題析分類討論在初中不等式中的應(yīng)用

盧慧娟

（廣西壯族自治區(qū)柳州市第十一中學(xué)，廣西 柳州）

樹立分類討論思想的意識，就是要使學(xué)生把一個不明確的數(shù)學(xué)問題分解成幾個可以確定的小問題，然后逐一進(jìn)行研究和解決，綜合這幾個小問題的結(jié)論，再次研究分析，最終得出原題的答案。在人教版七年級數(shù)學(xué)下冊關(guān)于不等式的教學(xué)中，分類討論思想在概念的理解、方案設(shè)計等問題中均有所滲透，下面對分類討論思想在不等式中的應(yīng)用的題目進(jìn)行如下分析。

一、概念的理解在不等式中的應(yīng)用

在人教版七年級數(shù)學(xué)上、下冊的教材中，涉及數(shù)學(xué)概念的問題，如下一例：

例1：求關(guān)于x的不等式xm2-3-2≥m的解集。

這道題跟指數(shù)有關(guān)，x的指數(shù)只能取值1，所以得到m2-3=1，解得 m=±2

由此，原不等式的解集可分兩種情況：

m=2時，x-2≥2，不等式的解集為x≥4

m=-2時，x-2≥-2，不等式的解集為x≥0

上例屬于數(shù)學(xué)概念在不等式中的應(yīng)用研究。解題關(guān)鍵在于，對系數(shù)和指數(shù)的理解要達(dá)到熟悉掌握的要求，這類題型對訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維也有一定的作用。例1還可變式為絕對值的應(yīng)用，如：把m2更換為，同樣的可解出m有兩個值，然后再分兩種情況討論，最后得出結(jié)果。

二、方案設(shè)計在不等式中的應(yīng)用

第一類是通過兩種方案的比較，分類討論得出比較所得的三種情況（如：A與B一樣、A高于B、A低于B），分類比較三種情況得出的結(jié)論再分別進(jìn)行分析。

例2：某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只20元，茶杯每只5元，商店有兩種優(yōu)惠辦法：一種是購買一只茶壺送一只茶杯；另一種是按總價的92%付款?，F(xiàn)有一顧客需購買4只茶壺，若干只（不少于4只）茶杯，選哪一種優(yōu)惠辦法購買最省錢？

設(shè)購買茶杯x只，依題意

方案一可列式為 4×20+5（x-4），整理得 5x+60

方案二可列式為 92%×（20×4+5x），整理得 4.6x+73.6

兩種方案進(jìn)行比較，分為以下三種情況：

第一種：方案一的花費(fèi)等于方案二的花費(fèi)，可得式子

5x+60=4.6x+73.6，解得 x=34

因此，購買的茶杯數(shù)為34只時，兩種方案的花費(fèi)一樣。

第二種：方案一的花費(fèi)高于方案二的花費(fèi)，可得式子

5x+60＞4.6x+73.6，解得 x＞34

因此，購買的茶杯數(shù)超過34只時，選擇方案二最省錢。

第三種：方案一的花費(fèi)低于方案二的花費(fèi)，可得式子

5x+60＜4.6x+73.6，解得 x＜34

因此，購買的茶杯數(shù)低于34只時，選擇方案一最省錢。

例2這類題型的方案通常由題目已給出，一般都是兩種方案。對于題目給出的兩種方案，解題方法是先根據(jù)方案列出式子，然后再分成“一樣、高于、低于”三種情況來討論，得到的結(jié)果是根據(jù)不同的情況，作出不同的選擇。

第二類是依據(jù)題目條件，求出相關(guān)的量的取值，通過這個取值來分類討論選擇最佳方案的問題。

例3：學(xué)校準(zhǔn)備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量為45人，乙種客車每輛載客量為30人。已知租用1輛甲種客車需租金400元，租用1輛乙種客車需租金280元。學(xué)?，F(xiàn)計劃租用甲、乙兩種客車共8輛，送330名師生集體外出活動，最節(jié)省的租車費(fèi)用是多少？

設(shè)租用甲種客車x輛，則租用乙種客車（8-x）輛，依題意可列不等式為 45x+30（8-x）≥330，解得 x≥6。

由于甲、乙兩種客車共8輛，即6≤x≤8，所以x的取值為6，7，8。

故有如下三種方案：

第一種：當(dāng) x=6 時，租車費(fèi)用為 400×6+280×2=2960（元）

第二種：當(dāng) x=7 時，租車費(fèi)用為 400×7+280×1=3080（元）

第三種：當(dāng) x=8 時，租車費(fèi)用為 400×8+280×0=3200（元）

所以，當(dāng)x=6時，租車費(fèi)用最少。

這類題型的方案通常根據(jù)題目條件，求得相關(guān)的量的值，再依據(jù)這個值來確定方案可行性的種類，最后根據(jù)種類的多少來選擇最優(yōu)方案。與例2的不同在于，它們的結(jié)果表現(xiàn)形式不同：例2是一種情況對應(yīng)一個結(jié)果，三種情況對應(yīng)三個結(jié)果，而且只有三種情況；例3則是由相關(guān)的量確定所有方案的可能性，并且最終的結(jié)果是在這所有的方案中只選擇一個最優(yōu)的。