基于《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》的高中立體幾何公理化問題分析

許瑞

【摘 要】本文簡單地對高中立體幾何公理在幾個不同教材版本中的敘述進行比較，并結(jié)合《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》這本書中對幾條公理的來源和本質(zhì)進行逐一分析，最后對高中老師的教學(xué)提出一些可行的意見，來探討基于《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》的高中立體幾何公理化問題分析。

【關(guān)鍵詞】《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》;高中立體幾何;公理分析

一、《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》與高中立體幾何公理

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（D.Hilbert，1862—1943）在1899年發(fā)表了他的名著《幾何基礎(chǔ)》一書，提出了一套完整而簡潔的公理系統(tǒng)，根據(jù)這套系統(tǒng)不需要借助其他任何知識，可以直觀導(dǎo)出全部歐氏幾何的內(nèi)容。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》一書被公認為幾何學(xué)中的經(jīng)典著作，它標志著現(xiàn)代公理法的產(chǎn)生。

眾所周知，研究幾何首先要對研究對象起一個名詞（或術(shù)語），即下定義。但根據(jù)邏輯的要求最原始的一個或幾個名詞是無法加以定義的，這些不加定義的幾何對象被稱作基本對象。經(jīng)過深思熟慮后，希爾伯特把“點”“直線”“平面”作為基本對象不加定義，并把“點在直線上”“點在平面上”“一點在另兩點之間”“線段合同（相等）”“角合角（相等）”作為不加定義的基本對象之間的關(guān)系，稱為基本關(guān)系，對它們也不加以說明或解釋。三個基本對象和五個基本關(guān)系統(tǒng)稱為基本概念，除了這八個基本概念以外的任何幾何對象、名詞、術(shù)語、關(guān)系等都必須加以嚴格定義。而這些基本概念受下面五組（共20條）基本事實（即公理）制約。其中每一組表達了直觀而簡單的某種相互關(guān)系的基本事實，而這些基本事實是明顯的，也是必要的，也不可能加以說明或證明。而其它的幾何對象之間的關(guān)系、性質(zhì)、命題等都必須用這些基本事實加以證明，所以我們把這些基本事實稱為公理。筆者翻閱了多個版本的高中數(shù)學(xué)教材，包括人教A、B版，蘇教版，滬教版，北師大版，湘教版等，發(fā)現(xiàn)其中關(guān)于立體幾何的內(nèi)容基本上都是由以下四個公理推理演變而來的。

公理一：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi);公理二：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線;公理三：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面;公理四：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。這四條公理其實都是學(xué)生們初中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，最初的原因是因為學(xué)生剛剛步入高中，對于一些理論知識的掌握程度不夠，所以需要一些基本的框架來進行把握，這樣能夠快速入門高中立體幾何的知識并進行把握。而高中的立體幾何知識最基本的就是一個空間概念的把握，所以這幾個公理都是隨著“點、線、面”的關(guān)系來進行展開的，方便理解，而且能夠幫助孩子們快速建立一個基本的自信心，讓他們能夠擁有快速展開立體幾何知識學(xué)習(xí)的能力。數(shù)學(xué)是一個比較重視邏輯思維的科目，無論是數(shù)學(xué)的哪一個部分的學(xué)習(xí)。高中立體幾何更多的是對于空間想象能力還有邏輯思維能力的要求，也就是可以用最基本的點面線知識建立起一個空間想象能力。公理的存在就是將初中學(xué)習(xí)的基本理論知識當(dāng)做公理，讓學(xué)生們能夠快速適應(yīng)高中的立體幾何學(xué)習(xí)，然后很快地摸索到學(xué)習(xí)的門路和學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點進行學(xué)習(xí)。比如說：公理一，它主要是為了判斷直線是否在平面內(nèi)與點是否在平面內(nèi)，這個判斷是解決一些高中立體幾何知識的基礎(chǔ)，也是判斷空間是否存在的基礎(chǔ);公理二幫助學(xué)生構(gòu)架起空間概念，同時也提出了點共線的問題，提出了判斷兩個平面相交的證據(jù)，能夠順利地解決一些點線面的問題，構(gòu)架一個空間立體感;公理三主要提供了如何確定一個平面的方法和判斷若干個點是否在同一平面上的方面，是一個可以延伸很多理論的基礎(chǔ)點，具有很強的理論銜接性;公理四主要指出平面幾何和立體幾何之間的共性，一些在平面幾何中可以使用的觀點，其實在立體幾何中也可以運用，但是并不是所有的觀念都可以利用。這只是一個可以發(fā)散思路的關(guān)鍵詞，是一個基礎(chǔ)，比如：可以利用平面幾何來推導(dǎo)出立體幾何的等角定理。

