初中數(shù)學(xué)中利用幾何知識求函數(shù)最值問題研究

倪鳳香

（浙江省杭州市蕭山區(qū)益農(nóng)鎮(zhèn)初級中學(xué)，浙江 杭州）

函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)中的一個重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與進(jìn)一步進(jìn)行學(xué)習(xí)的保障。在初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)學(xué)習(xí)中，求最值是一個重要的內(nèi)容，同時也是教師教學(xué)過程中的一個難點(diǎn)。求函數(shù)的最值的方法非常靈活，能對學(xué)生的綜合能力做出了重點(diǎn)考查，很多時候需要學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)各方面的分支內(nèi)容，因此，在解題過程中，學(xué)生能否找出最簡單、最正確的方法來進(jìn)行是一個重要的教學(xué)內(nèi)容。在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中，我逐漸發(fā)現(xiàn)幾何圖形可以作為研究函數(shù)性質(zhì)的一個重要輔助工具，可以將函數(shù)復(fù)雜的知識結(jié)構(gòu)變得簡單，使學(xué)生更快速、靈活地進(jìn)行解答。

下面，我將結(jié)合自身實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，研究利用函數(shù)的不同形式給出幾何知識的解決應(yīng)用有效的方法幫助學(xué)生分析幾何與函數(shù)的關(guān)系，從而幫助學(xué)生快速地掌握解答的關(guān)鍵，提升學(xué)生解決問題的能力，以供參考。

一、函數(shù)最值對教學(xué)的意義分析

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要組成部分，對于整個初中數(shù)學(xué)體系的學(xué)習(xí)都具有重要的意義和作用。在初中函數(shù)教學(xué)中，最值是一個尤為重要的內(nèi)容，是函數(shù)的一個重要的形態(tài)，并且，在實(shí)際生活中，最值也可以幫助我們解決很多問題，函數(shù)最值的求解也因此具有非常強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義。在過去的初中函數(shù)教學(xué)中，最值問題一直是一個教學(xué)的重難點(diǎn)，而且在求解時也會涉及整個函數(shù)體系的知識，因此，如何在教學(xué)中幫助學(xué)生順利理解最值的含義并且快速找出最有效的求解方案是歷來初中數(shù)學(xué)教師的一個教學(xué)難題。

二、用幾何知識解決函數(shù)最值問題的意義以及現(xiàn)狀

1.利用幾何知識求函數(shù)最值的意義

幾何是初中數(shù)學(xué)中的一個關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容，同時也可以作為研究函數(shù)性質(zhì)的一個重要的輔助工具。在實(shí)際的教學(xué)過程中，如果將函數(shù)的特性利用幾何知識呈現(xiàn)出來，則可以使函數(shù)本身的特性直觀地展現(xiàn)出來，通過這般形象化地展示在學(xué)生的眼前，可以使學(xué)生更輕易地理解。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)中很多的抽象知識都隱含著圖形的信息，因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果可以將一些原本看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識利用圖形表現(xiàn)出來，會更加容易進(jìn)行研究，則可以使其得到迅速的破解。

2.利用幾何知識求函數(shù)最值的教學(xué)現(xiàn)狀

最值問題是我們的日常生活與工作中都非常容易碰到的一類問題，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)意義。在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)函數(shù)最值教學(xué)中，大多數(shù)教師為了提升學(xué)生的考試成績，會對學(xué)生采用“背題”式的教學(xué)方法，讓學(xué)生生硬地記住一些常規(guī)的解題方法，在考試時進(jìn)行套用。目前，由于新課程改革的提出，作為初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵組成部分的函數(shù)教學(xué)也在不斷地進(jìn)行方法的創(chuàng)新，其中，運(yùn)用幾何知識求函數(shù)最值就是一個有效的新型手段。

經(jīng)過調(diào)查研究，目前在函數(shù)最值領(lǐng)域中運(yùn)用幾何知識的方法主要有兩種：數(shù)形結(jié)合法和向量法。其中通過細(xì)致的劃分，數(shù)形結(jié)合法可以分為使用截距的方法求函數(shù)的最值和使用構(gòu)造法求函數(shù)的最值兩種，而向量法則可以分為利用向量中的數(shù)量積求函數(shù)的最值和利用三角不等式求函數(shù)最值兩種。

