淺談數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革與實(shí)踐

傅 勤

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)類(數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué))專業(yè)學(xué)生的一門核心基礎(chǔ)課程，探討其教學(xué)改革問(wèn)題具有重要的意義. 關(guān)于該課程的教學(xué)改革，已有較多的研究成果[1-4]，文獻(xiàn)[1]通過(guò)剖析數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史、泛函分析等課程之間的內(nèi)在聯(lián)系，就如何改革數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新能力等提出了幾點(diǎn)建議；文獻(xiàn)[2]則探討了如何根據(jù)數(shù)學(xué)分析不同類型的教學(xué)內(nèi)容采用相應(yīng)的教學(xué)方法, 充分發(fā)揮數(shù)學(xué)分析對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的作用；文獻(xiàn)[3]從提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程的興趣等方面對(duì)課程進(jìn)行了改革和探索；文獻(xiàn)[4]則圍繞素質(zhì)教育的要求，給出了對(duì)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的一些體會(huì)，提出了一些建議. 既要重視基礎(chǔ)理論知識(shí)教育，又要強(qiáng)調(diào)實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用，這已成為近年來(lái)課程教學(xué)改革的主要關(guān)注點(diǎn). 隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，針對(duì)一些理論性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，如何進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)改革，以適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需求，這是值得思考的問(wèn)題.

筆者多年來(lái)一直從事信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)工作，在此，就如何提高課堂教學(xué)效果，并結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，將理論知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中去等，談一些做法和設(shè)想，望能起到拋磚引玉的作用.

1 數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)存在的問(wèn)題

數(shù)學(xué)分析作為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課程，在教與學(xué)這兩個(gè)方面，仍有許多不足之處.

(1)學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程過(guò)程中，遇到的主要難點(diǎn)：一是對(duì)同一問(wèn)題，往往會(huì)有多種解決方法，如何選擇最佳方法？二是課程中概念多，定義、定理多，如何加深理解并記住這些概念、定義和定理？在課堂教學(xué)過(guò)程中，怎樣幫助學(xué)生解決這兩個(gè)難點(diǎn)(應(yīng)該也是學(xué)習(xí)其他課程的難點(diǎn))，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，這是值得探討的問(wèn)題.

(2)作為學(xué)生第一學(xué)期就學(xué)的一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)分析缺乏與其他相關(guān)學(xué)科的互相“滲透”，這種“滲透”包含了兩層意思：一是其他學(xué)科的知識(shí)“滲透”到數(shù)學(xué)分析中，二是數(shù)學(xué)分析的知識(shí)“滲透”到其他學(xué)科中，即所謂的“輸入”“輸出”關(guān)系. 就教材上的教學(xué)內(nèi)容而言，數(shù)學(xué)分析學(xué)科還是自成一體，從而構(gòu)成了一個(gè)封閉系統(tǒng)，這一特點(diǎn)制約了該學(xué)科向縱深發(fā)展.

(3)一年一度的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為數(shù)學(xué)分析知識(shí)的應(yīng)用提供了很好的平臺(tái)，如何利用這個(gè)平臺(tái)，尋求理論知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的積極性，就目前而言，這方面做得還不夠.

(4)從教學(xué)方法和教學(xué)手段看，主要采用“粉筆+黑板”的方式，利用現(xiàn)代教育技術(shù)進(jìn)行教學(xué)的很少. 本課程在應(yīng)用一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件(如Mathematica, Matlab),構(gòu)建數(shù)形結(jié)合、動(dòng)畫模擬等模式的多媒體教學(xué)環(huán)境，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算等方面，做得還很不夠.

2 教學(xué)改革的嘗試

針對(duì)上述不足之處，結(jié)合本課程的特點(diǎn)，筆者在實(shí)際教學(xué)中，做了以下嘗試.

(1)突出重點(diǎn)，注重對(duì)比. 備課時(shí)理出重點(diǎn)，重要的定理、難點(diǎn)和不同方法的適用情形等，重點(diǎn)部分精講，要求學(xué)生完全掌握. 例如，在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)這一章，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別有四種方法(比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法)，選擇哪種方法判別，這是個(gè)難點(diǎn). 針對(duì)這種情況，筆者將十幾道典型的題目寫在黑板上，不進(jìn)行具體計(jì)算，只是讓學(xué)生一起討論用哪種方法判別較為合適，通過(guò)這種主題討論和題與題之間的對(duì)比，得出了每種判別法的適用情況，使學(xué)生茅塞頓開(kāi). 注重了不同方法的對(duì)比，抓住了每個(gè)章節(jié)的重點(diǎn)部分，其他部分的學(xué)習(xí)也就輕而易舉了.

