三次三角域Bézier曲面的同次擴展

嚴蘭蘭，溫榮生，饒智勇

?

三次三角域Bézier曲面的同次擴展

嚴蘭蘭，溫榮生，饒智勇

(東華理工大學理學院，江西 南昌 330013)

為了在不提升基函數次數的前提下賦予三次三角域Bézier曲面形狀調整的能力，構造了一組含一個參數的三次雙變量基函數，由之定義了由10個控制頂點確定的三角域曲面片。新曲面具有角點插值性，在角點處的切平面為由角點和其所在的兩條邊上與之相鄰的兩個頂點確定的平面。改變參數取值，可以調整曲面形狀。為了方便應用，給出了曲面片之間的1光滑拼接條件及曲面的幾何迭代算法，分析了算法的收斂性以及收斂速度與參數取值之間的關系。圖例顯示了所給方法的正確性和有效性。

三角域Bézier曲面；形狀調整；幾何迭代；插值；曲面拼接

在幾何設計中，Bézier方法是應用較為廣泛的曲線曲面表示方法之一，其包括Bézier曲線、四邊域上的張量積Bézier曲面、三角域上的Bernstein- Bézier曲面。雖然Bézier方法具有很多利于形狀設計的優(yōu)良性質，但也存在不足。當控制頂點給定時，Bézier曲線曲面的形狀便被唯一確定，若要調整形狀，只能修改控制頂點，重新計算曲線曲面方程。這種方式不僅使用不便，而且當控制頂點是取自實物的精確測量點時，修改控制頂點顯得有些勉強。

與曲面相比，曲線結構相對簡單，更易于討論，目前有很多文獻通過在基函數中引入參數，來賦予Bézier曲線形狀調整的能力。由于張量積Bézier曲面與Bézier曲線均以單變量Bernstein多項式作為基函數，因此只要構造出能對Bézier曲線作改進的基函數，就可以對張量積Bézier曲面作出相應改進。然而Bernstein-Bézier曲面為非張量積形式，其采用雙變量Bernstein多項式作為基函數，要想對三角域Bézier曲面作改進，必須單獨為其構造基函數。

三角域曲面具有重要的應用價值，其可以避免矩形域曲面片出現退化的問題，適合于不規(guī)則與散亂數據點的幾何造型，因此研究帶形狀參數的三角域曲面片的構造方法是有意義的。目前圍繞三角域Bézier曲面在形狀調整方面的不足進行改進的成果主要有：文獻[1]和[2]分別構造了含3個、6個參數的三次雙變量多項式基函數，定義了以二次三角域Bézier曲面為特例的曲面；文獻[3]構造了含3個參數的三次雙變量多項式基函數，文獻[4]和[5]分別構造了含1個、2個參數的四次雙變量多項式基函數，文獻[3-5]中的曲面都以三次三角域Bézier曲面為特例；文獻[6]和[7]分別構造了含1個、多個參數的次雙變量多項式基函數，定義了以任意次三角域Bézier曲面為特例的曲面；文獻[8]構造了+1次雙變量多項式基函數，定義了以任意次三角域Bézier曲面為特例的含多個形狀參數的曲面；文獻[9]在初始三次雙變量多項式基函數的基礎上遞推得到+1次基函數，文獻[10]和[11]在初始四次雙變量多項式基函數的基礎上遞推得到+2次基函數，文獻[9-11]中的曲面都含1個形狀參數，并以任意次三角域Bézier曲面為特例；文獻[12-14]定義了結構與三次三角域Bézier曲面相同的含3個形狀參數的曲面，文獻[12]和[13]定義在三角多項式空間中，文獻[14]定義在指數函數和多項式函數的混合空間中。

上述文獻均從純代數角度出發(fā)，直接給出含參數的調配函數來定義新曲面，且少有文獻討論曲面的光滑拼接條件和幾何迭代算法，這不利于曲面的應用。本文則基于由可調控制頂點定義可調曲面的直觀幾何思想，通過在控制頂點中引入參數，構造含1個形狀參數的三次三角域Bézier曲面，討論了曲面的1光滑拼接條件，給出了曲面的幾何迭代算法及收斂性分性，為曲面的應用提供了理論基礎，也為構造其他類型的形狀可調曲線曲面提供了可以借鑒的思路和方法。

1 形狀可調曲面

1.1 曲面構造原理

曲面(,,)具有輪換對稱性、凸包性、角點插值性；曲面的邊界曲線為由邊界控制頂點定義的三次Bézier曲線；曲面在角點處的切平面為由角點和其所在的兩條邊上與之相鄰的控制頂點張成的平面。

將*(,,)看作普通三次三角域Bézier曲面，即

則其控制頂點為

1.2 調配函數及性質

其中，b(,,) (簡記為b)的表達式如下

其中

由式(4)及雙變量三次Bernstein基函數的性質，可得雙變量函數的性質如下：

(1) 退化性。當=1時，雙變量函數為雙變量三次Bernstein基函數。

證明：設

由雙變量三次Bernstein基函數的線性無關性得

1.3 曲面性質

由調配函數的性質，可知三角-Bézier曲面具備下列性質：

(3) 角點插值性。曲面插值于控制網格的3個角點，即

(4) 角點切平面。曲面在角點(1,0,0)處的切平面由點300、210和201張成；在角點(0,1,0)處的切平面由點030、120和021張成；在角點(0,0,1)處的切平面由點003、012和102張成。

