微言要義之標準方程與一般方程

梁玉 徐章韜

【摘要】平面解析幾何是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，在研究曲線性質(zhì)時，總是借助于方程對曲線的幾何要素進行表示.曲線方程通常分為標準方程與一般方程，在今天的教材中尤其突出“標準方程”的主干地位，不對一般方程有所討論.有鑒于此，本文將分別從語義、數(shù)學和教學三個角度對標準方程與一般方程進行辨析，探討標準方程之“標準”的原因，揭示一般方程之“一般”的含義，以求厘清差別，認識不同數(shù)學概念的獨特性;加強聯(lián)系，體會數(shù)學內(nèi)容之間的統(tǒng)一性.進一步，從教學角度對曲線方程的教學給予了改進建議.

【關鍵詞】標準方程;一般方程;解析幾何;數(shù)學概念;幾何性質(zhì)

1 引言

數(shù)學概念是構(gòu)筑數(shù)學大廈的基石，不僅不同概念間的巨大差別需要關注，相似概念中的微言要義更值得去剖析.蘇霍姆林斯基認為教師的語言素養(yǎng)“在很大程度上決定著學生在課堂上的腦力勞動的效率”，是“一種什么也代替不了的影響學生心靈的工具”[1].可見，教師課堂教學言語與學生課堂學習效果有著極為密切的關系，教師對數(shù)學概念的理解深刻影響著其課堂語言行為.因此對相似概念進行深度挖掘，厘清數(shù)學概念的區(qū)別和聯(lián)系，會極大地提升數(shù)學概念教學的效果.

方程是含有未知數(shù)的等式，表示兩個數(shù)學式之間的相等關系，是用以簡化描述現(xiàn)實世界復雜數(shù)量關系的有力工具.在數(shù)學史的長河中，代數(shù)學從修辭代數(shù)發(fā)展到縮略代數(shù)、再到如今成熟完備的符號代數(shù)，方程便是代數(shù)學研究的中心問題之一，可以說，方程與代數(shù)學是相伴而生的，對方程的研究也是人們擴張數(shù)域的重要動力因素.方程作為初等數(shù)論代數(shù)領域的主要內(nèi)容，在基礎教育階段貫穿始終：小學階段安排用字母表示數(shù)、簡單的一元一次方程及其運用等知識;初中階段則遞進呈現(xiàn)一元一次方程、二元一次方程組和一元二次方程及其運用;高中階段進一步向抽象化發(fā)展，介紹圓錐曲線的方程——二元二次方程.17世紀解析幾何的誕生使幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，曲線方程的形式也開始多樣化，通常情況下分為標準方程與一般方程.但隨著時代的發(fā)展，曲線方程的形式趨于單一，尤其在今天的高中教材中突出“標準方程”的主干地位，對一般的二次方程及其曲線不做討論.試想標準方程為何“標準”？一般方程又何以“一般”？兩字之差讓它們相互區(qū)別又聯(lián)系緊密，是利用代數(shù)方法解決幾何問題的出發(fā)點與歸宿地.下面將從普適的語義、獨特的數(shù)學意義以及教學中的側(cè)重三方面對曲線的標準方程與一般方程兩個概念進行辨析，挖掘隱藏于字面背后的深刻內(nèi)涵.

2 辨析

2.1語義上的辨析

“標準”一詞在《現(xiàn)代漢語詞典》有兩種解釋：①衡量事物的準則：技術標準|實踐是檢驗真理的唯一標準.②本身合于準則，可供同類事物比較核對的事物：標準音|標準時.“一般”一詞在詞典中釋義如下：①一樣;同樣：別和他一般見識.②數(shù)量詞.一種：別有一般滋味.③普通;通常：一般性|一般化|一般情況.④哲學名詞：指一切事物，或者許多個別事物所屬的一類事物，亦指事物的共性[2].

從詞典的語義學解釋中得知，標準方程意為衡量同類曲線其他方程形式的準則，其本身合乎準則，易于凸顯曲線的優(yōu)良結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，可供同類曲線方程進行比較與核對，向之看齊.例如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程本身易于凸顯曲線的基本幾何要素，反映曲線的某種性質(zhì)，可作為曲線其他形式方程朝之轉(zhuǎn)化的準則.而一般方程強調(diào)不同方程之間的共性，把曲線方程按照某種特征聚類合并，數(shù)學上通常以方程未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)為依據(jù)將方程歸類.例如一切直線方程都可看成是二元一次方程，因此二元一次方程就是直線方程的一般形式;一切圓錐曲線方程都可表示為二元二次方程，因此二元二次方程就是圓錐曲線方程的一般形式.2.2數(shù)學上的辨析

