2017年高考全國新課標(biāo)l卷“姊妹”壓軸題的分析與思考

邱云

2試題比較

兩道“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題風(fēng)格極為相似，是高考試題中難得一見的“姊妹題”，進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，題1第Ⅱ問與題2第Ⅰ問難度相當(dāng)，換言之，可以認(rèn)為2017年的壓軸題是2016年壓軸題的“降級(jí)版”.

3試題特點(diǎn)

仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，高考全國卷壓軸題并不神秘——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)年年考，因其以能力立意為核心，考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)雖是公開的秘密，但不影響試題的選拔性.

3.1立足基礎(chǔ)知識(shí)，考查核心素養(yǎng) 《考試說明》明確指出，要重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，研究方程和不等式，近兩年壓軸題都是以包含簡單指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)為載體，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)分布，在問題解決中，從多角度考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及工具性等基礎(chǔ)知識(shí)，但對(duì)學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提出了較高要求，

邏輯推理素養(yǎng)的考查主要表現(xiàn)在：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在的條件，特別是在“f（ln4/a）>0，f（b）>0”的探尋過程中，對(duì)學(xué)生的理性思維和嚴(yán)謹(jǐn)推理是很大的挑戰(zhàn)；將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

3.2注重學(xué)習(xí)潛能，突出通性通法

函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題綜合性強(qiáng)，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想豐富，解題思路多樣，使學(xué)生個(gè)體思維的廣度、深度和靈活性得到充分展示，在氣氛緊張、時(shí)間緊迫的高考現(xiàn)場(chǎng)，要順利攻克此道難關(guān)，對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算能力、觀察力、數(shù)感、式感及解題毅力與信心是個(gè)考驗(yàn)，較好地考查了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，

從問題解決的角度看，此類壓軸題又非遙不可及，只要分析合理、推理得當(dāng)，運(yùn)用通性通法便可順利解答，這兩道題都是典型的“含參復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)分布問題”，是一種常見題型，解決問題的通法有二：一是直接分類討論，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并分析零點(diǎn)位置；二是分離參數(shù)，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，在題1解答中，解法1直接分類討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而分析其零點(diǎn)分布；解法2轉(zhuǎn)化為研究g（x）的圖象性質(zhì)，從而獲得結(jié)果，兩種通法異曲同工、難度相當(dāng)?shù)厍蟮靡詀∈（0，1）.可見，破解壓軸題“條條大路通羅馬”，而非“自古華山一條路”.

3.3命題風(fēng)格穩(wěn)定，問題互利互通

題1、題2表述簡潔、風(fēng)格相似，問題設(shè)計(jì)也是互利互通，題1的第I、第Ⅱ問相當(dāng)于題2的第I問，將題1稍加變式，便可考查題2的第Ⅱ問：

4教學(xué)啟示

4.1扎實(shí)基礎(chǔ)，練就三項(xiàng)“硬功夫”

“萬丈高樓平地起”，沒有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能力也只是空中樓閣，若對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解不到位、掌握不牢固、運(yùn)用不靈活，就無法果斷選擇解題方向，無法順利推進(jìn)解題思路，更難以靈光閃現(xiàn)生成數(shù)學(xué)直覺、產(chǎn)生解題頓悟，所以扎實(shí)的基礎(chǔ)是攻克難題、萌生靈感的前提，是養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣的關(guān)鍵，也是戰(zhàn)勝高考的后盾，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的復(fù)習(xí)教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生練就三種“硬功夫”.取值趨勢(shì)，以增加解題的嚴(yán)謹(jǐn)性和得分率.

4.2培養(yǎng)核心素養(yǎng)，以不變應(yīng)萬變

高考對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查重點(diǎn)雖然集中在單調(diào)性、極值、最值和零點(diǎn)，試題構(gòu)成元素也主要是e^x，Inx及一次、二次函數(shù)和分式函數(shù)，但是元素的復(fù)合形式、設(shè)問角度及參數(shù)調(diào)控多種多樣，不可能常有“姊妹題”，掌握以不變應(yīng)萬變的的良方，唯有發(fā)展良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，在導(dǎo)數(shù)綜合問題的解決中，必備的“關(guān)鍵能力”主要是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，

章建躍博士指出，理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)教學(xué)中，不宜篤信題海戰(zhàn)術(shù)從量上追求“練過”，而應(yīng)著眼于發(fā)展核心素養(yǎng)從質(zhì)上追求“練透”，若邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)沒跟上，即使年年歲歲考題相似，還是歲歲年年熟而不會(huì)，例如，在類似題1的“零點(diǎn)問題”研究解決中，要幫助學(xué)生厘清思路、開闊思維；讓學(xué)生領(lǐng)悟解題路徑及運(yùn)算要領(lǐng)，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則、清晰選擇運(yùn)算方法，若選擇解法1，思維程序如下：

在反思環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問題和提出問題：兩個(gè)零點(diǎn)滿足何性質(zhì)（Xl+X2<-21na）？若f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)、沒有零點(diǎn)情況如何？這類問題還有什么解法？通過這些系列問題的思考升華、自發(fā)感悟，培養(yǎng)思維的深刻性、廣闊性和靈活性，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).endprint