基于健康度的自適應(yīng)過(guò)濾粒子群算法*

袁 羅，葛洪偉+，姜道銀

1.輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（江南大學(xué)），江蘇 無(wú)錫 214122

2.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

1 引言

粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法是一種基于迭代的優(yōu)化方法[1]，它源于對(duì)鳥(niǎo)群和魚(yú)群群體覓食運(yùn)動(dòng)行為的模擬，是一類(lèi)新興的基于群智能的隨機(jī)優(yōu)化算法，較其他的進(jìn)化算法相比，易于實(shí)現(xiàn)且參數(shù)較少，已在科學(xué)和工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。然而，基本PSO算法在實(shí)現(xiàn)中存在一些不足，如難以跳出局部最優(yōu)和收斂速度慢等。近些年來(lái)，許多學(xué)者在優(yōu)化算法性能上做出的貢獻(xiàn)有：（1）在PSO算法中引入慣性權(quán)重[2-3]，增加收斂因子[4]，修正學(xué)習(xí)因子[5]等，以平衡粒子群的全局探索和局部搜索能力。（2）在PSO混合策略上，如將GA（genetic algoritim）中選擇、變異和交叉的思想融入PSO算法[6-7]，PSO和DE（differential evolution）融合[8]，PSO與其他的一些局部和全局收縮技術(shù)都有一定程度的融合，如蟻群算法、單純形算法和模糊邏輯算法等。（3）避免種群陷入局部最優(yōu)，如引入自適應(yīng)變異機(jī)制[9-13]、交叉機(jī)制[14]等方法。但總體而言，這些算法仍然存在易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢等缺陷。

為彌補(bǔ)PSO算法難以跳出局部最優(yōu)和收斂速度慢等不足，本文提出了基于健康度[15]的自適應(yīng)過(guò)濾粒子群算法（PSO algorithm with adaptive filter based on health degree，HAFPSO）。該算法通過(guò)計(jì)算粒子健康度區(qū)分粒子狀態(tài)，處理并標(biāo)記異常粒子，當(dāng)該粒子被處理次數(shù)超過(guò)一定閾值而仍沒(méi)有逼近最優(yōu)解趨勢(shì)時(shí)，自適應(yīng)過(guò)濾該粒子位置，重新生成新的位置；同時(shí)，利用引導(dǎo)因子更新全局最差粒子值，過(guò)濾異常粒子數(shù)，避免無(wú)效搜索，提高算法的收斂速度。實(shí)驗(yàn)表明，本文算法能夠顯著提高收斂速度和性能。

2 基于健康度的自適應(yīng)過(guò)濾粒子群算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法通過(guò)模擬鳥(niǎo)群飛行中的覓食行為，把鳥(niǎo)類(lèi)個(gè)體看作隨機(jī)的粒子，通過(guò)局部和全局最優(yōu)來(lái)引導(dǎo)粒子飛向最優(yōu)解。粒子根據(jù)自己在解空間中的飛行經(jīng)驗(yàn)以及粒子群體的飛行狀況動(dòng)態(tài)更新自己的速度和位置。其所經(jīng)歷的最優(yōu)位置即個(gè)體歷史最優(yōu)位置記為pi=(pi1,pi2,…,piD)，其中所有粒子經(jīng)歷過(guò)的最優(yōu)位置即全局最優(yōu)位置記為pg=[pg1,pg2,…,pgD]。粒子的位置和速度更新公式分別為：

其中，w為慣性權(quán)值；c1和c2是加速系數(shù)；r1和r2均為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

2.2 HAFPSO算法

2.2.1 健康度

文獻(xiàn)[15]提出健康度概念：在每一次迭代進(jìn)程中，都會(huì)記錄當(dāng)前的粒子振蕩數(shù)NOSC和停滯數(shù)NS，如果粒子在每一次迭代中越來(lái)越接近最優(yōu)解，則粒子健康度上升，否則下降。當(dāng)粒子的健康度低于設(shè)定的門(mén)限值時(shí)，粒子則被判定為異常粒子。粒子健康度計(jì)算公式如下：