辨析標準方程與一般方程之關系，從直線方程說起.直線是解析幾何研究的第一個曲線，也是最簡單的曲線.直線方程形式眾多、各具特色，有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式等，不由思考：直線為什么沒有“標準方程”呢？究其原因，可從直線方程的建立過程得知.確定直線的條件是直線上一點和直線的傾斜角或者是直線上的不同兩點.直線方程的點斜式正是從“直線的傾斜角和一定點”來刻畫直線方程，斜截式則在此基礎上將“定點”特殊化為直線與y軸的交點，兩點式是從直線的性質(zhì)“兩點確定一條直線”來刻畫直線方程，截距式則將“兩點”特殊化為直線與坐標軸的交點.我們知道，解析幾何的思想是借助于坐標系將圖形中的幾何要素用坐標和方程表示出來，運用代數(shù)方法進行研究從而解決幾何問題.規(guī)定“標準方程”的意義就在于其能反映曲線的幾何要素、方便研究曲線性質(zhì).而點斜式、斜截式、兩點式和截距式四種形式正是基于這一思想精髓，從確定直線的幾何要素入手建立直線方程，從而達到簡捷、快速、準確刻畫直線的結(jié)構(gòu)、描述直線性質(zhì)的目的.因此，從某種程度上可以說這四種形式都是直線的“標準方程”，它們的名稱本就彰顯了其幾何意義.

但是，為了彌補四種形式方程刻畫直線的局限性（不能表示垂直x軸的直線），直線的一般方程順應而生，一般方程可表示任意位置的直線，實現(xiàn)了直線方程大一統(tǒng)的局面，然而此長彼消，一般方程偏重“數(shù)”的統(tǒng)一卻難以突出直線“形”的本質(zhì).

從上述分析中不難發(fā)現(xiàn)，標準方程之“標準”，首先在于其“標準位置”.圖形中的幾何量和幾何關系是圖形的固有特征，解析幾何是通過建立坐標系將圖形與方程聯(lián)系起來，運用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，而這些性質(zhì)都是與坐標系的選取無關的，也就是坐標變換下的不變量.既然如此，在何處建系才能達到簡捷、快速、準確描述圖形幾何性質(zhì)的目的呢？這就引出了“標準位置”一說.眾所周知，圓的標準方程中圓心可以不是原點，而橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程卻要在原點處討論，為何不把圓心在原點的圓的方程叫做標準方程？其一從圓的幾何性質(zhì)來看，圓擁有極其完美的對稱性，不僅是軸對稱、中心對稱圖形，更是旋轉(zhuǎn)對稱圖形.圓圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后位置和形狀都不發(fā)生改變，即具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此圓的方程在旋轉(zhuǎn)變換下不變，只在平移變換下改變，平面直角坐標系中任意位置的圓都可看成是由圓心在原點、半徑相同的圓平移得到，由于學生已經(jīng)對平移的概念和相應坐標變化很熟悉，這樣一來，無需將“標準位置”規(guī)定在原點，圓的完美對稱性使得平面上任意位置都可以成為圓的“標準位置”;其二從圓的方程建立過程來看，確定一個圓的基本要素是圓心和半徑，圓上任一點到圓心距離都等于半徑，基于此圓的標準方程是由平面上兩點之間距離公式推導出來的，既然平面上兩點的位置是任意的（并未規(guī)定其中一點必須在原點），那么圓心的位置和圓上一點的位置也應該是任意的（圓心位置可以不在原點），也就解釋了為何圓的“標準位置”不設在原點處;其三從數(shù)學發(fā)展的需要來看，現(xiàn)實世界復雜的數(shù)量關系與空間形式無處不在——奧運五環(huán)、自行車的前后輪、堆放的雪人、日全食的原理等，使得數(shù)學對圓的研究從“單個”走向“多個”.為定量研究兩圓或者多圓之間更為復雜的相離（外離、內(nèi)含）、相切（外切、內(nèi)切）與相交的位置關系，不得不考察圓在各種不同位置時方程，因此圓的“標準位置”不能局限在原點.相較圓而言，橢圓、雙曲線、拋物線圖形情況更為復雜，盡管它們也具有某種對稱性——軸對稱或者中心對稱，但沒有達到像圓那樣完美的旋轉(zhuǎn)對稱.例如將橢圓等繞中心旋轉(zhuǎn)某一角度后圖形的方向發(fā)生變化，曲線的方程也相應改變，甚至可能出現(xiàn)xy項，因此橢圓等方程在旋轉(zhuǎn)變換和平移變換下都發(fā)生改變，對圖形研究起來也更加繁瑣.鑒于橢圓等圖形的形狀和方向各式各樣，要想通過解析的觀點來簡捷、快速、準確地研究其幾何性質(zhì)，必須固定中心、固定方向，將橢圓等的“標準位置”規(guī)定在原點、對稱軸規(guī)定在坐標軸上，以達到從簡入手、分散難點的目的.

