SV波斜入射形成的動應(yīng)力路徑及影響因素分析

黃 博， 李琪群,3， 凌道盛， 王 宇

(1.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院巖土工程研究所，杭州 310058； 2.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310058；3.中交第四航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，廣州 510230)

場地土體是地震災(zāi)變傳播的媒介和承災(zāi)體。一般認(rèn)為，地震的破壞作用主要是由基巖豎直向上傳播的剪切波引起的?；谶@種認(rèn)識，對土體在地震作用下動力響應(yīng)的研究，多采用Seed等[1-4]提出的簡化方法，通過動單剪或動三軸儀在試樣上施加等效振次的正弦波，模擬垂直入射時SV波在土單元體上產(chǎn)生的水平往復(fù)剪應(yīng)力作用。

隨著土工儀器功能的進(jìn)步，研究地震波的隨機(jī)性、多向性等特征下的土體動力響應(yīng)特性成為可能。Ishihara等[5]將不規(guī)則地震波分為沖擊型波和振動型波，通過動三軸試驗(yàn)證實(shí)兩種類型地震波對飽和砂土液化特性影響顯著；袁曉銘等[6-7]進(jìn)一步通過室內(nèi)動力試驗(yàn)、有限元數(shù)值方法研究了地震波加載次序、不對稱性、加載方向、地震波類型、加載維數(shù)等，發(fā)現(xiàn)這些因素對土體動力變形的影響非常顯著。在較早研究地震多向性對土體動力特性影響的學(xué)者中，Ishihara等[8]利用動單剪儀對飽和砂土進(jìn)行了不同相位差下的雙向動剪切試驗(yàn)，試驗(yàn)顯示雙向振動時砂土的動強(qiáng)度更低；Pyke等[9]進(jìn)行的干砂單、雙及三向振動試驗(yàn)表明多向振動的震陷量更大；谷川等[10]利用變圍壓動三軸試驗(yàn)?zāi)M了垂直入射的P波和SV波的耦合作用。研究表明多向振動下土體的動強(qiáng)度要比單向振動時下降20%～30%，超靜孔壓的累積速率明顯加快，變形增大，更易發(fā)生液化。

上述研究著重考慮的影響因素雖有所不同，但均基于地震波垂直入射假定。實(shí)際上，在大多數(shù)情況下地震為斜入射。Jin等[11]通過1933～1980年美國214個地震動記錄，分析得出一般基巖場地的地震波入射角大致為45°～75°，平均入射角和標(biāo)準(zhǔn)差為56.78°±6.77°；Takahiro等[16]根據(jù)日本24個強(qiáng)震記錄反演得出地震波近地表處的入射角平均值為38°，變化范圍為12.4°～54.1°。

土的動力特性與其動應(yīng)力路徑有關(guān)。通過針對飽和砂土的動力空心圓柱扭剪試驗(yàn)，丁浩等[12]指出圓形、橢圓形應(yīng)力路徑下的不排水動強(qiáng)度低于循環(huán)扭剪和循環(huán)三軸。交通[14]與波浪荷載[15]等動載形成的復(fù)雜應(yīng)力路徑對土體動力特性影響也非常顯著。

對SV波斜入射下動應(yīng)力路徑變化規(guī)律的研究，是進(jìn)行地震作用下土體動力特性研究的基礎(chǔ)，對深入了解土體動應(yīng)變、動孔壓、動強(qiáng)度的變化發(fā)展規(guī)律具有重要意義?；趶椥圆▌永碚?，本文分析了SV波斜入射在場地中形成的動應(yīng)力路徑形式，特別討論了SV波入射角大于臨界角的特殊情況。在此基礎(chǔ)上，分析了入射角、土體泊松比、單位波長深度等因素對動應(yīng)力路徑形狀和大小的影響；并將本文方法與Seed給出的SV波垂直入射時產(chǎn)生的地震剪應(yīng)力進(jìn)行了對比。

