談高中數學解題教學
——以必修二一道習題教學為例

◆周海舟

高中數學教學和學習都與解題密切相關，因此，解題教學如何開展是一個重要的研究課題。通常情況下，在解題教學中，高中數學教師應引導學生審清題意、探究解題思路、規(guī)范作答，解題后應進行回顧反思。教師要善于引導學生總結解題方法，體會數學思想，使學生掌握通性通法，構建起完整的知識體系。

最近在校內聽了一位高一數學老師的隨堂課，該堂課講了直線與圓的位置關系，課堂講解很精彩，學生課堂參與度也很高，個人感覺學生對該堂課所講的知識掌握情況良好。離下課還有十分鐘左右，該教師布置了必修二（人教A版）課本上132頁習題4.2A組的第一題進行課堂練習，結果學生作答效果不理想，做出來的學生寥寥無幾，我和該教師都感覺很詫異。課后我就這道習題的教學與該教師進行了交流，現(xiàn)就這道題的教學談談自己的看法，以供同行們參考。

一、題目分析

題目：判斷直線4x—3y=50與圓x2+y2=100的位置關系。如果有公共點，求出公共點的坐標。

在講解這道題之前，學生們已經掌握了直線的方程、圓的方程、兩直線位置關系、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系、聯(lián)立方程組求公共點等內容，為解答這道題奠定了一定的基礎。

從題意分析，本道題有兩個問題：1.判斷直線與圓的位置關系；2.求直線與圓的公共點。要解決第一個問題主要有兩個思路：1.聯(lián)立直線與圓的方程，轉化為一元二次方程并求解，從而判斷位置關系；2.求圓心到直線的距離，并與圓的半徑進行比較大小，以確定直線與圓的位置關系。要解決第二個問題常用的思路就是聯(lián)立方程組。因此，學生很容易會想到聯(lián)立方程組的解法，既可以解決第一個問題又可以解決第二個問題。但是，在實際解答過程中，發(fā)現(xiàn)大部分學生方程組解不出來，主要問題是直線方程變形后代入圓的方程后，既有分母又有完全平方，而且數字較大計算量很大，出錯的可能性很大，從而導致學生作答情況不理想。

二、具體解法

本人覺得本題至少有三種解法。

大多數學生都是采取的這種解法。但是，在這種解法中，學生很容易在化簡過程中出現(xiàn)分式，從而導致計算量加大，而且很多學生完全平方公式掌握不好，容易掉了中間項，從而出錯。

在看學生解答情況中，發(fā)現(xiàn)有一個學生雖然沒有解方程組的過程，卻得出了正確結果。課后與這位同學交流后得知，其認為這個題目兩個方程數字都是整數，而且圓的方程接近初中學的勾股定理，由直線方程中字母的系數4和3聯(lián)想到了勾股數，從而把常用的勾股數及其相反數代入方程組，發(fā)現(xiàn)x=8，y=—6剛好滿足方程組。本人肯定了這位同學的機智，但也指出了其存在的問題：通過有限的驗算不能保證方程組只有一組解，并指導其對自己的解法進行了改進，具體改進方法見下文。

解法二：三角代換

由圓的方程為 x2+y2=100，設 x=10cosα，y=10sinα，并將x、y代入直線求交點，得一個交點，同時說明了直線與圓相切。這種解法需要利用到圓的參數方程、輔助角公式、誘導公式等較多的三角函數知識，目前還沒有完全學習完相關知識，適合在高三總復習重講此題的時候采用。

解法三：幾何法

首先，通過求圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關系，即相切。然后求切點，利用初中學過的圓的性質：圓心與切點的連線與切線垂直。將直線與圓的公共點轉化為兩條直線的公共點，由二元二次方程組轉化為二元一次方程組，大大簡化了計算難度，具體解答過程就不詳細敘述。

