淺談高中不等式恒成立的解題策略

李建波 劉英

【摘要】 不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)知識體系中的重點與難點部分，也是歷年高考的高頻考點.不等式恒成立問題解題策略主要有最值法、變量分離法、更改主元法、數(shù)形結(jié)合法、特殊值法、分段討論法.

【關(guān)鍵詞】 不等式;恒成立;解題策略

高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題設(shè)計一般涉及函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識點，滲透著函數(shù)與方程、等價變換、換元、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.不等式恒成立問題在解題過程中有如下幾種策略：

題目一 ?已知函數(shù)f（x）=x2-2ax-2a，若x∈[0，2]， f（x）≥ 1恒成立，求a的取值范圍.

策略一 ?最值法+分類討論法

解法1 ?此題可以化為函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的最值問題.

x∈[0，2]，f（x）≥1恒成立x∈[0，2]，f（x） ?min ≥1

a≤0，f（x） ?min =f（0）=-2a≥1，

或 0<a<2，f（x） ?min =f（a）=-a2-2a≥1，

或 a≥2，f（x） ?min =f（2）=-6a+4≥1

解得a∈ -∞，- 1 2? .

點評：最值法是解決不等式恒成立問題最常用的方法之一.f（x）≥a恒成立f（x） ?min ≥a;f（x）≤a恒成立 f ?max （x）≤ a，在求最值過程中常用分類討論的思想方法.

策略二 ?變量分離法（構(gòu)造函數(shù)法）+最值法

解法2 ?x∈[0，2]，f（x）≥1恒成立x2-2ax- 2a≥ 1在x∈[0，2]恒成立

2a（x+1）≤x2-1在x∈[0，2]恒成立a≤ x-1 2 在 x∈ [0，2]恒成立.

令g（x）= x-1 2 ，x∈[0，2]，則- 1 2 ≤g（x）≤ 1 2 ，故a≤g（x） ?min =- 1 2 ，即a∈ -∞，- 1 2? .

點評：用變量分離的方法解決不等式恒成立問題基本步驟是將參數(shù)和主元分別位于不等式的左右兩邊，繼而巧妙地構(gòu)造了一個新函數(shù)，最后化歸為求新函數(shù)的最值問題.

策略三 ?更改主元法+最值法

題目 ?若不等式x2+mx>4x+m-3對于滿足1≤m≤4的所有實數(shù)m恒成立，求未知數(shù)x的取值范圍.

解 ?x2+mx>4x+m-3恒成立（x-1）m+x2-4x+3>0恒成立.

將參數(shù)m視為主元，則f（m）=（x-1）m+x2-4x+3為常函數(shù)或一次函數(shù).

當(dāng)x=1時，f（m）=0為常函數(shù)與f（m）>0不成立.

當(dāng)x≠1時，一次函數(shù)f（m）>0在m∈[1，4]恒成立 f（1）=x2-3x+2>0，x2-1>0， ?即x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）.

點評：在一些特定的條件下，若能更改主元，轉(zhuǎn)變思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且還可以快速解決不等式恒成立問題.

策略四 ?數(shù)形結(jié)合法

題目 ?當(dāng)x∈（1，2]時，不等式（x-1）2≤log ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍是 .

解 ?在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=（x-1）2與g（x）=log ax在x∈（1，2]的圖像，如圖可得：當(dāng) 0< a<1且x∈（1，2]時， f（x） 的圖像恒在g（x）上方，不合題意;當(dāng)a>1且x∈（1，2] 時，欲使f（x）的圖像恒在 g（x） 下方或部分點重合，就必須滿足log a2≥1，即1<a≤2.故所求的a的取值范圍為（1，2].

點評：對不等式兩邊進(jìn)行巧妙變形構(gòu)造兩個簡單的新函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，直觀形象，是解決高中不等式恒成立問題的一種有效的方法.

策略五 ?特殊值法

題目 ??數(shù)列{a n}的通項公式為a n= 1 5 [3n+（-1） n-1 · 2n]+（-1）n·2na 0，且a 0為常數(shù)，假設(shè)對于任意n≥1有 a n> a ?n-1 ，求a 0的取值范圍.

解 ?對于n≥1有a n>a ?n-1 ，取n=1，2就有 a 1-a 0=1-3a 0>0，a 2-a 1=6a 0>0 0<a 0< 1 3 ;

下面只要證明當(dāng)0<a 0< 1 3 時，就有對任意n∈ N 有a n-a ?n-1 >0即可.

由通項公式得5（a n-a ?n-1 ）=2·3 n-1 +3·（-1） n-1 ·2 n-1 +（-1）n·15·2 n-1 ·a 0.

當(dāng)n=2k-1時，5（a n-a ?n-1 ）=2·3 n-1 +3·2 n-1 -15·2 n-1 ·a 0>2·3 n-1 +3·2 n-1 -5·2 n-1 >0.

當(dāng)n=2k，5（a n-a ?n-1 ）=2·3 n-1 -3·2 n-1 +15· 2 n-1 · a 0>2·3 n-1 -3·2 n-1 >0，

可見總有a n>a ?n-1 .所以a 0的取值范圍是 0， 1 3? .

點評：由特殊到一般是人類認(rèn)識客觀世界的基本規(guī)律之一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究也一樣，所以在教學(xué)過程中有必要灌輸特殊值思想方法.

高中不等式恒成立問題涉及的知識面比較廣，解題方法靈活多變，學(xué)生掌握有很大的難度，這需要教師需要在各個備考階段不斷滲透不等式恒成立思想方法，以上方法是比較常用方法，供大家參考與借鑒.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.