三、利用幾何知識求函數(shù)最值的策略探究

1.利用數(shù)形結(jié)合的方法求函數(shù)最值

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中研究的兩個最基本的內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)知識體系中，基本所有的問題都可以圍繞數(shù)與形的發(fā)展進(jìn)行展開。在每個幾何圖形中都包含著一定的數(shù)量之間的關(guān)系，同時，數(shù)量之間的關(guān)系也可以通過一些圖象表現(xiàn)出來。因此，在解決某些數(shù)學(xué)問題時，可以將數(shù)的問題首先用圖形表示出來，找到其中涉及的幾何意義，將數(shù)量關(guān)系與幾何進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，這種處理的方法就是數(shù)形結(jié)合法。經(jīng)過實(shí)踐探索分析，數(shù)形結(jié)合法同樣可以應(yīng)用在函數(shù)最值求解中。

傳授給學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，不僅能夠幫助學(xué)生掌握基本的解題手段，同樣還能提升學(xué)生的思維遷移能力，加強(qiáng)學(xué)生的空間意識，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升具有重要的意義。下面是用實(shí)例來對數(shù)形結(jié)合應(yīng)用在函數(shù)最值問題中的說明。

（1）用截距求函數(shù)最值

截距是函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)中的一個知識。在初中函數(shù)最值問題中存在著一些諸如y=f（x）+/-g（x）的最值求解問題。這類問題是函數(shù)最值的基礎(chǔ)性問題，同時也是函數(shù)最值問題的核心問題，因此，在教學(xué)過程中教師一定要重視學(xué)生解決這類基礎(chǔ)問題的能力。在解決這類問題時，我們可以發(fā)現(xiàn)，問題并未直接地給出函數(shù)來讓我們解答，而是通過函數(shù)的構(gòu)造來進(jìn)行問題的展示，這時，我們可以指導(dǎo)學(xué)生通過將這些問題利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行函數(shù)最值的構(gòu)造，從而進(jìn)行解答。

比如例子：兩個數(shù)x與y滿足2x2+y2-5x=5，然后需要我們求出x+y的值。在這個問題中，題目非常的簡潔，但是在實(shí)際的求解中卻與我們的傳統(tǒng)認(rèn)知不同，不是我們平常提起過的函數(shù)問題，這個時候，我們就可以使用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造出a=x+y，所以y=a-b，這樣就將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成了求y=a-b在y軸上的截距問題。在接下來的解答中，還涉及了求截距的最大值與最小值的問題。

這類問題是初中數(shù)學(xué)求函數(shù)最值的一類非常簡單的問題，其中涉及了用力截距求函數(shù)最值的核心知識。在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)將這類問題作為函數(shù)最值教學(xué)的基礎(chǔ)來進(jìn)行詳細(xì)的講解，幫助學(xué)生掌握解決這類問題的思想關(guān)鍵，在遇到類似的問題時，首先要弄清楚已知的條件，構(gòu)造簡單的一元函數(shù)，在初期不熟練的階段還可以通過畫圖進(jìn)行分析，讓思路更加清晰。

（2）用構(gòu)造法求函數(shù)最值

在初中數(shù)學(xué)的整個體系中，構(gòu)造法是一種非常有效并且常見的解題方法，在求函數(shù)最值問題中也發(fā)揮著巨大的作用。針對初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)，現(xiàn)階段經(jīng)常使用到的構(gòu)造法主要涉及兩方面的構(gòu)造，一是構(gòu)造矩形來求函數(shù)的最值，另一個是構(gòu)造立體的圖形來求解函數(shù)的最值。

比如在教學(xué)過程中，我們經(jīng)常會看到一些形如x2+y2的題目出現(xiàn)，這種形式的問題很容易使我們想到勾股定理（a2+b2=c2），結(jié)合實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在遇到此類的問題時，我們可以指導(dǎo)學(xué)生首先考慮構(gòu)造矩形。如，題目：已知x+y+z=1，求的最小值，在解決這個問題時，可以首先根據(jù)x+y+z=1構(gòu)造出一個邊長為1的正方形，使其中的一對臨邊的一條長度為x，y，z，另一邊為y，z，x，畫出大致的圖象，由圖形觀察兩點(diǎn)之間直線的最短距離，從而求出最小值。在這類問題中，上述例題只是一個最簡單的問題，但是卻能夠體現(xiàn)出利用構(gòu)造句型來解決函數(shù)最值問題的核心，值得引起初中數(shù)學(xué)教師的重視。

