相表面濃度cs,sur的分布。表2 中的公式只給出了負(fù)極部分這3 個(gè)分布的求解方法，正極與隔膜部分的求解方法與此類似。 ?s(y),?e(y),U(y)分別為固相電勢、液相電勢、平衡電勢，T 為絕對溫度，F(xiàn) 為法拉第常數(shù)，De,n,eff為有效液相擴(kuò)散系數(shù)，R 為粒子半徑，I 為電流，I0為反應(yīng)電流密度。

圖1 模型坐標(biāo)基準(zhǔn)Fig.1 Model coordinate baseline

表2 電化學(xué)機(jī)理SP2D 模型方程Tab.2 Equations of the electrochemical SP2D model

電池SP2D 模型的電壓輸出由式（8）表示[6]，式中，第1 部分為平衡電勢引起的壓降，第2 部分為過電勢引起的壓降，第3 部分為電解液電勢引起的壓降，第4 部分為SEI 膜的反應(yīng)電流（固體電解質(zhì)界面膜）引起的壓降。其中：由 jf分布可以得到式（8）的第2，4 部分；由固相表面濃度 cs,sur代入式（5），可以得到方程的第1 部分；利用 jf和ce可求得方程的第3 部分。

基于該簡化模型，可以解除P2D 控制方程間的高度耦合，減少模型計(jì)算量。在仿真步長為1 s，工況采用美國聯(lián)邦城市標(biāo)準(zhǔn)（Federal Urban Driving Schedule，F(xiàn)UDS），循環(huán)時(shí)間7 500 s 下，P2D 模 型 計(jì) 算 時(shí) 間 為357 s，而SP2D 只 需 要4.7 s，計(jì)算時(shí)間大大縮短，僅為P2D 模型的1.3%。如按單步計(jì)算，則SP2D 每步計(jì)算僅需0.63 ms，模型本身可以滿足BMS（電池管理系統(tǒng)）實(shí)時(shí)應(yīng)用的要求。

2 模型參數(shù)敏感度分析及辨識

2.1 Fisher 信息矩陣和準(zhǔn)則數(shù)RDE

參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性直接影響模型的精度。由于SP2D 模型中的參數(shù)有30 多個(gè)（表1），除去容易辨識的參數(shù)后也多達(dá)17 個(gè)（表3 中參數(shù)組A-A，記為Par17）。Rint為電池的內(nèi)阻。研究表明，這些參數(shù)對電池電壓的敏感度差異較大，難以同時(shí)辨識所有參數(shù)。因此，本文使用Fisher 信息矩陣進(jìn)行參數(shù)可辨識性分析，并對分析出的最優(yōu)辨識參數(shù)組進(jìn)行辨識，解決模型參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性問題。

假定電池模型輸出電壓 V 和模型參數(shù)的關(guān)系符合正態(tài)分布，可得式（9）。其中，Ψ ，Z 為正態(tài)分布的期望值和方差， Par為模型參數(shù)組向量，t 為時(shí)間，概率密度

進(jìn)一步得參數(shù)組向量 Par下 輸出 V的概率，即聯(lián)合概率密度P（式（10））。為求解方便，將P 寫成對數(shù)形式，從而將連乘和指數(shù)消除。

表3 參數(shù)敏感度排序表Tab.3 Parameters sensitivity list

Fisher 信息矩陣是有關(guān)P 的期望，可由式（11）表示。根據(jù)文獻(xiàn)[8]可進(jìn)一步得到式（12）?？梢姡現(xiàn)isher 信息矩陣的值 FIM越大，說明P 越大，輸出V的概率越大，表明對該參數(shù)組的辨識結(jié)果越可靠。

