初等數(shù)學(xué)中的三個(gè)規(guī)律

張爾光

【摘 要】本文對(duì)筆者發(fā)現(xiàn)的“二至九位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)之間的差”的規(guī)律性，自然數(shù)的二至五位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差及二至四位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差的規(guī)律性，自然數(shù)“倒序數(shù)的后位數(shù)相加之和”的規(guī)律性，通過(guò)實(shí)例證明，做出了肯定的結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】自然數(shù)；順序數(shù)；倒序數(shù)；差；9；規(guī)律

中圖分類號(hào)： G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）32-0191-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.32.089

筆者研究發(fā)現(xiàn)的初等數(shù)學(xué)中的三個(gè)規(guī)律是指，（1）二至九位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差為“9×（自然數(shù)倒序數(shù)相加之和）之積；（2）自然數(shù)的二至五位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，二至四位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，均為“9×2×（自然數(shù)倒序數(shù)相加之和）之積”；（3）自然數(shù)“倒序數(shù)的后位數(shù)相加之和”為該倒序數(shù)與同位順序數(shù)兩者之差除以9之商。本文就此三個(gè)規(guī)律逐一進(jìn)行證明。

規(guī)律1 二至九位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差為“9×（自然數(shù)倒序數(shù)相加之和）之積。

1）兩位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×一位數(shù)倒序數(shù)1之積”，即：9×1=9

例證1 21-12=9×1=9

例證2 32-23=9×1=9

例證3 43-34=9×1=9

“54-45=9”至“98-89=9”之證明略。

2）三位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（二位數(shù)倒序數(shù)21+一位數(shù)倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（21+1）=9×22=198

例證1 321-123=9×（21+1）=9×22=198

例證2 432-234=9×（21+1）=9×22=198

例證3 543-345=9×（21+1）=9×22=198

“654-456=198”至“987-789=198”之證明略。

3）四位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（三位數(shù)倒序數(shù)321+二位數(shù)倒序數(shù)21+一位是倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（321+21+1）=9×343=3087

例證1 4321-1234=9×（321+21+1）=9×343=3087

例證2 5432-2345=9×（321+21+1）=9×343=3087

例證3 6543-3456=9×（321+21+1）=9×343=3087

“7654-4567=3087”至“9876-6789=3087”之證明略。

4）五位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（四位數(shù)倒序數(shù)4321+三位數(shù)倒序數(shù)321+二位數(shù)倒序數(shù)21+一位數(shù)倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（4321+321+21+1）=9×4664=41976

例證1 54321-12345=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

例證2 65432-23456=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

例證3 76543-34567=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

“87654-45678=3087”至“9876-6789=3087”之證明略。

5）六位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（五位數(shù)倒序數(shù)54321+四位數(shù)倒序數(shù)4321+三位數(shù)倒序數(shù)321+二位數(shù)倒序數(shù)21+一位數(shù)倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證1 654321-123456=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證2 765432-234567=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證3 876543-345678=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證4 987654-456789=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

6）七位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（六位數(shù)倒序數(shù)654321+五位數(shù)倒序數(shù)54321+四位數(shù)倒序數(shù)4321+三位數(shù)倒序數(shù)321+二位數(shù)倒序數(shù)21+一位數(shù)倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例證1 7654321-1234567=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例證2 8765432-2345678=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例證3 9876543-3456789=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

7）八位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（七位數(shù)倒序數(shù)7654321+六位數(shù)倒序數(shù)654321+五位數(shù)倒序數(shù)54321+四位數(shù)倒序數(shù)4321+三位數(shù)倒序數(shù)321+二位數(shù)倒序數(shù)21+一位數(shù)倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627=75308643

例證1 87654321-12345678=9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627 = 75308643

例證2 98765432-23456789=9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627 = 75308643

8）九位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，為“9×（八位數(shù)倒序數(shù)87654321+七位數(shù)倒序數(shù)7654321+六位數(shù)倒序數(shù)654321+五位數(shù)倒序數(shù)54321+四位數(shù)倒序數(shù)4321+三位數(shù)倒序數(shù)321+二位數(shù)倒序數(shù)21+一位數(shù)倒序數(shù)1之和）之積”，即：9×（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×96021948 =864197532

例證987654321-123456789=9×（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×96021948=864197532

9）結(jié)論

綜上證明，得出結(jié)論：二至九位數(shù)自然數(shù)的順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差與自然數(shù)“9”有著密切聯(lián)系，其差為“9×（倒序數(shù)相加之和）之積”。

規(guī)律2 筆者還研究發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)的二至五位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，二至四位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，均與自然數(shù)“9”有著密切聯(lián)系，其差為“9×2×（自然數(shù)倒序數(shù)相加之和）之積”。