1 斜入射SV波形成的應(yīng)力路徑

1.1 入射角小于臨界角情況

基于彈性波動理論，P波和SV波斜入射在半無限空間的自由表面形成反射，地基土中任一點(diǎn)地震波引起的動應(yīng)力是入射和反射波場的疊加。但不同的是，SV波斜入射存在一個臨界入射角，臨界角γc可由下式計(jì)算：

(1)

式中：vs為SV波波速；vp為P波波速；μ為土體泊松比。

當(dāng)γ<γc時，入射SV波將產(chǎn)生反射SV波和反射P波。建立平面直角坐標(biāo)系xoz，如圖1(a)所示，與P波斜入射時情況類似，入射和反射SV波的勢函數(shù)可表示為式(2)、(3)形式：

ψ-=B-exp[ik1(xsinγ-zcosγ-vst)]

(2)

ψ+=B+exp[ik2(xsinβ+zcosβ-vst)]

(3)

反射P波的勢函數(shù)表示為：

φ+=A+exp[ik(xsinα+zcosα-vpt)]

(4)

(a) γ<γc

(b) γ >γc圖1 斜入射地震波在自由表面的反射Fig.1 Reflection of obliquely incident seismic waves on free surface

根據(jù)Snell定律，各參數(shù)的關(guān)系可由視波數(shù)k0、視波速vo和反射介質(zhì)常數(shù)K表達(dá)為：

(5)

B-、B+、A+為波幅，其相互間的比例關(guān)系可由半空間邊界條件：

(6)

確定為：

(7)

圖2 斜橢圓應(yīng)力路徑示意圖Fig.2 Typical oblique elliptic stress path

1.2 入射角大于臨界角情況

當(dāng)SV波入射角大于臨界角時，如圖1(b)所示，不存在通常意義上的反射P波，即反射角α不再是一實(shí)數(shù)角。因此將入射角γ和P波反射角α的大小定義為：

(8)

式中：i為虛數(shù)單位，

(9)

(10)

將式(8)代入式(4)，反射P波勢函數(shù)表示為：

φ+=A+exp(-rk0z)exp[ik0(x-v0t)]

(11)

式中：反射P波的波幅A+exp(-rk0z)是隨深度z呈指數(shù)減小的函數(shù)，這反映了反射P波的面波特性。

類似地，將式(8)分別代入式(2)、(3)，整理得入射、反射SV波的勢函數(shù)：

ψ-=B-exp[ik0(x-v0t)-ik0sz]

(12)

ψ+=B+exp[ik0(x-v0t)+ik0sz]

(13)

根據(jù)邊界條件(6)，推得反射P波、反射SV波與入射SV波的幅值比表達(dá)式為：

(14)

式中：

(15)

(16)

(17)

式中: 系數(shù)M1、M2、N1、N2均與ξ無關(guān)，分別為：

(18)

若將式(17)視為ξ的參數(shù)方程，且有M1N1+M2N2≡0，利用消去法與三角函數(shù)關(guān)系sin2ξ+cos2ξ=1可推得：

(19)

至此，從數(shù)學(xué)上證明了斜入射角γ>γc的SV波產(chǎn)生的動應(yīng)力路徑在無量綱雙剪應(yīng)力平面內(nèi)的軌跡亦為斜橢圓。以rx、ry分別表示橢圓在雙剪應(yīng)力X,Y方向上的半徑長：

(20)

圖3 γ>γc時形成的正橢圓應(yīng)力路徑Fig.3 Induced positive elliptic stress path when γ>γc

(21)

描述橢圓的形狀。該比值可以直觀反映兩個剪應(yīng)力分量的比例。圖4給出了ry/rx<1、ry/rx=1、ry/rx>1三種情況下的橢圓形狀。取橢圓中較大的半徑max{rx,ry}描述橢圓的大小，可以反映地震動應(yīng)力水平。