文獻(xiàn)[8?9]給出了判斷可辨識性的RDE 準(zhǔn)則（使得參數(shù)組出現(xiàn)概率最大化的計(jì)算準(zhǔn)則）。

式中：Si為相對敏感度； ∥Par∥2為歐式2 范數(shù)，用于將參數(shù)向量 X歸一化，消除不同參數(shù)的不同數(shù)量級對RDE 的影響；分子為FIM 矩陣的行列式值D 和 ∥Par∥2的 乘 積；分 母 為FIM 矩 陣 的 條 件 數(shù)mod E，由矩陣的最大特征值與最小特征值的比值得出，用于判斷參數(shù)之間的相關(guān)性。

當(dāng)D 越大，mod E越小，即RDE 越大時(shí)，獲得的辨識參數(shù)組越優(yōu)。

參數(shù)敏感性分析步驟如圖2 所示，首先排除表1 中的電池尺寸參數(shù) L ， A，以及其他容易獲得的 參 數(shù) θ0，θ100，σ，k 和 α。將SP2D 模 型 中 剩 余的17 個(gè)參數(shù)（對應(yīng)A-A 中的參數(shù)）隨機(jī)組合進(jìn)行計(jì)算。K 為卡爾曼增益系數(shù)，S 為電池電量。圖3 是以不同參數(shù)為基參數(shù)的參數(shù)組的RDE。可見，不論以哪個(gè)參數(shù)為基參數(shù)，隨著參數(shù)數(shù)量的增加，RDE 均呈先增大再減小，且在10 個(gè)參數(shù)數(shù)量時(shí)達(dá)到最大。以RDE 最大的參數(shù)組為最優(yōu)參數(shù)組，即表3 中的參數(shù)組B-B。在表3 中，參數(shù)組C-C 為辨識性差的參數(shù)組。

2.2 參數(shù)辨識

根據(jù)參數(shù)可辨識性分析結(jié)果，對最優(yōu)辨識參數(shù)組B-B 采用非線性最小二乘法進(jìn)行辨識，式（14）為目標(biāo)函數(shù)。其中， Vm為電池模型輸出的電壓，Vref為參考電壓， J為雅可比矩陣。利用預(yù)測電壓和參考電壓的誤差修正參數(shù)，式（15）為誤差修正的迭代公式。

圖2 基于SP2D 模型的SOC 估計(jì)策略Fig.2 SOC estimation strategy based on the SP2D model

圖3 參數(shù)組敏感度分析Fig.3 Parameters sensitivity analysis

式中： ?θ為 誤差修正量； λ為時(shí)間步長。

假定表1 中的參數(shù)值為真值，可將SP2D 模型在真值參數(shù)下的輸出電壓作為參考電壓。這里為了單純驗(yàn)證本文的參數(shù)辨識方法，人為使參數(shù)組B-B 中待辨識參數(shù)存在明顯誤差，將其初值設(shè)為真值的5 倍（記為 Pare）。選擇FUDS 工況下，對2 個(gè)相同的SP2D 模型進(jìn)行比較?？紤]到本文中的電池為鋰離子電池，在放電中期存在電壓平臺，可辨識性較差，因此，宜選取放電初期或充電初期（本文選擇測試工況的前1 200 s，初始S=1）進(jìn)行參數(shù)辨識。

為了闡述方便，將最優(yōu)參數(shù)組B-B 表示為向量 Par10=[ εe,p, εe,s, kp, Ds,n, kn, ce,0, cs,max,n, Ds,p, Rint,De]。辨識策略，如圖2 所示，辨識結(jié)果如圖4 所示。圖4（a），4（b），4（c），4（d）分別對應(yīng)向量Par10 ，Par9（去 掉 Par10中 的 ce,0），Par8（ 去 掉 Par10中的 Ds,p）和 Par7（ 去掉 Par10中 的 cs,max,n）的辨識結(jié)果，橫坐標(biāo)為參數(shù)組數(shù)（按照向量中參數(shù)的順序），縱坐標(biāo)為參數(shù)誤差，用差值的絕對值與真值的比值來表示。隨著參數(shù)減少，辨識誤差減小。當(dāng)參數(shù)組減為 Par7時(shí)，平均誤差和最大誤差分別小于3%和15%（圖4（d）），說明這組參數(shù)組通過辨識，可以獲得和真值很接近的辨識結(jié)果。