圓錐曲線的一般方程是形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程，它是一個二元二次方程，從位置上講，它可以表示在任意位置處的圓錐曲線;從形式上講，它可以表示不同類別的圓錐曲線.一般方程將不同種類、不同位置的圓錐曲線方程統(tǒng)一化，實際上是在對個性研究的基礎上概括出圓錐曲線方程的共性，滲透了從特殊到一般的歸納思想.盡管一般方程從“數(shù)”的角度實現(xiàn)了圓錐曲線方程的歸一，但從中很難直接判斷曲線的種類，更不能體現(xiàn)圖形中具體的圓心、半徑、焦點、準線、長軸短軸和實軸虛軸等基本幾何要素，在“以形助數(shù)，讓數(shù)顯形”方面略顯不足，重形式上的統(tǒng)一性而輕“形數(shù)結(jié)合”的連貫性.

2.3教學上的辨析

2.3.1從教材編排來看

標準方程與一般方程作為解析幾何的核心知識，在人教A版高中教材中分兩部分進行介紹：必修2中直線與方程、圓與方程;選修1-1/2-1中圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）與方程.

從縱向聯(lián)系看，教材是以坐標法為紐帶，依照“直線與方程——圓與方程——圓錐曲線與方程”為順序，循序漸進、螺旋上升地展開內(nèi)容[4].直線與方程作為解析幾何的開端，在教材中給予了濃墨重彩的一筆，從直線的五種形式和不同形式直線方程間的互化可窺探得知.繼直線方程后，引導學生根據(jù)確定圓的幾何要素建立圓的標準方程，而后通過特殊的二元二次方程表示圓的形式與條件揭示圓的一般方程，滲透分類討論思想.有了必修2的基礎知識作為腳手架，選修1-1/2-1順利引入解析幾何的重點部分——橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，考慮到圓與橢圓的密切關系，圓的方程可以作為橢圓方程的特例，而雙曲線方程與橢圓方程是符號之差，拋物線方程與其他方程形式有所不同但性質(zhì)又緊密聯(lián)系，因此采取這一順序進行介紹是合理的.但是，選修教材對橢圓等圓錐曲線方程的推導都是通過二次平分法求得其標準方程，并利用標準方程研究它們的幾何性質(zhì)，突出“標準方程”的壓倒性優(yōu)勢地位，缺少對圓錐曲線統(tǒng)一方程的討論，這一點值得考量.

從橫向聯(lián)系看，標準方程與一般方程反映的是不同曲線的個性與共性問題.從個性出發(fā)，有利于對相應曲線的性質(zhì)進行全面研究（范圍、頂點、焦點、對稱性、離心率、漸近線與準線等）;在對個性研究的基礎上再歸納概括出共性，可以達到更進一步高水平的認識[5].必修2在編排過程中很好的體現(xiàn)了圓的標準方程與一般方程之間一脈相承相互轉(zhuǎn)化的關系，使得圓的方程的教學完整恰當，圓的標準方程到一般方程的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想;一般方程到標準方程的回溯，足見從一般到特殊的演繹思維.但在選修教材中圓錐曲線的方程卻局限于標準方程一種形式，過于偏重不同圓錐曲線的“個性”而輕視“共性”，不利于學生思想認識的進一步提高與升華.2.3.2從教育心理來看

從教育心理學角度來看，學生學習數(shù)學的過程實際上是一個數(shù)學認知結(jié)構(gòu)形成的過程，在這個過程中學生在教師的指導下把教材的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為個性化的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).教學要把握好學生的實際情況，從促進學生的認知發(fā)展角度出發(fā)，幫助學生搭建良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).學習是一個循序漸進的過程，打好基礎才能有更大的發(fā)展余地，然而學習不能僅留于此，“打胚璞”后還需“加光飾”，使得學生的認知結(jié)構(gòu)逐漸由低水平向高水平進化，達到前后銜接、完整連續(xù)，使之具有不斷吸收新數(shù)學知識的能力和知識的自我生成能力[6].

在橢圓、雙曲線等圓錐曲線的標準方程學習之后，學生頭腦中對圓錐曲線方程的認識只是一個個相互孤立的知識點，尚未形成完整的知識鏈和知識體，難以將前后知識結(jié)合起來融會貫通，甚至還可能思維定勢式地認為圓錐曲線的方程只有標準方程一種形式.盡管學習過圓的一般方程，但其僅是二次方程的特殊形式，學生從主觀上很難建立新舊知識之間的聯(lián)系，不利于學生良好認知結(jié)構(gòu)的建立.基于這一點，在學習了所有圓錐曲線的標準方程后應作適當總結(jié)，把圓錐曲線方程統(tǒng)一起來，使學生的認識加深，這樣一來學生頭腦中圓錐曲線方程的大廈就完整建立起來了.