圖4 不同ry/rx下應(yīng)力路徑形狀Fig.4 Ellipse stress paths under different ry/rx

2 動應(yīng)力路徑形狀分析

對式(20)、(21)以及式A-Ⅱ-(12)～ (14)的進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，影響SV波斜入射產(chǎn)生的斜橢圓形動應(yīng)力路徑的參量有入射角γ、泊松比μ和單位波長深度zf/vs。根據(jù)Yang等[20]對土體飽和度與泊松比的分析，本文泊松比μ考慮0.3，0.4，0.48三種情況，分別代表土體中等飽和、近似飽和完全飽和三種狀態(tài)。取淺層地基為研究對象，單位波長深度zf/vs變化范圍為0～0.5。

2.1 入射角小于臨界角情況

圖5給出了根據(jù)式(1)繪制的SV波臨界角與土體泊松比的關(guān)系曲線，土體越接近飽和，臨界角越小。當(dāng)μ為0.3，0.4，0.48時，對應(yīng)臨界角分別為11.31°、24.09°和32.30°。

圖5 SV波臨界角隨泊松比變化曲線Fig.5 Curve of SV-waves critical angle versus Poisson’s ratio

圖6給出μ=0.4，γ= 10°時斜橢圓路徑傾角θ和短長軸比δ隨zf/vs的變化曲線以及代表性點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力路徑形狀示意。圖中曲線可分為三個變化階段。第Ⅰ段θ從0急劇增大到接近90°，δ從0呈線性增大到接近1，表明斜橢圓由扁平狀逐漸向正圓形變化，如圖中A到B點(diǎn)。第Ⅱ段占整條曲線的絕大部分，θ保持或接近90°，而δ經(jīng)歷了從極大值(B點(diǎn))降低到0(D點(diǎn)) 再逐漸增大至另一個極值(F點(diǎn))的變化，這表明Ⅱ段應(yīng)力路徑是長軸在Y軸附近而扁平率不斷變化的橢圓，如B～F點(diǎn)的應(yīng)力路徑形狀變化。圖中D點(diǎn)δ為0，表示動應(yīng)力僅有水平剪應(yīng)力分量，沒有偏差正應(yīng)力分量。第Ⅲ段斜橢圓變化趨勢則與第Ⅰ段相反，如F～G點(diǎn)應(yīng)力路徑所示。

圖7給出了入射角γ=10°時，不同泊松比下橢圓路徑θ和δ隨zf/vs的變化曲線，圖8給出了μ=0.4時，不同入射角下橢圓路徑θ和δ隨zf/vs的變化?？梢?，小于臨界角時，θ或δ隨zf/vs的變化仍呈三個發(fā)展階段。隨入射角從1° 增大至20°，Ⅱ區(qū)間范圍縮小了36.6%，傾角θ的最大值有一定降低，但變化很小，僅3.8°；當(dāng)泊松比從0.3變化至0.48，對Ⅱ區(qū)間范圍和傾角最大值均影響不大。在更接近地表的Ⅰ區(qū)間，入射角和泊松比的增大均使得斜橢圓形狀向水平剪應(yīng)力分量占比減小的方向發(fā)展。

圖6 當(dāng)γ=10°且μ=0.4時，θ和δ隨z f/vs變化曲線Fig.6 θ and δ develop with z f/vs when γ=10° and μ= 0.4

圖7 當(dāng)γ=10°時，不同泊松比下θ和δ隨z f/vs變化曲線Fig.7 θ and δ develop with z f/vs varying at different Poisson’s ratio when γ=10°