通過對這四個定理以及定理在不同教材中的運用分析可以發(fā)現(xiàn)，公理其實充當(dāng)?shù)氖且粋€基本框架的作用，它是基礎(chǔ)本源，簡單直觀，而且比較容易理解和記憶。在初學(xué)者剛剛接觸到相關(guān)理論的時候，定理可以充當(dāng)一個基石的作用，充分地將理論知識發(fā)展出來，幫助學(xué)生構(gòu)建起立體幾何知識學(xué)習(xí)的大樓，可以從立體幾何的學(xué)習(xí)中去感受到理論知識和空間知識的美，感受到立體幾何學(xué)習(xí)的魅力，而且還可以幫助初學(xué)者樹立信心，讓他們了解到立體幾何其實是一門比較簡單且有意義的學(xué)科，幫助他們建立學(xué)習(xí)的興趣和自信心，讓學(xué)生可以更加積極主動地進行學(xué)習(xí)。

二、高中立體幾何公理化問題分析的教學(xué)意見

希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》提出了數(shù)學(xué)的真理性等價于系統(tǒng)的相容性，即在某個公理體系下，推不出任何互相矛盾的命題，這是對數(shù)學(xué)系統(tǒng)的唯一要求，希爾伯特從研究機和基礎(chǔ)開始提出了他的“形式主義”數(shù)學(xué)哲學(xué)觀即數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)。所以，教師在進行高中立體幾何公理化問題的教學(xué)的時候，要堅持數(shù)學(xué)的真理性，進行數(shù)學(xué)教學(xué)的時候要注意教學(xué)案例的教學(xué)分析，這是典型案例教學(xué)的方法，堅持指導(dǎo)和典型教學(xué)同時進行的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)學(xué)基本知識和基本解題思路，使學(xué)生能夠?qū)χR有一個明確的掌握。首先，在教授高中立體幾何公理化問題的時候，在基礎(chǔ)性教學(xué)之后先讓學(xué)生對立體幾何的公理化有一定的了解，能夠建立一個基本的框架和認識，然后利用典型案例教學(xué)讓學(xué)生能夠細致地進行理論分析，幫助他們有效地建立一個立體的認識，對知識有一定的把握，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和立體幾何思維能力，讓學(xué)生可以利用理論知識的學(xué)習(xí)構(gòu)建想象，然后培養(yǎng)出解題能力;其次，在對立體幾何的問題進行解答的時候，可以給出一些多角度進行解題的題目，讓學(xué)生發(fā)散思維去思考其他方向的解題思路，很多立體幾何的證明題一般都有多種解題答案，教師可以在平時教學(xué)的時候就有意識地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的思維和能力，幫助學(xué)生擴寬思路，培養(yǎng)學(xué)生對題目題干條件的分析轉(zhuǎn)化能力，提高學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化能力，幫助學(xué)生建立一個多角度解答問題的思維;最后，教師可以讓學(xué)生多多動手，鼓勵學(xué)生利用畫圖的手法進行學(xué)習(xí)。畫圖能力是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)立體幾何的一個重要的手段。畫圖學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生建立起空間分析能力，能夠更好地掌握一些立體幾何的特點，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的多角度思維的能力，雖然這個學(xué)習(xí)方法比較麻煩，但是在實際教學(xué)中是非常有利的，能夠幫助學(xué)生建立一個立體的觀念，讓學(xué)生能夠?qū)αⅢw幾何的相關(guān)理論具有一個認知，同時可以利用一些典型例題的解答幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)立體幾何的信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的積極性和主動性。

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