曲線小波光順問題中關(guān)于連續(xù)分辨率水平的研究

陳 勇 張 旭 吳易澤 江明陽

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620）

由于制造精度和測量精度不能達(dá)到理想狀態(tài)，會造成零件產(chǎn)生一定數(shù)量誤差，對曲線或者是曲面光順性產(chǎn)生不利影響。光順技術(shù)可以減少制造精度和測量精度對逆向工程產(chǎn)生的影響，進(jìn)而保證逆向工程下產(chǎn)品質(zhì)量。逆向工程中，多分辨分析技術(shù)是一種提取曲線曲面本質(zhì)特性的方法，其不僅具有良好的時域局部特性，還具有良好的頻域局部特性。S.Mallat在1998年構(gòu)造正交小波基時，提出了多分辨分析這個概念，從空間概念上說明了小波具有多分辨率特性，將此之前的所有關(guān)于正交小波基構(gòu)造進(jìn)行了統(tǒng)一，并提出了正交小波基構(gòu)造方法和正交小波快速算法，這個算法就叫做Mallat算法[1]。

1994年，Quak等研究人員利用多分辨分析方法，對由2j+3個控制頂點確定的一條曲線，提出了基于閉區(qū)間的B樣條小波曲線分解和重構(gòu)算法[2]。在多分辨光順問題研究中，國內(nèi)外許多學(xué)者做了研究，比如紀(jì)小剛等人在二進(jìn)小波基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了曲線或者是曲面小波光順任意定點的控制[3]；再例如趙罡等研究人員提出了一種基于小波的非均勻B樣條曲線自動光順?biāo)惴ǎ瑢⑶€分解為曲線細(xì)節(jié)部分和曲線尺度兩部分，并把細(xì)節(jié)部分再次分解為小波尺度部分和小波細(xì)節(jié)部分，最后通過自動設(shè)定閾值對小波細(xì)節(jié)部分進(jìn)行修復(fù)[4]。

本文主要介紹連續(xù)分辨率水平的建立及其相對于以往多分辨率水平方法的優(yōu)勢，并基于非均勻B樣條光順問題構(gòu)造建多分辨水平基函數(shù)，通過這個基函數(shù)達(dá)到曲線光順連續(xù)控制目的，這樣曲線調(diào)整方法相對于傳統(tǒng)方法更加容易達(dá)到曲線光順要求，是解決曲線設(shè)計中關(guān)于光順性問題的一種有效思路。

1 關(guān)于建立連續(xù)分辨率水平的基本知識

相關(guān)研究者提出了關(guān)于相鄰兩個整數(shù)分辨率水平曲線進(jìn)行線性插值，最終得到過渡曲線的方法，如式（1）所示。

式中，Ψ（t，x）表示一條曲線；x為分辨率水平；t為節(jié)點矢量；γn（t）為非均勻B樣條曲線；n為節(jié)點矢量；μ為過渡系數(shù)，0≤μ≤1。

由上述方程中，可得曲線對x連續(xù)，并且定義：Ψk（t，x）（k=1，2， ……）表示一條曲線；x為其分辨率水平。如果Ψk（t，x）對x是k有階的偏導(dǎo)數(shù)，同時Ψk（t，j）=γj（t），則x稱為k階連續(xù)分辨率水平，一般情況下k值取1或者2。

2 構(gòu)造連續(xù)分辨率水平

2.1 設(shè)計連續(xù)分辨率水平基函數(shù)

根據(jù)連續(xù)分辨率水平以及非均勻B樣條小波變換知識，一般情況下假設(shè)k取1或者2，并構(gòu)造符合如下條件的基函數(shù)g1（x）、g2（x）。g1（x）、g2（x）是關(guān)于 y軸對稱的，符合插值函數(shù)要求。另外，對于任意的x都有g(shù)1（x）≥0、g2（x）≥0，且滿足一定條件，如式（2）所示。

式中，k取值為1或者2，可得曲線插值關(guān)于基的和為1，其支撐區(qū)間在[-1，1]上是連續(xù)變化的并且具有k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；在[-1，1]外的值都為零，這就保證了其支撐區(qū)間是[-1，1]，更方便處理邊界位置，適用于整數(shù)點插值。另外，當(dāng)gk（0）=0、gk（i）=0時，整數(shù)點N處的曲線為γn（t），為非均勻B樣條曲線。

綜上所述，插值函數(shù)如式（3）所示。

式中，k為連續(xù)分辨率水平構(gòu)造基函數(shù)序號；J為控制點層數(shù)；Ψk（t，x）為分辨率水平x有k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。由于g1（x）、g2（x）的性質(zhì)，在區(qū)間[N，N+1]上，可以通過第N層曲線和第N+1層曲線來構(gòu)造關(guān)于連續(xù)分辨率水平x的曲線，如式（4）所示。