2.2 入射角大于臨界角情況

γ>γc時，形成的動應(yīng)力路徑均為正橢圓，僅需考察ry/rx的變化即可確定橢圓形狀。圖9給出了ry/rx隨zf/vs的典型變化模式(γ=10°,μ=0.4)。曲線的變化趨勢可大致分為兩段，第Ⅰ段ry/rx從0單調(diào)急劇增大至∞，由扁平橢圓變?yōu)樨Q直橢圓，如圖中A、B點(diǎn)，剪應(yīng)力中偏差正應(yīng)力分量所占比例不斷減小，而水平剪應(yīng)力分量比例逐步增大；第Ⅱ段ry/rx從∞減小至0，橢圓路徑經(jīng)歷了如圖B，C，D點(diǎn)的形狀變化，剪應(yīng)力中兩個分量的占比變化恰與第Ⅰ段相反。其中，C點(diǎn)應(yīng)力路徑為圓形、D點(diǎn)應(yīng)力路徑為直線，可視為橢圓的特殊情況。在D點(diǎn)之后，ry/rx的變化周期性重復(fù)第Ⅰ、Ⅱ段的變化模式，此處不作贅述。

圖8 當(dāng)μ=0.4時，不同入射角下θ和δ隨z f/vs變化曲線Fig.8 θ and δ develop with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

圖9 當(dāng)γ=60°且μ=0.4時，ry /rx隨z f/vs變化曲線Fig.9 ry/rx develops with z f/vs when γ=60° and μ= 0.4

圖10給出了μ=0.4時，不同入射角下ry/rx隨zf/vs的變化。不同入射角下橢圓路徑也如圖9所示分成典型的兩階段變化。在μ=0.4下，隨入射角度從50°增大至89°，Ⅰ、Ⅱ段的橫坐標(biāo)分界點(diǎn)zf/vs從0.031增大至0.106，ry/rx=0對應(yīng)的D點(diǎn)出現(xiàn)位置也隨之增大了0.247。以入射角45°為界，45°以下至臨界角也有上述類似的規(guī)律，但其曲線段Ⅰ相比入射角50°以上時占據(jù)范圍更大。以30°為例，在本文考慮的zf/vs變化范圍0～0.5，幾乎均為區(qū)段Ⅰ占據(jù)。宏觀上，入射角增大使得處于區(qū)段Ⅰ的橢圓路徑朝水平剪應(yīng)力分量占比減小的方向發(fā)展，區(qū)段Ⅱ反之。

圖10 當(dāng)μ=0.4時，不同入射角下ry/rx隨z f/vs變化曲線Fig.10 ry /rx develops with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

入射角為45°是一特殊情況，如圖11(a)所示，此時半空間中不發(fā)生波型的轉(zhuǎn)換，即不產(chǎn)生反射P波，與此對應(yīng)的rx、ry變化如圖11(b)所示，ry恒為0，即剪應(yīng)力中只存在偏差正應(yīng)力分量，其應(yīng)力路徑與圖9中D點(diǎn)一致。

(a) 45°入射角在半空間中的反射情況

(b) 剪應(yīng)力分量變化曲線圖11 45°入射角在半空間中特殊反射情況下的剪應(yīng)力分量Fig.11 Special reflection and shear stress components with 45° incident angle in semi-infinite space

以γ= 60°為參考，圖12中給出了不同泊松比時ry/rx隨zf/vs的變化曲線。在本文的zf/vs考察范圍內(nèi)，泊松比μ對應(yīng)力路徑形狀影響很小，對Ⅰ區(qū)段無影響，在Ⅱ區(qū)段，隨μ增大ry/rx稍有增加，即水平剪應(yīng)力分量占比有一定增大。

圖12 當(dāng)γ=60°時，不同泊松比下ry/rx隨z f /vs變化曲線Fig.12 ry/rx develops with z f/vs varying at different Poisson’s ratio when γ= 60°

3 動偏應(yīng)力幅分析

在多向振動時，通常以偏應(yīng)力來衡量動應(yīng)力的大小[21]，定義如下：

(22)

圖13 斜橢圓應(yīng)力路徑的偏應(yīng)力Fig.13 Deviator stress of obliquely elliptic stress path

