船舶動力定位控制系統(tǒng)的非線性觀測器設(shè)計(jì)

陳勇嘉 楊宣訪 王永建

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

動力定位（DP）［1］是指船舶不借助錨泊，僅通過自身安裝的推進(jìn)器來抵抗風(fēng)、浪、流等環(huán)境干擾的影響，實(shí)現(xiàn)其在海面上固定位置或預(yù)期航跡的保持。環(huán)境干擾對船舶的影響可以分為由風(fēng)、流和二階波浪導(dǎo)致的低頻運(yùn)動，和由一階波浪導(dǎo)致的高頻運(yùn)動。其中高頻運(yùn)動只引起船舶的周期性振蕩而不會造成船體大范圍偏離平衡位置，為避免能量浪費(fèi)和推進(jìn)器磨損，而盡量不響應(yīng)一階波浪、噪聲等高頻振蕩干擾信號的作用，這就需要根據(jù)傳感器測量的信息和船舶動力定位控制的數(shù)學(xué)模型估計(jì)出船舶的低頻運(yùn)動狀態(tài)，因此狀態(tài)估計(jì)方法在動力定位控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中具有非常重要地位，是動力定位控制系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一［2］。

DP系統(tǒng)從20世紀(jì)60年代開始應(yīng)用在海洋船舶上，采用了陷波濾波器，其結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)，但是會產(chǎn)生相位滯后，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。20世紀(jì)80年代后，第二代DP系統(tǒng)中經(jīng)常采用卡爾曼濾波器，該方法的主要缺點(diǎn)是必須將船舶運(yùn)動的動力學(xué)方程在一些給定的艏搖角度值上線性化，由于系統(tǒng)擁有15個(gè)狀態(tài)變量，所以采用上述方法時(shí)系統(tǒng)在線計(jì)算量大，而且其中的很多協(xié)方差值也很難調(diào)整，不利于實(shí)現(xiàn)［3～5］。

為了避免動力定位系統(tǒng)采用上述卡爾曼濾波器時(shí)所帶來的問題，本文設(shè)計(jì)了一種基于無跡卡爾曼濾波器的改進(jìn)算法對模型中的非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行擬合，用一系列確定樣本來逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度，而不是對非線性函數(shù)進(jìn)行線性化近似，因此對于非線性分布的統(tǒng)計(jì)量具有較高的計(jì)算精度。該濾波器的有效性通過仿真實(shí)驗(yàn)得到了驗(yàn)證。

2 基本的數(shù)學(xué)模型

2.1 船舶低頻運(yùn)動方程

船舶在海洋中的運(yùn)動有六個(gè)自由度，而水面動力定位作業(yè)主要研究船舶的三自由度運(yùn)動，即縱蕩、橫蕩和艏搖。為描述船舶在水平面的運(yùn)動，必須建立兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)［6～7］：慣性坐標(biāo)系和隨船坐標(biāo)系，如圖1所示，定義向量 η=[x，y，ψ ]T表示慣性坐標(biāo)系下船舶的縱蕩、橫蕩位置和艏搖角度，ν=[u，v，r]T表示隨船坐標(biāo)系下船舶的縱蕩、橫蕩速度和艏搖角速度，兩坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系為［8］

式中：轉(zhuǎn)換矩陣

圖1 固定坐標(biāo)系和隨船坐標(biāo)系

由文獻(xiàn)［8］可以得到船舶低速運(yùn)動情況下的低頻運(yùn)動方程：

式中：M∈R3×3表示系統(tǒng)慣性矩陣，D∈R3×3為線性水動力阻尼系數(shù)。τ∈R3表示控制力和力矩，b∈R3表示由風(fēng)、浪、流引起的環(huán)境力，wl∈R3為過程噪聲向量。

2.2 高頻運(yùn)動模型

船舶的高頻運(yùn)動主要是由于一級波浪擾動引起的，可看作是在縱蕩、橫蕩和艏搖三個(gè)方向上附加了阻尼的二階諧波振蕩器：

式中，參數(shù) ki與海況有關(guān)，ζi(i=1，2，3)為相對阻尼系數(shù)，通常取值為 0.05～0.3，w0i(i=1，2，3)為波浪P-M譜中與有義波高相關(guān)的海洋主導(dǎo)角頻率。

