淺談數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

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(棗莊市第二十中學(xué))

一、建立數(shù)學(xué)模型的意義

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)模擬空間形式和數(shù)量關(guān)系的模型。確切地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。一切數(shù)學(xué)概念、公式、理論體系、算法系統(tǒng)、表格、圖示等都可稱為數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的應(yīng)用過(guò)程。

如在探究三角形全等的條件中，通過(guò)體會(huì)三角形的特征，建立全等三角形的基本模型。從而明確依靠三個(gè)角都相等是不能判別出三角形全等的，而三條邊都相等的三角形卻是全等三角形。在建立了全等三角形的數(shù)學(xué)模型后，得出全等三角形的判定方法“邊邊邊(SSS)”，從而又通過(guò)邊角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得出其他判定方法還有“邊角邊(SAS)”“角邊角(ASA)”“角角邊(AAS)”?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，遵循數(shù)學(xué)規(guī)律，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化出解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。

二、促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型的策略

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，在建模過(guò)程中加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

如“一次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)沒(méi)有直接告訴學(xué)生如何進(jìn)行一次函數(shù)模型的構(gòu)建，再讓學(xué)生經(jīng)歷一次具體的練習(xí)，根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行大量的探索和嘗試，教學(xué)始終關(guān)注學(xué)生的課堂生成，一切生成都源于自然.學(xué)生從平均數(shù)出發(fā)，利用總數(shù)平均數(shù)、增長(zhǎng)率平均數(shù)、增長(zhǎng)幅度平均數(shù)等平均數(shù)原理構(gòu)建方程模型，在不斷的討論中，逐步生成函數(shù)模型，在函數(shù)模型構(gòu)建中關(guān)注模型的形成過(guò)程，即一次函數(shù)如何選擇兩個(gè)代表性的點(diǎn)，對(duì)不同的選擇方式進(jìn)行充分的論證與比較，最終形成了一致的認(rèn)識(shí)：選擇兩個(gè)具有適當(dāng)距離的點(diǎn)構(gòu)成一條直線，其余各點(diǎn)均勻分布在直線兩側(cè)。

整堂課，學(xué)生經(jīng)歷“自主構(gòu)建—爭(zhēng)論論證—再構(gòu)建—再論證”不斷完善模型的構(gòu)建過(guò)程，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建完全由學(xué)生自發(fā)生成，所有模型的生成均顯得自然、合理。在模型選擇中，完全放手讓學(xué)生進(jìn)行比較分析，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。在模型構(gòu)建教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇和比較，在模型應(yīng)用中發(fā)展學(xué)生的綜合能力。

根據(jù)上面的課例可以看出，數(shù)學(xué)建模的形成受諸多方面的因素的影響，我認(rèn)為可以從以下方面去考慮：

1.教師的促進(jìn)性技能，教師一定要營(yíng)造一種積極、探究的環(huán)境，在這個(gè)環(huán)境中，學(xué)生能進(jìn)行思考、分析、解決問(wèn)題，學(xué)生的想法和問(wèn)題是被尊重的，教師和其他學(xué)生應(yīng)對(duì)這個(gè)學(xué)生的想法給出建設(shè)性的反饋。

2.教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師要很好地理解與情境相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)以便引導(dǎo)學(xué)生提出質(zhì)疑并在傾聽(tīng)的時(shí)候進(jìn)行反思。

3.教師和學(xué)生使用多種表征方式和數(shù)學(xué)工具，如動(dòng)態(tài)幾何軟件、電子表格、網(wǎng)絡(luò)、圖形、計(jì)算器等。

4.大量采用開(kāi)放式的問(wèn)題．有的問(wèn)題具有多種可行的答案，多種表征方式和多種解決辦法．而有些人為設(shè)計(jì)的問(wèn)題似乎會(huì)出現(xiàn)在真實(shí)的情境中，但并不是真實(shí)的或者不符合認(rèn)知要求。

5.問(wèn)題情境。選擇現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題是非常重要的，那些與學(xué)生的經(jīng)歷相關(guān)、能激發(fā)學(xué)生興趣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題是首選的。

三、建立數(shù)學(xué)模型的步驟。

根據(jù)個(gè)人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的建立，需以下步驟：“模型的假設(shè)與準(zhǔn)備——模型的建立與求解——模型的檢驗(yàn)與分析——模型的應(yīng)用與總結(jié)?！?/p>

1.模型的假設(shè)與準(zhǔn)備。根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義、建模目的，搜集掌握對(duì)象的各種信息.弄清對(duì)象的特征，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題及其本質(zhì)。

2.模型的建立與求解。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。利用獲取的數(shù)據(jù)資料，采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(估計(jì))。

3.模型的檢驗(yàn)與分析。將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋.如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)整個(gè)建模過(guò)程。對(duì)模型解答所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的誤差判定，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性等分析。

4.模型的應(yīng)用與總結(jié)。應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必由之路與有效手段。事實(shí)上，所有的公式、定理的教學(xué)都是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)。其中，公式、定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、正確性的驗(yàn)證、結(jié)構(gòu)的提煉、符號(hào)化表征就是建模過(guò)程；將具體問(wèn)題的條件、結(jié)論結(jié)構(gòu)與模型特征對(duì)比分析，并轉(zhuǎn)化為熟知的公式、定理的條件，使演繹或運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，這個(gè)過(guò)程就是模型運(yùn)用過(guò)程。

四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)應(yīng)注意的地方

建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。要通過(guò)調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問(wèn)題。

1.改變以教師為中心、以知識(shí)傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式。教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生為中心、以問(wèn)題為主線、以培養(yǎng)能力素養(yǎng)為目標(biāo)來(lái)組織教學(xué)工作。如在教學(xué)代數(shù)式方面的知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生充分體會(huì)一次函數(shù)、方程、不等式的意義，關(guān)注概念、法則、性質(zhì)等形成的過(guò)程，重視法則、性質(zhì)在解決實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，培養(yǎng)識(shí)別圖表信息的能力。

2.加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，如解方程或方程組。將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)結(jié)合在一起。教學(xué)中不僅關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握，還特別注重應(yīng)用意識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法分析生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

3.改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)綜合性的過(guò)程，它具有問(wèn)題性、活動(dòng)性、過(guò)程性、探索性，因而它不同于單純的數(shù)學(xué)解題，這給學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變帶來(lái)了很大的空間。

總之，建模教學(xué)，既不是憑空創(chuàng)造新結(jié)論，也不能一切都模型化。教學(xué)中要通過(guò)定理、公式的歸納與證明、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)、選擇與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，并在這個(gè)過(guò)程中積累解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

教材規(guī)定：“經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理”，數(shù)學(xué)中被證明的真命題不計(jì)其數(shù)，為什么不是都稱為定理、公式呢？例如，“一線三等角”問(wèn)題，只需等角轉(zhuǎn)化便能解決，況且其特征表述復(fù)雜，不宜作為數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中我們會(huì)有不少疑問(wèn)，如“直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)坐標(biāo)公式能不能直接用？”“能直接用射影定理嗎？”等問(wèn)題，這說(shuō)明教師潛意識(shí)里還是以太多的模型記憶替代數(shù)學(xué)本質(zhì)方法的探究。如果任由數(shù)學(xué)“模型”泛濫，學(xué)生必然要記住無(wú)窮盡的數(shù)學(xué)模型，會(huì)留給學(xué)生更多的機(jī)械記憶。