3.1 入射角小于臨界角情況

如圖14所示，μ=0.4時，γ<γc下斜橢圓路徑長半軸長La隨zf/vs的變化可概括為“穩(wěn)-拋-穩(wěn)”，即中間段類似拋物線形，在本文的所取參數(shù)變化范圍內(nèi)，La最大值為2左右。無量綱量zf/vs也可視為無量綱頻率，圖14中La達(dá)到峰值對應(yīng)的最小zf/vs值為土體一階固有頻率，大致為0.25。由于土體阻尼的存在，相比于二階及其后的高階固有頻率，一階固有頻率對應(yīng)的動應(yīng)力幅值通常最大。結(jié)合圖7，一階固頻內(nèi)的動應(yīng)力主要是水平剪應(yīng)力分量。隨入射角增大，一階固有頻率略有增加，而最大動應(yīng)力水平稍有降低。μ對動偏應(yīng)力幅影響普遍較小，曲線差別不大，不再一一給出圖形。

值得指出的是，在曲線起始段La并未從0開始，而是存在幅值幾乎不變的穩(wěn)定區(qū)，在該區(qū)域內(nèi)La變化很小。結(jié)合圖7，地表淺層平穩(wěn)段對應(yīng)于δ曲線的第Ⅰ段，動應(yīng)力以偏差正應(yīng)力分量為主。說明偏差正應(yīng)力受zf/vs影響較小。但該段隨入射角增加La提升明顯，是近垂直入射的十?dāng)?shù)倍。在曲線末段同樣也存在類似的幅值穩(wěn)定區(qū)，考慮到半波長深度土體自重應(yīng)力也隨之增大，同樣的動應(yīng)力水平下，地表淺層區(qū)域動應(yīng)力比更大，因此更為危險。

圖14 當(dāng)μ=0.4時，不同入射角下La隨z f /vs變化曲線(γ<γc)Fig.14 La develops with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

3.2 入射角大于臨界角情況

圖15給出了μ=0.4時，γ>γc下max{rx,ry}隨zf/vs的變化。在本文研究的參數(shù)變化范圍內(nèi)，曲線表現(xiàn)為明顯的“降-穩(wěn)-拋”三段式，即起始段隨zf/vs增大呈線性下降，中間段隨zf/vs稍有增大，這兩段僅占整條曲線的很小部分。起始段max{rx,ry}減小是由于近地表處P波波幅的迅速衰減所致，結(jié)合圖10，此時的動應(yīng)力以偏差正應(yīng)力分量為主。說明偏差正應(yīng)力反而受zf/vs影響明顯，不同于γ<γc的情況。第三段呈拋物線，不僅占整條曲線的絕大部分，且max{rx,ry}變化幅度也最大，同樣的，在本文的所取參數(shù)變化范圍內(nèi)max{rx,ry}峰值在2左右。隨著入射角度增大max{rx,ry}峰值下降，當(dāng)入射角度為80°～90°，即近水平入射時，在半波長深度范圍內(nèi)max{rx,ry}不超過0.5，動應(yīng)力水平整體較低。

入射角為45°的特殊情況，從圖11(b)的rx,ry曲線變化表明此時僅有剪應(yīng)力分量τxz，即max{rx,ry}=ry，其隨無量綱深度呈拋物線變化如ry曲線。相近角度下具有類似的特性，如40°情況下的曲線與γ<γc情況相似，泊松比的變化對動剪應(yīng)力水平影響很小。限于篇幅，不一一給出相應(yīng)曲線。

圖15 當(dāng)μ=0.4時，不同入射角下La隨z f/vs變化曲線(γ>γc)Fig.15 La develops with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

3.3 與Seed方法計(jì)算的地震剪應(yīng)力比較

Seed-Idriss[4]對垂直向入射SV波采用下式計(jì)算地震峰值動剪應(yīng)力：

(23)