將上式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式，可以得到船舶的高頻運(yùn)動模型：

式中 ξh=[ξx，ξy，ξφ，xh，yh，ψh]T

表示船舶在3個(gè)自由度方向上的位置和速度信號；wh為零均值高斯白噪聲，wh=[wxwywφ]；ηh為三維列向量，分別表示高頻運(yùn)動的縱蕩、橫蕩和艏搖角度；其它系數(shù)為

其中σi(i=1，2，3)為與波浪強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)。

2.3 環(huán)境作用力模型

環(huán)境力通常是指風(fēng)、二階波浪漂力、流對船舶的作用力。環(huán)境力模型由高斯—馬爾科夫過程表示：

式中：b∈R3表示環(huán)境力和力矩；T為包含時(shí)間常數(shù)的的三維對角矩陣；Eb∈R3×3為噪聲幅值矩陣；ωb∈R3為零均值高斯白噪聲向量。

2.4 總系統(tǒng)模型

由前面的敘述可得系統(tǒng)的測量模型：

式中：vy∈R3為零均值高斯白噪聲。

根據(jù)上述模型，綜合得到總的動力定位船舶的數(shù)學(xué)模型：

3 非線性估計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)

3.1 基本原理

基于無跡卡爾曼濾波的改進(jìn)算法避免了對非線性系統(tǒng)線性化，而是在估計(jì)點(diǎn)附近進(jìn)行UT變換，使用無跡變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題，將先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)的Sigma點(diǎn)應(yīng)用到測量更新中［9］。

3.2 基于無跡卡爾曼濾波的計(jì)算步驟［10］

1）初始化：給定系統(tǒng)狀態(tài)的均值xˉ和方差P。

2）計(jì)算2n+1個(gè)Sigma采樣點(diǎn)，這里的n指的是狀態(tài)的維數(shù)：

3）計(jì)算這些采樣點(diǎn)相應(yīng)的權(quán)值

式中，小標(biāo)m為均值，c為協(xié)方差，上標(biāo)為第幾個(gè)采樣點(diǎn)。參數(shù)k是一個(gè)縮放比例因數(shù)，用來降低總的預(yù)測誤差，a的選取控制了采樣點(diǎn)的分布狀態(tài)，待選參數(shù)β≥0是一個(gè)非負(fù)的權(quán)系數(shù)，它可以合并方程中高階項(xiàng)的動差，這樣就可以把高階項(xiàng)的影響包括在內(nèi)。

4）時(shí)間更新方程

式中，f(·)表示非線性過程，Qk為過程噪聲在k時(shí)刻的方差。

5）根據(jù)一步預(yù)測值，再次使用UT變換，產(chǎn)生新的Sigma點(diǎn)集。

6）測量更新方程

其中，Zk為k時(shí)刻的觀測值，H為觀測矩陣，R為測量噪聲的方差，K為卡爾曼增益。

3.3 基于無跡卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)

3.2 節(jié)中給出了算法流程，要把該算法應(yīng)用到船舶動力定位系統(tǒng)中，需要確定算法中的時(shí)間更新方程和測量更新方程的第一個(gè)式子，這兩個(gè)式子分別與總模型中的狀態(tài)方程和觀測方程相對應(yīng)，基于無跡卡爾曼的改進(jìn)算法在Matlab（R2013a）/Simu?link中搭建［11］并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

圖2中，Subsystem子系統(tǒng)是環(huán)境作用力模型，Subsystem1子系統(tǒng)是高頻運(yùn)動模型，J和J1是S-function模塊。

圖2 船舶動力定位系統(tǒng)Simulink模型

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，對非線性濾波算法進(jìn)行仿真并與傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法進(jìn)行對比。本文在MATLAB（R2010a）軟件上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以某動 力 定 位 船 舶 為 例［12］：長 L=175(m)，重m=2.461×104(kg)，慣性矩陣M 和線性阻尼陣 D取值如下：