圖1 取不同參數的三角l-Bézier曲面

2 曲面拼接

為了滿足描述復雜形狀的需求，下面討論三角-Bézier曲面的光滑拼接條件。

2.1 三次三角域Bézier曲面的拼接

設有兩張三次三角域Bézier曲面

其中，、為任意因子。條件式(9)可轉化為

式(8)、(10)即為三次三角域Bézier曲面的1光滑拼接條件。

2.2 三角l-Bézier曲面的拼接

設有兩張三角-Bézier曲面

由式(8)可知，當

進一步地，由式(10)可知，若

3 曲面的幾何迭代算法

幾何迭代法[15]具有明確的幾何意義。該方法從一條初始曲線或一張初始曲面開始，通過迭代調整其控制頂點，使曲線曲面插值或逼近給定點列。

3.1 算法描述

(c)

構造第+1次迭代曲面

3.2 收斂性分析

即曲面序列收斂到插值初始點列的曲面，則稱三角-Bézier曲面對均勻參數具有漸進迭代逼近性質。

將賦給控制頂點的參數也按字典排序法排列，即

由式(17)可得

其中，為10階單位矩陣；為調配函數(18)關于參數序列式(19)的配置矩陣，即

圖3 迭代所得三角l-Bézier曲面

4 結束語

本文從純幾何角度出發(fā)對三次三角域Bézier曲面從形狀表示的靈活性角度進行擴展，通過在控制頂點中引入參數，再與雙變量Bernstein基函數作線性組合來定義曲面，當參數改變時，定義曲面的潛在控制頂點發(fā)生改變，曲面形狀隨之變化。在賦予曲面形狀可調性時，本文既未改變基函數的函數類型，也未提升基函數的多項式次數。為降低曲面拼接條件的分析難度，先給出傳統(tǒng)三次三角域Bézier曲面的拼接條件，再通過形狀可調曲面與三次三角域Bézier曲面之間的關系，給出了新曲面的1光滑拼接條件。為構造視覺上插值于控制頂點的三角域曲面，討論了曲面的幾何迭代算法，對其收斂性、收斂速度進行了分析，為曲面應用提供了理論基礎。

[1] 陳軍. 一類帶三個形狀參數的三角曲面[J]. 計算機集成制造系統(tǒng), 2013, 19(11): 2680-2685.

[2] 韓西安, 黃希利. 三角域上帶多個形狀參數的二次Bézier曲面片[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2011, 25(1): 99-102.

[3] 劉植, 檀結慶, 陳曉彥. 三角域上帶形狀參數的三次Bézier曲面[J]. 計算機研究與發(fā)展, 2012, 49(1): 152-157.

[4] 曹娟, 汪國昭. 三角域上三次Bernstein-Bézier參數曲面的擴展[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2006, 18(9): 1403-1407.

[5] 于立萍. 三角域上帶兩個形狀參數的Bézier曲面的擴展[J]. 大學數學, 2008, 24(5): 58-62.

[6] CAO J, WANG G Z. An extension of Bernstein-Bézier surface over the triangular domain[J]. Progress in Natural Science, 2007, 17(3): 352-357.

[7] ZHU Y P, HAN X L. Quasi-Bernstein-Bézier polynomials over triangular domain with multiple shape parameters[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 250: 181-192.

[8] 鄔弘毅, 夏成林. 帶多個形狀參數的Bézier曲線與曲面的擴展[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2005, 17(12): 2607-2612.

[9] 吳曉勤, 韓旭里. 帶有形狀參數的Bézier三角曲面片[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2006, 18(11): 1735-1740.

[10] YAN L L, LIANG J F. An extension of the Bézier model[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(6): 2863-2879.

[11] 嚴蘭蘭. 帶形狀參數的Bernstein-Bézier曲面[J]. 計算機工程與科學, 2014, 36(2): 317-324.

[12] ZHU Y P, HAN X L. New trigonometric basis possessing exponential shape parameters[J]. Journal of Computational Mathematics, 2015, 33(6): 642-684.

[13] HAN X L, ZHU Y P. A practical method for generating trigonometric polynomial surfaces over triangular domains [J]. Mediterranean Journal of Mathematics, 2016, 13(2): 841-855.

[14] ZHU Y P, HAN X L. Curves and surfaces construction based on new basis with exponential functions[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2014, 129(1): 183-203.

[15] 藺宏偉. 幾何迭代法及其應用綜述[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2015, 27(4): 582-589.

[16] CHEN J, WANG G J. Progressive iterative approximation for triangular Bézier surfaces[J]. Computer-Aided Design, 2011, 43(8): 889-895.

Extension of the Cubic Triangular Bézier Surface of the Same Degree

YAN Lanlan, WEN Rongsheng, RAO Zhiyong

(College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China)

In order to endow the cubic triangular Bézier surface the ability of shape adjustment, this paper constructs a set of cubic bivariate basis functions with a parameter and defines a new triangular surface determined by ten control points. The new surface has corner interpolation property. The tangent planes at the corner points are determined by the corner points and the two adjacent points which lie on the same edges. Changing the parameter value can adjust the shape of the surface. For convenient application, the1smooth join condition and the geometric iterative algorithm of the surface are given. The convergence as well as the relationship of the convergent rate and the parameter selection of the algorithm is analyzed. The legends show the correctness and validity of the method.

triangular Bézier patch; shape adjustment; geometric iteration; interpolation; surface joining

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010097

A

2095-302X(2018)01-0097-07

2017-05-18；

2017-06-20

國家自然科學基金項目(11261003，11761008)；江西省自然科學基金項目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項目(GJJ160558)

嚴蘭蘭(1982–)，女，湖北浠水人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：yxh821011@aliyun.com