黃博等[17]將入射波頻率1 Hz，泊松比0.42等參數(shù)值代入，比較了7度地震(地表峰值加速度0.1 g)時，采用本文方法和Seed方法計(jì)算的SV波垂直入射產(chǎn)生的地震動剪應(yīng)力。結(jié)果表明：對于密度1 800 kg/m3的土體，將剪切波速取300 m/s以上便可視為Seed-Idriss假定的剛性地基，將剪切波速取80 m/s左右便與剛度修正結(jié)果基本吻合，能反映淺層土體的平均剛度。這也從側(cè)面說明本文方法的正確性。

為比較斜入射SV波引起的地震動應(yīng)力大小，圖16給出了土體泊松比為0.3、0.4、0.48，質(zhì)量密度1 800 kg/m3、剪切波速80 m/s時，SV波不同角度入射時峰值動偏應(yīng)力幅隨深度的關(guān)系曲線，其中斜入射波的波幅、波頻同黃博等研究保持一致。圖中，Seed-Idriss修正剛度法足夠?qū)⒋蟛糠止r下的最大動偏應(yīng)力包括在內(nèi)，但在入射角度20°～40°之間，12 m深度以內(nèi)的淺層地基出現(xiàn)無法包絡(luò)在內(nèi)的更不利情況，動應(yīng)力大于其它情況，是危險的入射角范圍。當(dāng)泊松比取值為0.4時，30°入射角產(chǎn)生的動偏應(yīng)力最大，分別是泊松比0.3、0.48時的1.3倍～1.9倍和1.04倍～1.15倍?；谏鲜鼋Y(jié)果可初步推斷，近似飽和的地基在SV波30°左右斜入射工況下最為危險。

(a) μ= 0.3

(b) μ= 0.4

(c) μ= 0.48圖16 不同入射角度、泊松比下動偏應(yīng)力幅值隨深度的變化Fig.16 Dynamic deviatoric stress amplitude varies with depth under different incident angle and Poisson’s ratio

4 結(jié) 論

SV波存在一個臨界角，這使得斜入射SV波形成的應(yīng)力路徑在入射角大于和小于臨界角時具有不同特征。當(dāng)入射角小于臨界角時，單位波長深度范圍內(nèi)應(yīng)力路徑以豎直扁橢圓形式為主，水平剪應(yīng)力分量是主要的剪應(yīng)力形式，當(dāng)入射角大于臨界角時，則多為以偏差正應(yīng)力為主的水平扁橢圓形式。

橢圓路徑的長半軸長La或max{rx,ry} 是SV波產(chǎn)生的動偏應(yīng)力幅，代表了地震波引起的動應(yīng)力水平，受泊松比的影響較小。當(dāng)入射角小于臨界角時，0.25的單位波長深度下應(yīng)力水平最高，長半軸達(dá)到2左右。入射角大于臨界角后，由于反射P波以面波形式存在，淺層區(qū)域延深度方向有明顯的動應(yīng)力衰減跡象。至近水平入射，長半軸的值普遍低于0.5。近飽和的地基在斜入射角為20°～40°之間產(chǎn)生的動應(yīng)力最大，且此時斜入射形成的動應(yīng)力比傳統(tǒng)的Seed-Idriss計(jì)算方法得到的結(jié)果更大，最為危險。

可見，斜入射條件下，SV波引起的動應(yīng)力路徑形式多變，動應(yīng)力水平有可能更高。僅考慮地震波垂直入射還不足以涵蓋最危險的震災(zāi)工況，對SV波斜入射條件下土體的動應(yīng)力響應(yīng)研究很有必要。

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附錄

Ⅰ單一SV波小于臨界角斜入射產(chǎn)生的地震動應(yīng)力路徑形式

A-1-(1)

式中:M1、M2、N1、N2具體表達(dá)式如下，

A-Ⅰ-(2)

A-Ⅰ-(3)

對比斜橢圓方程的一般形式及條件：

Ax2+By2+2Cxy=1(C2-AB<0)

A-Ⅰ-(4)

Ⅱ小于臨界角動應(yīng)力路徑特征參數(shù)解析表達(dá)式

數(shù)學(xué)上，斜橢圓的解析表達(dá)式可表示成由幾何參數(shù)構(gòu)成的形式：

A-Ⅱ-(1)