基于上述教材編排和教育心理的兩點分析，為使學生對圓錐曲線與方程有一個完整的認識，在教學方面可從以下著手進行改進：其一，將圓錐曲線方程的發(fā)展史融入教學.根據(jù)認知的歷史相似性原理，個體的認知過程折射出歷史上人類認識的發(fā)生過程，盡管圓錐曲線方程的歷史是一個十分細微的課題，但其中蘊含著豐富的教育價值.在教學中適切融入其發(fā)展史，可以幫助學生明晰圓錐曲線方程發(fā)展的來龍去脈，體會從圓錐曲線及其性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)到標準方程的確立是漫長而艱辛的過程，也反映著解析幾何的發(fā)展軌跡，從宏觀上把握知識脈絡，可以促進知識的深度理解和系統(tǒng)生成，拓寬學生的思維;同時將數(shù)學史融入數(shù)學教育是數(shù)學學科新課程標準所倡導的，充分展現(xiàn)了數(shù)學學科的人文情懷，用歷史回顧與重構(gòu)點綴單調(diào)的問題求解與幾何證明，有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，喚醒學生的情意系統(tǒng)，進而落實三維目標中的情感、態(tài)度與價值觀目標;其二，重視圓錐曲線的統(tǒng)一定義與統(tǒng)一方程.從教學角度來看，鑒于學生還未接觸過坐標旋轉(zhuǎn)變換，圓錐曲線的一般方程中xy項處理起來就會十分棘手，因此這里討論統(tǒng)一方程會更有意義.數(shù)學學科新課程標準降低了對圓錐曲線統(tǒng)一定義和統(tǒng)一方程的要求，教材僅將其作為課后閱讀材料介紹，不作為基本的教學安排，但統(tǒng)一定義和統(tǒng)一方程是圓錐曲線與方程十分經(jīng)典的內(nèi)容，其重要性不容小覷.離心率作為圓錐曲線與方程部分新引入的概念，不僅是描述圓錐曲線扁平程度的幾何量，更是將圓錐曲線方程統(tǒng)一起來的紐帶，只有學習了統(tǒng)一定義，才能真正理解離心率的意義.因此，無論是從離心率的引入意義來看，還是從促進學生認知發(fā)展角度出發(fā)，統(tǒng)一定義和統(tǒng)一方程都是十分重要的.建議在圓錐曲線的個性定義和標準方程學習之后，介紹統(tǒng)一定義，以離心率e為中介建立圓錐曲線統(tǒng)一方程（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，分析e的不同取值下的具體情況，體味離心率的幾何意義及其與圓錐曲線之間千絲萬縷的聯(lián)系，讓學生的數(shù)學認知思維從低水平向高水平進一步發(fā)展，這樣一方面符合學生的認知規(guī)律和接受能力，另一方面也體現(xiàn)數(shù)學學科教學的前后連貫性、科學性和系統(tǒng)性.

3 結(jié)語

圓錐曲線方程形式多樣，各有特點.標準方程凝結(jié)著“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，盡顯數(shù)學之美，為初學者學習解析幾何搭建了明晰直觀的橋梁，使得學習能夠省心省力、進入佳境;一般方程萬變歸宗，從代數(shù)的角度凸顯圓錐曲線方程的本質(zhì)特征，將形形色色的標準方程統(tǒng)一于二元二次方程的形式，幫助學習者搭建了連續(xù)而系統(tǒng)的優(yōu)良認知結(jié)構(gòu).教學中還需仔細斟酌數(shù)學用詞，把握隱含于數(shù)學“微言”背后的“要義”，厘清差別，認識不同數(shù)學概念的獨特性;加強聯(lián)系，體會數(shù)學內(nèi)容之間的整體性.讓智慧之光在概念的準確定位中閃爍，讓精彩的課堂在概念的清晰引領下升華！

參考文獻

[1]B.A.蘇霍姆林斯基著.給教師的建議[M].杜殿坤編譯.北京：教育科學出版社，2004.

[2]中國社會科學院語言研究所詞典編輯室編.現(xiàn)代漢語詞典[M].北京：商務印書館出版社，2012.

[3]汪曉勤.橢圓方程之旅[J].數(shù)學通報，2013，52（4）：52-56.

[4]章建躍.人教A版高中數(shù)學課標教材中的解析幾何[J].中學數(shù)學教學參考，2007，10.

[5]章建躍.我國中學數(shù)學解析幾何教材的沿革[J].中學數(shù)學教學參考，2007（8）.

[6]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京師范大學出版，1999.