幾何教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的一些思考和做法

上海市建平中學(xué)西校 薛肖峰

邏輯思維（Logical thinking），是人們在認(rèn)識事物的過程中借助于概念、判斷、推理等思維形式能動(dòng)地反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識過程，又稱抽象思維。它是作為對認(rèn)知者的思維及其結(jié)構(gòu)以及起作用的規(guī)律的分析而產(chǎn)生和發(fā)展起來的。只有經(jīng)過邏輯思維，人們對事物的認(rèn)識才能達(dá)到對具體對象本質(zhì)規(guī)定的把握，進(jìn)而認(rèn)識客觀世界。它是人的認(rèn)識的高級階段，即理性認(rèn)識階段。

同時(shí)在《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，學(xué)生需要逐步形成邏輯推理能力，知道進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的重要性，掌握演繹推理的基本規(guī)則和方法；能正確而簡明地表述推理過程，合理解釋推理的正確性。懂得從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，能有條理地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)。

這就要求我們初中階段的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，不僅要重視基本知識和基本技能的教學(xué)，更加要注重培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力，要引導(dǎo)學(xué)生樂于思維，善于思維，即學(xué)會如何思維、如何正確地思維、如何更好地思維，從而實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的目標(biāo)。

下面我來談?wù)勎以趲缀谓虒W(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的思考和做法：

一、在概念發(fā)生和發(fā)展過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，是從最基本的幾何圖形和概念入手，學(xué)習(xí)一些簡單幾何圖形的性質(zhì)和判定，從而培養(yǎng)邏輯思維能力。在這個(gè)過程中，學(xué)生會學(xué)到一些新的概念，新的概念的產(chǎn)生，一般也有一個(gè)邏輯鏈。對于這些概念的準(zhǔn)確理解，是學(xué)生邏輯思維能力形成過程中最基本的環(huán)節(jié)，我認(rèn)為只有邏輯關(guān)系清楚了，才能進(jìn)行邏輯思維。為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，提高他們的創(chuàng)新意識，我在平時(shí)的教學(xué)中特別重視一些基本概念的發(fā)生和發(fā)展的過程，重視概念和概念之間的關(guān)聯(lián)性、邏輯鏈，促進(jìn)學(xué)生的理解。舉例說明如下：

舉例1： 在研究直線型圖形中，我們往往是從邊、角和對角線三個(gè)方面展開。在特殊的平行四邊形“矩形”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我用幾何畫板課件動(dòng)態(tài)演示了一個(gè)平行四邊形是如何轉(zhuǎn)變成一個(gè)矩形的過程，由于“邊”上沒有變化，因此引導(dǎo)學(xué)生從“角”和“對角線”這兩個(gè)不同的角度去觀察平行四邊形到矩形的變化過程，從而總結(jié)出判定一個(gè)四邊形是矩形的不同的判定方法，讓學(xué)生知道平行四邊形和矩形之間的邏輯關(guān)系，以及判定方法。

舉例2：對于黃金三角形和比例中項(xiàng)的關(guān)系。我們知道，在比例中，如果兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，那么這兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)叫做比例中項(xiàng)。而如果一條線段AB被點(diǎn)P分成長短不一的兩段（如AP＞PB），其中當(dāng)AP是AB和PB的比例中項(xiàng)時(shí)，那么此時(shí)點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)。如果一個(gè)等腰三角形的底邊和腰或腰和底邊之比是那么我們把這樣的三角形稱之為“黃金三角形”，即所謂的“黃金三角形”就是腰長和底邊的長之間存在著比例中項(xiàng)的關(guān)系。而由五個(gè)全等的黃金三角形加上中間一個(gè)正五邊形，就組成五星紅旗中五角星的圖案，如圖所示。我通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，更加有助于學(xué)生對黃金分割這個(gè)概念的理解和掌握，從而能進(jìn)一步進(jìn)行邏輯思維。

二、在概念的辨析過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

我發(fā)現(xiàn)在幾何圖形中有一些基本概念很容易混淆，所以在這個(gè)時(shí)候更加需要把這些概念的內(nèi)涵和外延講清楚，通過辨析讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握各個(gè)概念的基本內(nèi)容，有利于對這些概念的靈活使用。為了達(dá)到這個(gè)目的，當(dāng)出現(xiàn)一些和以前學(xué)過的概念相類似的概念教學(xué)的時(shí)候，我會把這些類似的概念放在一起復(fù)習(xí)講解，加強(qiáng)學(xué)生對于這些基本概念的理解和掌握，正確理解它們之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