如圖2所示，2La表示斜橢圓長軸長，2Lb表示斜橢圓短軸長。θ表示斜橢圓的傾斜角(長軸與X正半軸夾角，逆時針為正)，反映了橢圓的傾斜程度。短長軸之比δ=Lb/La也稱為橢圓率，反映橢圓扁平程度。A-Ⅱ-(1)式中中括號內(nèi)的式子代表長半軸長為 1 的單位斜橢圓。因此θ、δ和La三個參數(shù)是斜橢圓的特征參數(shù)。

將式A-Ⅰ-(3)整理為式A-Ⅱ-(1)形式，從而得到SV波斜入射形成的無量綱斜橢圓應(yīng)力路徑的特征參數(shù)表達(dá)式。該特征參數(shù)的表達(dá)式和具體推導(dǎo)過程如下：

AX2+BY2+2CXY=1

A-Ⅱ-(2)

A-Ⅱ-(3)

A-Ⅱ-(4a)

A-Ⅱ-(4b)

A-Ⅱ-(4c)

分析并聯(lián)立上述結(jié)果得：

A-Ⅱ-(5a)

A-Ⅱ-(5b)

A-Ⅱ-(6)

A-Ⅱ-(7)

A-Ⅱ-(8)

得到上述參數(shù)關(guān)系后，利用式A-Ⅰ-(2)繼而推導(dǎo)A，B，C的解析表達(dá)式如下：

A-Ⅱ-(9)

A-Ⅱ-(10)

A-Ⅱ-(11)

再利用A-Ⅱ-(5)～A-Ⅱ-(8)的關(guān)系式，可以最終推導(dǎo)出斜橢圓特征參數(shù)的解析表達(dá)式如下：

A-Ⅱ-(12a)

A-Ⅱ-(12b)

A-Ⅱ-(13)

A-Ⅱ-(14)

Ⅲ符號表

x為半空間中水平坐標(biāo)，

z為半空間中豎向坐標(biāo)(深度)，

σx為水平動正應(yīng)力，

σz為豎向動正應(yīng)力，

τxz為水平動剪應(yīng)力，

τmax為峰值水平動剪應(yīng)力，

(σ1-σ3)/2為動偏應(yīng)力，

X= (σz-σx)/(2A-ρω2)為無量綱偏差正應(yīng)力，

Y=τxz/(A-ρω2)為無量綱水平剪應(yīng)力，

α為P波反射角，

γ為SV波入(反)射角，

γc為SV波臨界角，

ψ+、ψ-為SV波勢函數(shù)，下標(biāo)“-”指入射波，“+”指反射波，下同。

φ+為P波勢函數(shù)，

B-、B+為SV波波幅，

A+為P波波幅，

k0為視波數(shù)，

k、k1、k2為波數(shù)，分別對應(yīng)于反射P波、入(反)射SV波，

ω、ω1、ω2為圓頻率，與波數(shù)下標(biāo)相對應(yīng)，

f為波頻，

vp為P波波速(或壓縮波波速)，

vs為SV波波速(或剪切波波速)，

zf/vs為單位波長深度(或無量綱頻率)，

ux為坐標(biāo)x方向(水平向)的位移，

uz為坐標(biāo)z方向(豎直向)的位移，

amax為水平向地表加速度，

g為重力加速度，

λ為拉梅常數(shù)，

G為土體剪切模量，

ρ為土體質(zhì)量密度，

γs為土體容重，

μ為土體泊松比，

M1、M2、N1、N2為斜橢圓參數(shù)方程系數(shù)，

A，B，C為斜橢圓一般方程系數(shù)，

La為長半軸，

Lb為短半軸，

θ為斜橢圓傾角，

δ=Lb/La為斜橢圓短長軸比，

ry為Y方向斜橢圓半徑，

rx為X方向斜橢圓半徑。