這種解法雖然要先判斷位置關系，后求公共點，思路不及解法一直觀，但是避開了解二次方程組以及完全平方等區(qū)內學生易錯點，計算量相對于解法一來說要小一些，出錯的可能性也要小很多。當然在判斷出直線與圓相切后，知道只有唯一公共點后，也可以采取上文提到的該同學用勾股數相關的驗算法，得出直線與圓的公共點的坐標。

另外，教師也可以引導學生利用幾何畫板等軟件畫出本題中給定的直線和圓準確的圖形，幫助學生進行分析判斷，判斷出直線和圓的位置關系，找出最優(yōu)的解法。

三、幾點建議

1.注重一題多解，使學生能夠鞏固所學知識并靈活選取合適的方法進行解題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。一題多解作為培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識的有效方式，應該得到高中數學教師的充分重視，為學生的發(fā)展與創(chuàng)新意識奠定一定的基礎。在本題中，方法一雖然直觀，最容易想到，但是計算量大。如果學生掌握了多種方法，一旦發(fā)現(xiàn)自己很難算出來，就可能會嘗試換一種方法，而不是一味地硬算，最后花了很長時間可能還算錯了。

2.加強學生的計算能力訓練，讓學生掌握一定的計算技巧。在解法一中，如果學生能夠掌握整體代入，兩個方程同時變形的技巧，應該還是有很多同學能正確解出結果。同時應加強學生完全平方公式的訓練，達到熟能生巧，確保準確無誤。

3.充分備課，細化到每一道習題。在備課時教師常常注重知識點的講解，而容易忽視習題，有些教師認為教材的習題都是從易到難，前幾道都會比較簡單而自己沒有認真做，從而可能會出現(xiàn)解法單一、出現(xiàn)問題應對不當等情況。在備課時應認真將習題仔細做一遍，思考有沒有多種解法，哪種解法更適合區(qū)內學生，從而達到更好的教學效果。

4.注重變式訓練，讓學生舉一反三。數學解題教學在數學教學中占了很大的一部分，數學課上幾乎每節(jié)課都涉及到解題教學，對數學知識的考查也基本上落實到解題上了。因此，教師對解題教學的正確把握將會提高學生的學業(yè)成績。雖然隨著教育觀念的逐漸改變，學生機械性的練習有所減少，但是為了應付高考，學生還是在不斷為成績而強化練習。

在講解完本題后，可以將直線方程改為4x+3y=50，讓學生自己嘗試去解答，通過學生的作答情況來檢驗教學的效果。并逐步拓展到既改變直線的方程也改變圓的方程。在設計變式練習時，應注意思維跳躍性不宜過大，應在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內，讓學生“跳一跳”就可以摸到，讓學生在正確解答的過程中逐步建立學好數學的信心，避免淪為題海戰(zhàn)術。

5.解題完成后要引導學生進行反思，讓學生在反思中進步，在反思中鞏固知識、培養(yǎng)素質、發(fā)展能力。

學生們在解數學題時，容易因為審題不準、概念不清、忽視條件、套用相近知識、考慮不周或計算出錯等問題，難免產生這樣或那樣的錯誤，不能保證一次性完全正確。所以解題完成后，必須引導學生對解題過程進行回顧、評價和反思，對所得解題結果的正確性和合理性進行驗證。

在解題教學過程中，教師可以給學生適當講解一些解題理論，幫助學生自己動手分析題目并成功解題。例如，波利亞在其著作《怎樣解題》中指出問題解決可以分四個階段：第一，理解題目，必須清楚地看到所要求的是什么；第二，知道各個項目是如何相關的，未知量和數據之間有什么關系，以得到解題的思路，擬定一個方案；第三，執(zhí)行方案；第四，回顧所完成的解答，檢查和討論它。總結起來就是“理解問題--制定方案--執(zhí)行方案--回顧”四個階段。波利亞這一理論可以較好地指導學生在碰到問題后，如何自己分析問題、解決問題。