舉例3：當(dāng)學(xué)生學(xué)到三角形的中位線的這個(gè)課時(shí)的時(shí)候，我會把三角形的中線、三角形邊的中垂線和三角形的中位線這三條線的概念進(jìn)行梳理，讓學(xué)生分析他們的異同點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生對概念的理解。如圖所示：三角形的中線指的是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊中點(diǎn)的連線，三角形的中位線指的是三角形兩邊中點(diǎn)的連線，三角形一邊的中垂線僅僅指的是線段的中垂線，且它是一條直線，這些中垂線不一定經(jīng)過這些邊所對的頂點(diǎn)。并且我還會為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)埋下伏筆，給他們留幾個(gè)問題思考，例如①三角形三條中線的交點(diǎn)G到中點(diǎn)的距離和到所對頂點(diǎn)的距離之間的關(guān)系；②三角形三條中位線圍成的小三角形的周長、面積和原三角形的周長、面積之間的關(guān)系；③三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離的關(guān)系。這三個(gè)問題為學(xué)生以后學(xué)習(xí)三角形的重心定理、相似三角形的性質(zhì)定理以及三角形的外心做了很好的鋪墊。進(jìn)一步理清有關(guān)概念，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。

三、在幾何定理的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

學(xué)習(xí)幾何證明，最主要的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，但這一任務(wù)也相當(dāng)艱巨，因?yàn)檫@對學(xué)生來講是有很大的難度，所以一直是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何過程中最主要的難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何證明的過程經(jīng)常會“所見即所得”，上下文之間沒有明確的邏輯關(guān)系，或者條件缺失。我發(fā)現(xiàn)，這個(gè)現(xiàn)象主要是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)一些幾何定理的時(shí)候沒有分清楚定理的題設(shè)和結(jié)論，所以導(dǎo)致書寫的時(shí)候因果關(guān)系不完整，甚至因果關(guān)系顛倒。為了盡可能避免這種情況發(fā)生，我會在定理教學(xué)的過程中，特別注重對于定理的三種不同表達(dá)形式的傳授，即“文字語言”、“圖形語言”和“符號語言”的傳授。

舉例4：在垂徑定理的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我不僅要求學(xué)生注重這個(gè)定理的文字語言表達(dá)，即“垂直于弦的直徑平分弦并且平分弦所對的兩條弧”，著重強(qiáng)調(diào)“垂直于弦的直徑”是題設(shè)，“平分弦并且平分弦所對的兩條弧”是結(jié)論，尤其是注意題設(shè)中實(shí)際上包含了兩個(gè)條件，“直徑”和“垂直于弦”，并且配合圖形，將符號語言書寫格式完整的展示給學(xué)生看。

而且，在這個(gè)定理及其推論的應(yīng)用過程中，我也會反復(fù)強(qiáng)調(diào)必須準(zhǔn)備2個(gè)條件作為已知的重要性。并且還要特別提醒學(xué)生，垂徑定理的其中一個(gè)推論“平分弦的直徑垂直弦并且平分弦所對的弧”當(dāng)中，這條弦不能是直徑，從而體現(xiàn)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。只有這樣嚴(yán)格的要求，學(xué)生才能學(xué)會正確的邏輯思維方式。

四、在幾何證明的訓(xùn)練過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

在基礎(chǔ)知識落實(shí)后，為達(dá)到學(xué)習(xí)幾何最主要的目的，我們要學(xué)習(xí)利用這些基礎(chǔ)知識證明一些幾何問題，在此時(shí)，我特別關(guān)注思維解決問題的方式：1.從條件出發(fā)，推得結(jié)論；2.從結(jié)論出發(fā)，探尋條件；3.兩種方式相結(jié)合，獲得結(jié)論。經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從這三個(gè)方面思考問題，因?yàn)檫@也是我們進(jìn)行邏輯思維的一般方法。而此時(shí)，數(shù)學(xué)思想的滲透是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力很好的方法。例如：

已知：如圖，BE、BF分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABC的平分線，AE⊥BE，垂足為點(diǎn)E，AF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M和N.

