數(shù)學(xué)

數(shù)值格式的穩(wěn)定性、相容性和收斂性

許進(jìn)超

摘要：目的：本文提出一套理論框架，用相容性、穩(wěn)定性和收斂性來(lái)刻畫(huà)和分析數(shù)值格式，證明三者間的包含關(guān)系，并例證這套理論在數(shù)值格式分析中的應(yīng)用。方法：穩(wěn)定性、相容性和收斂性屬于數(shù)值分析學(xué)科中最基本的幾個(gè)概念，經(jīng)典的數(shù)值分析教材都含有用穩(wěn)定性、相容性和收斂性3個(gè)概念刻畫(huà)數(shù)值格式與分析三者間的相互關(guān)系的內(nèi)容。本文提出新的理論框架，探討了數(shù)值解向精確解的收斂過(guò)程，不需要對(duì)離散輸入數(shù)據(jù)的取值范圍預(yù)作設(shè)定，原則上可以處理時(shí)間發(fā)展問(wèn)題和靜態(tài)問(wèn)題。在本文提出的等價(jià)定理的框架下，數(shù)值格式的收斂性分析將歸納為穩(wěn)定性分析和相容性分析兩步；這樣的一個(gè)分析程式廣泛適用于不同的數(shù)值格式。我們針對(duì)變分問(wèn)題的離散格式，例示了用本定理進(jìn)行格式分析的具體程式。此外，數(shù)值格式的穩(wěn)定性、相容性和收斂性是互相協(xié)調(diào)的，在一定的穩(wěn)定性假設(shè)下，較高的相容性會(huì)導(dǎo)致較好的收斂性；另一方面，對(duì)相同的數(shù)值格式，在不同的穩(wěn)定性條件下，可以藉由不同的相容性結(jié)果，得到不同的收斂性結(jié)果。結(jié)果：我們按照有限元方式和差分方式分別計(jì)算了Poisson方程線性元離散格式的相容性誤差。作為本文的另一個(gè)主要結(jié)果，我們證明線性元離散格式按照差分方式分析，可以是不相容的，并且如果線性元離散格式在差分方式下相容，那么，我們可以獲得相對(duì)應(yīng)的超接近性結(jié)果。本文的理論結(jié)果說(shuō)明了穩(wěn)定性分析和相容性分析在離散格式收斂性分析中的必要性，并一般性地指出進(jìn)行前兩種分析的形式和要求。這套理論框架可以用來(lái)分析不同問(wèn)題和不同離散格式，而對(duì)相同的離散問(wèn)題，該框架也可以甄別和容納不同的相容性和相應(yīng)的收斂性；很多經(jīng)典結(jié)果實(shí)際上是這個(gè)一般結(jié)果的某些具體形式。此外，我們例證較好的相容性可以對(duì)應(yīng)更好的收斂性或逼近性質(zhì)，從而給出改進(jìn)算法的一個(gè)方向。結(jié)論：對(duì)比較廣的一類問(wèn)題及其數(shù)值離散，本文定義了離散的穩(wěn)定性、相容性和收斂性，并分析這三者間的包含關(guān)系。用穩(wěn)定性、相容性和收斂性來(lái)刻畫(huà)和分析數(shù)值離散格式是數(shù)值分析的基礎(chǔ)性內(nèi)容，本文的工作原則上可以向更一般的問(wèn)題形式推廣。下一步，我們將研究如何在更一般的條件設(shè)定下建立理論框架和如何針對(duì)更一般的數(shù)值格式應(yīng)用該框架進(jìn)行分析，并進(jìn)一步探討比較一般和抽象的理論研究對(duì)具體格式設(shè)計(jì)的指導(dǎo)機(jī)制。

來(lái)源出版物：中國(guó)科學(xué)（數(shù)學(xué)）, 2015, 45(8): 1205-1216

入選年份：2015