環(huán)境擾動作用力模型中的時(shí)間參數(shù)選為：T=diag(1000 1000 1000)，波浪主頻率、相對阻尼系數(shù)和波浪強(qiáng)度為：w0i=0.9，σi=0.6083，ζi=0.3。

所以高頻運(yùn)動模型中的系數(shù)矩陣取值為：

仿真時(shí)間為1000s，船舶運(yùn)動和無跡卡爾曼濾波器對船舶縱蕩、橫蕩和艏搖方向位置的濾波效果如圖3～4所示。

圖3 船舶的低頻運(yùn)動

圖4 船舶的高頻運(yùn)動

圖5 、圖6和圖7為使用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波時(shí)，船舶的縱向位移、橫向位移和艏向角的真實(shí)值和估計(jì)值。圖8、圖9和圖10為使用非線性濾波器時(shí)，船舶的縱向位移、橫向位移和艏向角的真實(shí)值和估計(jì)值。從仿真結(jié)果可以看出，非線性濾波器從附有噪聲和高頻運(yùn)動分量的綜合輸出中能夠較好地濾除高頻運(yùn)動部分，圖8～圖10估計(jì)值較好地從真實(shí)值中估計(jì)出，使動力定位船舶能夠得到有效的控制，減少不必要的能量損失。

圖5 縱向位移真實(shí)值和估計(jì)值

圖6 橫向位移真實(shí)值和估計(jì)值

圖7 艏搖方向真實(shí)值和估計(jì)值

圖8 縱向位移真實(shí)值和估計(jì)值

圖9 橫向位移真實(shí)值和估計(jì)值

圖10 艏搖方向真實(shí)值和估計(jì)值

5 結(jié)語

本文針對船舶動力定位控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于無跡卡爾曼濾波器的非線性觀測器，該觀測器的優(yōu)點(diǎn)是摒棄了對非線性函數(shù)線性化的傳統(tǒng)做法，使用無跡變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題。仿真結(jié)果表明，該非線性觀測器可以較好地估計(jì)船舶運(yùn)動的各狀態(tài)值，適用于動力定位系統(tǒng)。

［1］邊信黔，付明玉，王元慧.船舶動力定位［M］.北京：科學(xué)出版社，2011：8-10.

［2］Tomera，Miroslaw.Nonlinear observers design for multi?variable ship motion control［J］.Polish Maritime Re?search，2012，19（S1）：55-56.

［3］Grimble M J，Patton R J，Wise D A．The Design of Dy?namic Ship Positioning Control Systems Using Extended Kalman Filtering Techniques ［C］//Oceans， 2011：488-497.

［4］J LI，G xia.The application of an extended Kalman filter in the dynamic positioning system［C］//International Con?ference on Natural Computation，2016：1945-1946.

［5］何黎明，田作華，施頌椒.動力定位船舶的非線性觀測器設(shè)計(jì)［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37（6）：964-965.

［6］Bui VP，Ji SW.Nonlinear observer and sliding mode con?trol design for dynamic positioning of a surface vessel［C］// International Conference on Control， 2012：1900-1904.

［7］Du JL，Wang SY，Zhang XK.Nonlinear observer design for ship dynamic positioning system［J］.Ship engineer?ing，2012，34（3）：307-312.

［8］Thori.Fossen，Tristan Perez.Kalman Filtering for Position?ing and Heading Control of Ships and Offshore Rigs［J］.IEEEControl Systems Magazine，2009，29（6）：32-46.

［9］丁浩晗，馮輝等，基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波的動力定位估計(jì)狀態(tài)［J］.大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，42（2）：242-246.

［10］［美］Dan Simon.最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)—卡爾曼，H∞及非線性濾波［M］.張勇剛，李寧，奔粵陽，譯.北京：國防工業(yè)出版社，2013：334-336.

［11］黃小平，王巖.卡爾曼濾波原理及應(yīng)用—MATLAB仿真［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2015：103-105.

［12］Saelid S，Jenssen N，Balchen J.Design and analysis of a dynamic positioning system based on Kalman filtering and optimal control［J］.Automatic Control IEEE Trans?actions on，1983，28（3）：331-339.