（1）證二至五位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差。

例證1 求二位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)13與倒序數(shù)31兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：31-13=9×2×1=18×1=18

例證2 求三位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)135與倒序數(shù)531兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)二位倒序數(shù)21+一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：531-135=9×2×（21+1）=18×22=396

例證3 求四位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)1357與倒序數(shù)7531兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)三位倒序數(shù)321+二位倒序數(shù)21+一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：7531-1357=9×2×（321+21+1）=18×343=6174

例證4 求五位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)13579與倒序數(shù)97531兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)四位倒序數(shù)4321+自然數(shù)三位倒序數(shù)321+二位倒序數(shù)21+一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：

97531-13579=9×2×（4321+321+21+1）=18×4664=83952

（2）證二至四位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差。

例證1 求二位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)24與倒序數(shù)42兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：42-24=9×2×1=18×1=18

例證2 求三位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)246與倒序數(shù)642兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)二位倒序數(shù)21+一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：642-246=9×2×（21+1）=18×22=396

例證3 求四位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)2468與倒序數(shù)8642兩者之間的差，為“9×2×（自然數(shù)三位倒序數(shù)321+二位倒序數(shù)21+一位倒序數(shù)1）之積”。其算式為：8642-2468=9×2×（321+21+1）=18×343=6174

綜上證明，得出結(jié)論：自然數(shù)的二至五位數(shù)的奇數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，二至四位數(shù)的偶數(shù)順序數(shù)與倒序數(shù)兩者之間的差，均與自然數(shù)“9”有著密切聯(lián)系，其差為“9×2×（自然數(shù)倒序數(shù)相加之和）之積”。

規(guī)律3 從規(guī)律1可推知，自然數(shù)“倒序數(shù)后位數(shù)相加之和”為該倒序數(shù)與同位順序數(shù)兩者之差除以9之商。

（1）兩位自然數(shù)的倒序數(shù)21的后一位數(shù)1，為21與同位順序數(shù)12兩者之差除以9之商。其算式為：

1=（21-12）÷= 9÷9=22

（2）三位自然數(shù)的倒序數(shù)321的后二位數(shù)21與后一位數(shù)1相加之和，為321與同位順序數(shù)123兩者之差除以9之商。其算式為：（21+1）=（321-123）÷= 198÷9=22

（3）四位自然數(shù)的倒序數(shù)4321的后三位數(shù)321、后二位數(shù)21、后一位數(shù)1相加之和，為4321與同位順序數(shù)1234兩者之差除以9之商。其算式為：（321+21+1）=（4321-1234）÷= 3087÷9=343

（4）五位自然數(shù)的倒序數(shù)54321的后四位數(shù)4321與后三位數(shù)321、后二位數(shù)21、后一位數(shù)1相加之和，為54321與同位順序數(shù)12345兩者之差除以9之商。其算式為：（4321+321+21+1）=（54321-12345）÷= 41976÷9=4664

（5）六位自然數(shù)的倒序數(shù)654321的后五位數(shù)54321與后四位數(shù)4321、后三位數(shù)321、后二位數(shù)21、后一位數(shù)1相加之和，為654321與同位順序數(shù)123456兩者之差除以9之商。其算式為：（54321+4321+321+21+1）=（654321-123456）÷= 530865÷9=58985

（6）七位自然數(shù)的倒序數(shù)7654321的后六位數(shù)654321與后五位數(shù)54321、后四位數(shù)4321、后三位數(shù)321、后二位數(shù)21、后一位數(shù)1相加之和，為7654321與同位順序數(shù)1234567兩者之差除以9之商。其算式為：（654321+54321+4321+321+21+1）=（7654321-1234567）÷= 6419754÷9=713306

（7）八位自然數(shù)的倒序數(shù)87654321的后七位數(shù)7654321與后六位數(shù)654321、后五位數(shù)54321、后四位數(shù)4321、后三位數(shù)321、后二位數(shù)21、后一位數(shù)1相加之和，為87654321與同位順序數(shù)12345678兩者之差除以9之商。其算式為：（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=（87654321-12345678）÷= 75308643÷9=8367627

（8）九位自然數(shù)的倒序數(shù)987654321的后八位數(shù)87654321與后七位數(shù)7654321、后六位數(shù)654321、后五位數(shù)54321、后四位數(shù)4321、后三位數(shù)321、后二位數(shù)21、后一位數(shù)1相加之和，為987654321與同位順序數(shù)123456789兩者之差除以9之商。其算式為：

（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=（987654321-123456789）÷=864197532÷9=96021948

（9）結(jié)論

綜上證明，得出結(jié)論：自然數(shù)“倒序數(shù)的后位數(shù)相加之和”為該倒序數(shù)與同位順序數(shù)兩者之差除以9之商。