(2)承上啟下，深入淺出. 一方面，每次上課時(shí)，先用十分鐘左右的時(shí)間對(duì)上次課的內(nèi)容做個(gè)總結(jié)，然后再講新的內(nèi)容，由此，既總結(jié)復(fù)習(xí)了前面的內(nèi)容，又順暢了本堂課的新內(nèi)容銜接，收效甚好. 另一方面，注重教學(xué)內(nèi)容的承上啟下，盡量將新的概念和方法看成只是在前面所講內(nèi)容上再加一點(diǎn)，由此強(qiáng)調(diào)了學(xué)科知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，也避免了學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)容多而散的感覺(jué). 例如，講反常積分時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)反常積分就是定積分再加上極限，而極限和定積分為已學(xué)內(nèi)容，由此將反常積分這個(gè)新內(nèi)容簡(jiǎn)化了；講重積分時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)重積分就是定積分在被積函數(shù)自變量個(gè)數(shù)和積分區(qū)域維數(shù)兩方面的擴(kuò)展，由此引出二重積分、三重積分的概念，并進(jìn)一步引出n重積分，最后將各類積分(定積分、二重積分、三重積分和n重積分)統(tǒng)一到一個(gè)表達(dá)式中，深入淺出地講述了積分內(nèi)容，收到了很好的教學(xué)效果.

(3)一門學(xué)科與相關(guān)學(xué)科的互相“滲透”，這是學(xué)科發(fā)展的生命力.對(duì)數(shù)學(xué)分析而言，筆者在實(shí)際教學(xué)中，注重抓了兩頭：一是“輸入”，即將其他學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用到本課程的教學(xué)中，如在講三角級(jí)數(shù)的正交性時(shí)，借助于高等代數(shù)中基、正交基等概念，描述出了傅里葉級(jí)數(shù)的構(gòu)建過(guò)程；二是“輸出”，即將數(shù)學(xué)分析“滲透”到其他學(xué)科中去，如在講述傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，結(jié)合信息與計(jì)算科學(xué)的專業(yè)特點(diǎn)，進(jìn)一步介紹了信號(hào)傳輸中的傅里葉變換、小波變換等，擴(kuò)展了學(xué)生的知識(shí)視野，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

(4)利用好數(shù)學(xué)建模這個(gè)平臺(tái)，結(jié)合課程內(nèi)容講解相應(yīng)的競(jìng)賽題，并讓學(xué)生練，讓他們體會(huì)到理論知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用性. 例如，2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題“儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定”涉及的知識(shí)點(diǎn)就是重積分的應(yīng)用問(wèn)題. 利用三重積分分別計(jì)算出變位前后儲(chǔ)油罐內(nèi)油的體積，并與罐容表標(biāo)定刻度進(jìn)行對(duì)接，由此推算出儲(chǔ)油罐的變位角度. 筆者在講解完數(shù)學(xué)模型后，讓學(xué)生用Mathematica軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，并利用仿真圖刻畫出運(yùn)算結(jié)果誤差的范圍. 實(shí)踐說(shuō)明，這種教學(xué)方法提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，比在課堂上反反復(fù)復(fù)講枯燥的理論強(qiáng)多了.

(5)蘇州科技大學(xué)針對(duì)信息與計(jì)算科學(xué)的專業(yè)特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)分析課程中添加了實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生盡早地接觸到與專業(yè)有關(guān)的軟件編程等相關(guān)工作. 筆者利用該課程每學(xué)期10課時(shí)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)，做了以下三方面的工作.

1)指導(dǎo)學(xué)生利用Mathematica軟件進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，如求極限、導(dǎo)數(shù)和積分等. 一方面讓學(xué)生驗(yàn)證和鞏固所學(xué)的理論知識(shí)；另一方面讓學(xué)生感悟到借助于現(xiàn)代工具的重要性，如針對(duì)一些復(fù)雜的不定積分題，計(jì)算機(jī)瞬時(shí)就能給出解析表達(dá)結(jié)果.

2)針對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)建模題，在課堂上建好數(shù)學(xué)模型后，筆者指導(dǎo)學(xué)生到機(jī)房進(jìn)行編程運(yùn)算.

3)程序運(yùn)算給人們的感覺(jué)往往是：運(yùn)行鍵一按，結(jié)果就顯示在屏幕上了. 事實(shí)上，面對(duì)一些復(fù)雜系統(tǒng)和數(shù)據(jù)分析的問(wèn)題，計(jì)算機(jī)也是算得很“累”的. 筆者主要從事復(fù)雜系統(tǒng)和數(shù)據(jù)分析方面的研究工作，經(jīng)常會(huì)編一些復(fù)雜的程序，其運(yùn)行時(shí)間甚至可達(dá)二十多個(gè)小時(shí). 筆者就將合適的復(fù)雜程序演示給學(xué)生看，讓他們知曉實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性和學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)的重要性(復(fù)雜問(wèn)題也是基礎(chǔ)問(wèn)題組合而成的).

通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)的運(yùn)作，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，收效甚好.

以上是筆者對(duì)本課程教學(xué)改革的一些嘗試和想法. 作為課程改革尚有很多工作要做，例如能否將本課程的教學(xué)改革方法應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程上，如高等代數(shù)、解析幾何等，這都有待作進(jìn)一步地探究. 至于在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力筆者已在文獻(xiàn)[5]中作了探討.