圖4 辨識結(jié)果誤差分析Fig.4 Error analysis of the identification results

圖5 SP2D 模型在辨識參數(shù)與真值參數(shù)下的輸出電壓對比Fig.5 Comparison between the output voltages of the SP2D model with identified parameters and original parameters

圖5 為不同辨識參數(shù)組下SP2D 模型的輸出電壓和參考電壓的對比分析。圖5（b）是圖5（a）的局部放大。其中，V-Correct 為參考電壓Vref，V-17，V-10，V-8，V-7 和V-0 分別是辨識參數(shù)組 Par17，Par10，Par8，Par7，Pare后 的電壓 Vm曲線，Verr 為電壓誤差。可見，在17 個(gè)參數(shù)同時(shí)辨識下（圖5（d）），模型輸出電壓與參考電壓的誤差雖比使用錯(cuò)誤參數(shù)Pare時(shí)達(dá)到300 mV 的誤差有所改善，但仍達(dá)100 mV，這是由于有些參數(shù)可辨識性差，難以準(zhǔn)確辨識，同時(shí)也會影響其他可辨識性好的參數(shù)的辨識，使得模型估計(jì)不準(zhǔn)。而采用可辨識性分析后的參數(shù)組 Par10和 Par8進(jìn)行辨識時(shí)，誤差明顯減少（圖5（b）和5（c）），最大誤差只有0.3 mV。當(dāng)只辨識 Par7時(shí)，模型輸出電壓與真值參數(shù)下的模型輸出電壓基本一致，可將誤差進(jìn)一步顯著減小至0.05 mV 以內(nèi)。

3 基于SP2D 模型的電池SOC 估計(jì)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 SOC 在線估計(jì)

基于SP2D 模型與參數(shù)辨識，采用自適應(yīng)卡爾曼濾波進(jìn)行SOC 估計(jì)。

式中： θave為粒子平均濃度與最大濃度的比值；qn, qp為負(fù)極和正極的固相體積平均濃度流。

取 狀態(tài) 參 數(shù) x=[S,qn,qp]。一般 情況 下，卡 爾曼濾波可表達(dá)為[8]

式中：A 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B 為輸入矩陣；C，D 為 預(yù) 測 矩 陣； wk?1為 過 程 噪 聲； vk?1為 觀 測 噪聲； N(0,Q)表 示正態(tài)分布； Kk為卡爾曼濾波系數(shù)； P?k為 協(xié)方差；u 為輸入(取電流值)； V為輸出值；k 為迭代次數(shù)； ∧符號表示預(yù)測值。

由 于 在 實(shí) 際 應(yīng) 用 中，wk?1，vk?1不 能 準(zhǔn) 確 知道，其偏差隨著數(shù)據(jù)量的增加會累積，影響估計(jì)精度。因此，本文采用自適應(yīng)卡爾曼濾波的方法[10]，根據(jù)預(yù)測與實(shí)測數(shù)據(jù)的誤差 ε修 正 wk?1，vk?1的值，來降低噪聲對預(yù)測的影響，遞推公式為

式中： ε為誤差向量； Q,R為噪聲的方差。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用Digatron Firing Circuit（德國）公司生產(chǎn)的Digatron 多功能電池測試儀UBT300-060，將電池放置在25 ℃恒溫箱內(nèi)，選擇FUDS 循環(huán)工況，先將電池充滿（S=1）后測試直到截至電壓（S=0），將采集得到的電壓及電流作為模型參考電壓及輸入電流。