其中，WS和WOSC分別是粒子的停滯次數(shù)和振蕩次數(shù)的權(quán)值系數(shù)。

2.2.2 自適應(yīng)過(guò)濾機(jī)制

定義1Limit為一個(gè)調(diào)節(jié)變量，用于衡量異常粒子是否需要自適應(yīng)過(guò)濾處理：

其中，β取值[0,2]；M為最大迭代次數(shù)，本文設(shè)為2 000；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；D為粒子的維度。顯然，隨著迭代次數(shù)的增加，Limit值也在增加，能夠更加準(zhǔn)確地識(shí)別懶惰粒子，從而對(duì)懶惰粒子進(jìn)行救治，避免無(wú)效搜索，加快算法收斂速度。

定義2懶惰粒子L定義為：

準(zhǔn)確地確定懶惰粒子是關(guān)鍵。根據(jù)定義1，調(diào)節(jié)變量Limit用于確定是否對(duì)異常粒子進(jìn)行自適應(yīng)過(guò)濾處理。當(dāng)異常粒子被處理次數(shù)超過(guò)Limit值而仍沒(méi)有逼近最優(yōu)解的趨勢(shì)時(shí)，即被視為懶惰粒子。在鎖定懶惰粒子后，立刻重新生成一個(gè)新的位置，更新公式如下：

其中，pg為第i個(gè)粒子的全局最優(yōu)位置；xi為第i個(gè)粒子的位置。

定義3引導(dǎo)因子q為每輪迭代中最接近最優(yōu)解的粒子，q滿(mǎn)足條件：

其中，xi代表粒子的位置；cosθ計(jì)算方式為：

粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果連續(xù)兩代都朝著同一方向，則可以判斷為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡存在朝著最優(yōu)解方向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。隨著迭代次數(shù)的增加，如果粒子運(yùn)動(dòng)軌跡重復(fù)這種狀態(tài)，即可以判斷該粒子在朝著最優(yōu)解方向運(yùn)動(dòng)。如果迭代后期出現(xiàn)粒子當(dāng)前迭代與上一次迭代運(yùn)行方向相異時(shí)，則在當(dāng)前迭代中該粒子不滿(mǎn)足引導(dǎo)因子的條件，直接利用傳統(tǒng)方法更新該粒子速度和位置。

Fig.1 Particle trajectory圖1 粒子軌跡圖

在收斂的情況下，因?yàn)樗械牧Ｗ佣枷蜃顑?yōu)解的方向運(yùn)動(dòng)，所以粒子趨向同一化，失去了多樣性，使得后期收斂速度明顯變慢，以致算法收斂到一定精度時(shí)無(wú)法繼續(xù)優(yōu)化。粒子群在尋優(yōu)過(guò)程中，無(wú)論是找到最優(yōu)解還是陷于局部最優(yōu)，整個(gè)過(guò)程中pg的變化率會(huì)越來(lái)越小，最終趨于靜止。隨著迭代次數(shù)的增加，所有粒子的位置會(huì)逐步靠近并停止在pg處。一旦粒子趕上種群最優(yōu)，粒子會(huì)聚集到相應(yīng)位置并停止移動(dòng)，種群的多樣性會(huì)慢慢喪失，從而導(dǎo)致算法過(guò)早收斂而出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。

而引導(dǎo)因子q為每輪迭代中最接近最優(yōu)解的粒子，隨著迭代次數(shù)的增加，通過(guò)記錄每個(gè)粒子當(dāng)前迭代與上一次迭代運(yùn)行的方向是否相異來(lái)判斷粒子的飛行狀態(tài)，在當(dāng)前迭代中選擇最接近最優(yōu)解的粒子作為引導(dǎo)因子。引導(dǎo)因子是由粒子的飛行狀態(tài)決定的，可以指引最差粒子徑直地朝最優(yōu)解方向飛行，提高種群多樣性的同時(shí)加快收斂速度。因此利用引導(dǎo)因子來(lái)更新最差全局粒子值，可以有效地平衡搜索過(guò)程的多樣性和方向性，避免算法陷入局部最優(yōu)。

因此，利用引導(dǎo)因子q引導(dǎo)更新全局最差粒子值，從而在每一次迭代中降低異常粒子數(shù)，提高整體粒子的健康度。其計(jì)算公式如下：

其中，xw是種群中適應(yīng)度最差的粒子位置。

在粒子實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，大部分的粒子運(yùn)行狀態(tài)并不盡如人意，存在一些粒子始終無(wú)法逼近最優(yōu)位置。文獻(xiàn)[15]提出的HPSO（particle swarm optimization based on health degree）算法通過(guò)計(jì)算粒子健康度區(qū)分正常粒子和異常粒子，將異常粒子的歷史最優(yōu)位置進(jìn)行更新，但是隨著迭代次數(shù)的增加，粒子速度下降導(dǎo)致很難跳出局部最優(yōu)；另外，每一次迭代要對(duì)每一個(gè)粒子進(jìn)行判斷處理，而存在一些粒子始終無(wú)法逼近最優(yōu)位置，這就延長(zhǎng)了尋優(yōu)時(shí)間。