對于這個(gè)問題，根據(jù)已知條件，

這一結(jié)論，可考慮證明MN是△ABC的中位線，即M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)。這可以由矩形的對角線互相平分證得M是邊AB的中點(diǎn)，最后再證MN∥BC，得到N是邊AC的中點(diǎn)。而證平行，可考慮把問題轉(zhuǎn)化為證∠MEB=∠EBC，也體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化歸思想在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的作用。

另外我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決各類幾何證明題的過程中不會“觸類旁通”，不會“舉一反三”，為了更好的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，充分挖掘例題的功能，解決類似的現(xiàn)象，我采取了以下三種策略。

1. 一題多解

在幾何教學(xué)的過程中，經(jīng)常會遇到一些問題，它們的解題方法不唯一，學(xué)生可以從不同的角度思考和探索，從而得到不同的解題方法。這就需要我們教師經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理解決常見問題的基本方法，那么學(xué)生才能會想到解決問題的不同方法，然后通過學(xué)生和學(xué)生互相交流的方法，促進(jìn)他們邏輯思維能力的提高。

例如在下述這個(gè)問題中要證明兩直線平行，我啟發(fā)學(xué)生從不同的維度來思考證明兩直線平行的證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

方法二：從比例線段的角度上思考，只要證明：

方法三：從三線八角的角度上思考，

可以看到，同樣是證明平行，對于不同學(xué)段的學(xué)生來說，都有各自不同的方法可以證明，體現(xiàn)了幾何證明中“一題多解”的特點(diǎn)。如果學(xué)生能夠把這幾種方法分析清楚，那么對于學(xué)生來說，以后再碰到證明兩直線平行的問題，他們就可以從不同的角度去思考了。對于提高學(xué)生的邏輯思維能力來說，起到了非常重要的拓展思維的作用。

方法四：利用面積證明，即只要證明△ABD和△ABC的面積相等，我們就比較容易證得CD∥AB。

2. 多題一解

在有些問題中，雖然題目的已知條件不同、圖形也不同，但是解決這些問題的方法確實(shí)一致的。學(xué)生只要通過歸納總結(jié)，就可以得到一個(gè)行之有效的方法來解決這一類問題，達(dá)到“舉一反三”的效果，進(jìn)一步提高自己的邏輯思維能力。

例如：以下這一組問題，就可以采取相同的方法來解決。

舉例6：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，AB=6，AC=5，DE=4，若△ABC與△DEF相似，求DF的長。

解法分析：由于∠A和∠D的兩邊對應(yīng)關(guān)系不確定，所以有兩種對應(yīng)關(guān)系，分別是：或者再將已知條件代入得到兩個(gè)方程：分別解方程即可。

舉例7：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上的中點(diǎn)，其中AB=9，AC=6，問邊AB上是否存在點(diǎn)E，使得△ADE與△ABC相似。

解法分析：由于∠A是這兩個(gè)三角形的公共角，而△ADE中AD的對應(yīng)邊不確定，

舉例8：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，點(diǎn)E為線段AB上不與A、B重合的點(diǎn)，且AD=2，BC=3，AB=7，當(dāng)△ADE與△EBC相似時(shí)，求出AE的長及DE∶EC的值

解法分析：圖中∠A=∠B=90°，而這兩個(gè)角的兩邊的對應(yīng)關(guān)系不確定，所以有兩種對應(yīng)關(guān)系，分別是：或者再將已知條件代入得到兩個(gè)方程：或分別解方程即可。

舉例9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1,0），點(diǎn)C（2,1），點(diǎn)D在直線x=1上，當(dāng)△AOC與△ADC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

解法分析：經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D只能在直線x=1中位于x軸下方的部分上，此時(shí)∠OAC=∠CDA=135°，那么這兩個(gè)角的邊的對應(yīng)關(guān)系就有兩種可能再將線段AO、AC的長度分別代入得：分別解方程可得或 1 則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-2）或（1，-1）

可以看到，在這些不同問題的背后，實(shí)際上隱藏著相同方式的解法。雖然題目的圖形和條件略有不同，解題要求也略有不同，但是分析問題的方法和思維的角度基本是一直的。學(xué)生只要掌握了正確的思維方法，就可以準(zhǔn)確的解決這一類問題。

3.一題多變

有些問題及其圖形

例如在相似三角形的判定和性質(zhì)的教學(xué)過程中，我做了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力：

這個(gè)過程，體現(xiàn)了從特殊到一般，再從一般到特殊的變化，在這個(gè)變化過程中，有不變的關(guān)系，也有改變的內(nèi)容。學(xué)生可以從中體會到幾何圖形變化中的奧妙，對于提高學(xué)生的邏輯思維能力起到積極的作用。

總之，學(xué)生從入門的幾何概念幾何圖形幾何定理開始不斷地學(xué)習(xí)，一直到較復(fù)雜的邏輯推理論證，這是一個(gè)個(gè)漫長的過程。在這個(gè)漫長的過程中，老師要嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍地給學(xué)生做好示范，還要給學(xué)生創(chuàng)造自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，既要“腳踏實(shí)地”也要“異想天開”，要求學(xué)生遵守邏輯規(guī)則，正確運(yùn)用各種定理和方法。只有這樣，才能完成培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯思維能力的任務(wù)。