圖6 為模型輸出與實(shí)驗(yàn)值的對比。其中，Real-U 和SOCr 分別表示為電池輸出電壓和SOC實(shí)測的實(shí)驗(yàn)值；U 和SOC 分別表示為基于表1 中參數(shù)的SP2D 模型的輸出電壓和SOC 估計(jì)值；UIden 和SOC-Iden 分別表示采用本文參數(shù)辨識策略，以Real-U 為參考電壓，對參數(shù)向量 Par7進(jìn)行辨識后的模型（SP2D-Iden）輸出電壓和SOC 估計(jì)值。Ue為電壓誤差，Ue-Iden 為參數(shù)辨識后的電壓誤差。由圖6 可見，辨識參數(shù)后，SP2D 模型提高了精度，電壓曲線更加接近實(shí)際曲線，平均誤差由50 mV 降到了18 mV，而SOC 也與實(shí)際值基本一致，平均誤差小于0.1%。上述結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的參數(shù)辨識策略應(yīng)用在實(shí)際電池上的有效性。

為了考察對初始SOC 誤差的校正能力，設(shè)定初始誤差為0.2，再基于SP2D-Iden 模型進(jìn)行SOC在線估計(jì)，并對比基于等效電路模型（一階ECM）下的SOC 估計(jì)方法，如圖7 所示。SP2D-Iden比ECM 的電壓預(yù)測精度更高，2 個(gè)模型的電壓平均誤差分別為19 mV 和37 mV。且基于SP2DIden 的SOC 平 均 誤 差 為1.2%， 基 于ECM 的SOC 平均誤差為1.7%。即基于SP2D-Iden 可將電壓平均誤差減小48.6%，SOC 平均誤差減小29.4%。這里等效電路模型采用的是常用的一階RC 模型（電阻電容回路模型），其電壓預(yù)測的誤差較大。使用二階或者更復(fù)雜的等效電路模型，電壓精度可以接近SP2D 模型的精度。

進(jìn)一步分析可知，2 種方法下SOC 都能快速修正到正確值附近，但對影響電池容量利用率的關(guān)鍵階段——電池放電的中后期（S<0.4）：基于ECM的SOC 估計(jì)誤差較大，SOC 平均誤差為2%，最大誤差達(dá)4.4%；而SP2D-Iden 模型在此較低的SOC 區(qū)間也能夠保持很好的估計(jì)精度，SOC 平均誤差僅0.7%，最大誤差1.8%。即在電池放電的中后期，基于SP2D-Iden 模型可將電池SOC 估計(jì)的平均誤差、最大誤差分別減小65%和59.1%。這說明本文方法可明顯減小電池在整個(gè)工作范圍內(nèi)的SOC 估計(jì)誤差。

圖6 SP2D-iden 模型與電池實(shí)驗(yàn)對比Fig.6 Comparative analysis between the results of the SP2D-Iden model and battery experiments

圖7 SP2D-iden 模型與等效電路模型對比Fig.7 Comparative analysis between the results of the SP2D-Iden model and equivalent circuit model

4 結(jié) 論

在電池SP2D 模型的基礎(chǔ)上，對模型參數(shù)進(jìn)行可辨識性分析，提出了利用非線性最小二乘法結(jié)合Fisher 信息矩陣的參數(shù)辨識方法。仿真結(jié)果表明，該辨識方法可以減小參數(shù)辨識的誤差，使平均誤差減小至3%以內(nèi)，進(jìn)而提出了基于電化學(xué)SP2D-Iden 模型的SOC 在線估計(jì)方法。實(shí)驗(yàn)表明，相比目前常用的基于ECM（一階RC）的SOC估計(jì)方法，本文SP2D-Iden 模型可將電池電壓平均誤差減小近50%，同時(shí)提高SOC 估計(jì)精度近30%。而在電池放電中后期（S<0.4）SP2D-Iden 模型仍能保持較高精度，相比ECM 模型，SOC 估計(jì)精度提高了60%以上，這證明了本文SOC 估計(jì)方法對整個(gè)SOC 范圍內(nèi)的高精度估計(jì)特點(diǎn)。