另外一種構(gòu)造立體圖形的方法也是一種常見的解決函數(shù)最值問題的數(shù)形結(jié)合方法，例如：x2+y2+z2=2，求xyz的最小值，針對這類問題，我們可以將x，y，z構(gòu)造為一個長方體的三條邊，x等于，然后將這些代換到xyz，根據(jù)不等式求解出最小值。

2.利用向量法求函數(shù)的最值

在求解函數(shù)最值的幾何方法中，向量法同樣是一種非常重要的解題手段，向量法也就是構(gòu)造向量，在具體的解題過程中，學(xué)生可以利用向量的一些不等式和性質(zhì)作為依據(jù)，從而對函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。向量是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個必學(xué)內(nèi)容，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想對于學(xué)生把握整個初中數(shù)學(xué)體系都有有力的幫助，將向量與函數(shù)問題進(jìn)行有效的融合，對鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識并且提升學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力具有重要的意義。

（1）利用向量的數(shù)量積性質(zhì)求函數(shù)最值

在初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到一些看上去非常難以解答的最值問題，這些問題一眼看上去很難找到解題的思路，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的困難，但是實(shí)際上，在面對這些問題時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用向量中的一些與數(shù)量積相關(guān)的基本性質(zhì)來進(jìn)行解決。對某些函數(shù)最值問題構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄織l件，可以將原本復(fù)雜的問題簡單化，從而快速地解決。

例如：設(shè)有兩個實(shí)數(shù)x和y，在滿足5x2+y2≤8的前提下，現(xiàn)在需要我們計算出z=2x+7y的最大值。在面對這種類型的問題的時候，我們首先可以考慮向量化，然后帶入到，然后根據(jù)來計算出其中的最大值。

值得注意的是，在利用向量積求函數(shù)最值的過程中，構(gòu)造的過程一定要合理，要通過練習(xí)使學(xué)生可以找出最為方便的向量構(gòu)造，以得到快速解題的關(guān)鍵；另外，在構(gòu)造的過程中很多時候會用到不等式的知識，在這個階段里一定要注意不等式的等號成立的條件，學(xué)生要多依靠練習(xí)獲得經(jīng)驗(yàn)判斷等號是否能取到，這是解題正確的重要依據(jù)。

（2）利用函數(shù)的三角不等式求函數(shù)最值

在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，三角不等式是解決大多數(shù)數(shù)學(xué)問題都會用到的一個有效的公式，在整個數(shù)學(xué)知識體系中都占據(jù)著重要的地位。三角不等式的內(nèi)容非常簡單，就是在三角形中兩條邊之和大于第三邊，公式可以表示為根據(jù)這個公式，我們可以將其運(yùn)用在求函數(shù)最值的問題中。

上面提到的是利用三角不等式求解函數(shù)最值的一個典型的問題，也是一個非?；A(chǔ)的問題，在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生很可能會碰到更多更復(fù)雜的問題，這個時候，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生做題要認(rèn)真、耐心和細(xì)致，利用學(xué)習(xí)過程中涉及的思想將問題進(jìn)行一步步的劃分，不要著急。另外，在實(shí)際的做題過程中，除了化為兩個向量還有可能會碰到需要化為三個向量的情況，教師應(yīng)當(dāng)對學(xué)生有針對性地進(jìn)行課后練習(xí)，幫助學(xué)生熟練地掌握這些方法。

在初中函數(shù)最值問題教學(xué)中采用幾何知識來進(jìn)行解決，可以幫助學(xué)生同時對幾何知識進(jìn)行熟練的掌握，一舉雙得。從前面的分析可以看出，在進(jìn)行簡單的函數(shù)最值問題求解時，可以進(jìn)行直接的常規(guī)求解或者幾何知識的轉(zhuǎn)化，但是在進(jìn)行比較復(fù)雜的函數(shù)最值求解時，則對學(xué)生的創(chuàng)新意識有了需求，要學(xué)生可以對其中隱藏的幾何知識進(jìn)行發(fā)掘，還要有聯(lián)想的能力。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視起利用幾何知識求解函數(shù)最值的問題，幫助學(xué)生更快速地對這種問題進(jìn)行解答，同時還能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，對學(xué)生的綜合能力發(fā)展具有重要的意義。