有小波變換可得式（5）。

式中,ΦN+1為非均勻B樣條基函數(shù)；PN+1為小波尺度重構(gòu)矩陣；CN+1——非均勻B樣條曲線原控制點；E為單位矩陣；AN+1小波分解矩陣，Ckx如式6所示。

則可得Ψk（t，x）連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如式（7）所示。

式中，ΦN+1為非均勻B樣條基函數(shù)；Ckx為經(jīng)過小波變換以及連續(xù)分辨率水平構(gòu)造修改后的控制點。從上述公式中可以看出，Ckx是分辨率水平為x的曲線Ψk（t，j）的控制點，分辨率水平x的連續(xù)變化決定了控制點連續(xù)變化，而控制點的連續(xù)變化決定了分辨曲線也是連續(xù)變化的，這樣就可在誤差允許范圍內(nèi)找到符合要求的曲線。

2.2 算法步驟

非均勻B樣條曲線小波光順中關(guān)于連續(xù)分辨率水平建立的步驟如下：

（1）選取控制點構(gòu)造非均勻B樣條曲線，控制點數(shù)量是2j+3個。節(jié)點矢量是依據(jù)控制點數(shù)據(jù)按照Hartley-Judd方法生成。

（2）構(gòu)造兩種插值核函數(shù)g1（x）、g2（x），構(gòu)造要求如第一部分所述。

（3）構(gòu)造插值函數(shù)如式（1）所示。

（4）按照式（7）所示來計算出最終所需求曲線。

2.3 實例分析

選取一個由131個控制點組成的非均勻B樣條曲線，按照上述方法對曲線進(jìn)行光順處理，試驗驗證流程如圖1所示。利用MATLAB軟件對算法進(jìn)行驗證，這只需要調(diào)整分辨率水平x值就可以實現(xiàn)對曲線的連續(xù)控制，并且隨著連續(xù)分辨率水平x值的變化，曲線的效果也是不同，可以根據(jù)各行業(yè)要求選擇合適的連續(xù)分辨率水平x。

圖1 連續(xù)分辨水平驗證流程圖

從流程圖上可以看出，連續(xù)分辨率水平建立就是運用具有特征性的連續(xù)插值核函數(shù)來實現(xiàn)的。設(shè)置一個連續(xù)分辨率水平x=3.7，在N≤x≤N+1情況下，對構(gòu)造曲線進(jìn)行分析，當(dāng)x取值不同時，構(gòu)造曲線會有不同效果，這樣就有更大的分辨率水平區(qū)間來保持曲線細(xì)節(jié)部分。選取的構(gòu)造函數(shù)如圖2所示。

按照Hartley-Judd方法獲得非均勻B樣條曲線，如圖3所示，為了使非均勻B樣條曲線得到最好的光順效果，并且在需要時保留曲線細(xì)節(jié)，可以選擇不同分辨率水平再求得最后光順。

圖2 連續(xù)分辨率水平構(gòu)造函數(shù)

圖3 非均勻B樣條曲線

兩曲線對比圖如圖4所示，局部放大圖如圖5所示，和原曲線相比，非均勻B樣條曲線可以有更好光順性，并且隨著分辨率的連續(xù)構(gòu)造，總能獲得需要的非均勻B樣條光順曲線。

圖4 曲線對比圖

圖5 曲線局部放大

本實驗驗證了非均勻B樣條曲線光順過程中仍然能構(gòu)造連續(xù)分辨率水平，達(dá)到最終的光順目的。在實驗過程中，數(shù)據(jù)點選擇和非均勻B樣條曲線選擇，構(gòu)造出具有不同分辨率的曲線，能夠?qū)崿F(xiàn)不同行業(yè)要求，對于光順性要求比較高而對擬合曲線精度要求不是太嚴(yán)格的行業(yè)，可以在同層次下選擇比較小的分表率水平，能達(dá)到更好的光順效果。

3 結(jié)論

本文主要介紹了曲線小波光順性問題中關(guān)于連續(xù)分辨率水平的構(gòu)造問題，在小波變換中結(jié)合連續(xù)分辨率水平可以達(dá)到曲線連續(xù)控制目的，在一定誤差允許范圍內(nèi)得到符合本行業(yè)要求的光順曲線。經(jīng)驗證，本文構(gòu)造的連續(xù)分辨率水平對非均勻B樣條曲線進(jìn)行小波光順過程是有效的，并且在一定范圍內(nèi)可以帶給工程人員更多的光順性調(diào)整方案，使其在光順性和逼近精度之間有一個更好的選擇。