自適應(yīng)過(guò)濾機(jī)制通過(guò)對(duì)異常粒子進(jìn)行標(biāo)記，利用調(diào)節(jié)變量Limit識(shí)別懶惰粒子，重新生成一個(gè)新的位置；同時(shí)，用引導(dǎo)因子q引導(dǎo)全局最差粒子，過(guò)濾異常粒子數(shù)，提高整體粒子的健康度。利用這種自適應(yīng)的過(guò)濾機(jī)制，一方面可以增加粒子的多樣性，有助于算法在迭代后期跳出局部最優(yōu)，加大算法跳出局部最優(yōu)的幾率，提升粒子的全局尋優(yōu)能力；另一方面避免無(wú)效搜索，加快算法收斂速度。

2.2.3 算法步驟

輸入：粒子個(gè)數(shù)N，粒子維數(shù)D，迭代次數(shù)Iterations，運(yùn)行次數(shù)number。

步驟2計(jì)算粒子的適應(yīng)度值。

步驟3更新每個(gè)粒子的速度和位置。

步驟4計(jì)算每一個(gè)粒子的健康度，若判斷是異常粒子，更新異常粒子歷史最優(yōu)值位置pi=rand(0,1)×(pg-xi)，識(shí)別懶惰粒子，重新生成新的位置xi=xi+rand(0,1)×(pg-xi)。

步驟5更新全局最差粒子值，提高整體粒子的健康度xw=xw+rand(0,1)×(qi-xw)。

步驟6判斷是否滿(mǎn)足結(jié)束條件，若不滿(mǎn)足，跳轉(zhuǎn)至步驟2，否則，算法結(jié)束。

3 HAFPSO算法分析

3.1 粒子移動(dòng)進(jìn)程模擬

改進(jìn)前后的兩種算法的粒子移動(dòng)進(jìn)程模擬如圖2、圖3所示，在引導(dǎo)因子的作用下，每次迭代后，異常粒子數(shù)降低，整體粒子健康度上升，收斂速度明顯加快。

Fig.2 Particle trajectory by HPSO圖2 改進(jìn)前粒子移動(dòng)進(jìn)程圖

Fig.3 Particle trajectory by HAFPSO圖3 改進(jìn)后粒子移動(dòng)進(jìn)程圖

3.2 時(shí)間復(fù)雜度分析

衡量算法優(yōu)劣的另一標(biāo)準(zhǔn)就是算法的復(fù)雜程度。假設(shè)粒子個(gè)數(shù)N，粒子維數(shù)D，考慮到最壞的情況，HAFPSO算法進(jìn)行一次迭代的時(shí)間復(fù)雜度分析如下：

（1）初始化粒子參數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)。

（80）瓦氏皺指苔Telaranea wallichiana（Gottsche）R.M.Schust.

（2）判斷停止迭代，時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。

（3）計(jì)算粒子健康度，如果判斷為異常粒子，進(jìn)行處理的同時(shí)標(biāo)記該粒子，被搜索次數(shù)加1；再判斷無(wú)效搜索次數(shù)是否大于設(shè)定閾值，若是，則重新更新位置，時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)。

（4）引導(dǎo)因子更新最差粒子值，時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)。

（5）更新歷史最優(yōu)位置表和全局最優(yōu)位置表，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。

因此，HAFPSO算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)。

3.3 算法收斂性分析

一個(gè)算法是否收斂必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）在搜索空間中，產(chǎn)生的解都是獨(dú)立的。（2）能夠保存最優(yōu)解。HAFPSO算法收斂性分析如下。

定義4設(shè)X?為算法的最優(yōu)解，則X?須滿(mǎn)足：

其中，X為搜索變量，f為目標(biāo)函數(shù)。θ(R)=|R?X?|解空間R中最優(yōu)解的個(gè)數(shù)。

定義5若，則HAFPSO算法收斂。其中，R0代表初始化的解，t表示迭代次數(shù)。

定理1 HAFPSO算法收斂。

證明令P0(t)=P{θ(R(t))=0}，則：

在HAFPSO算法中，如果存儲(chǔ)的最優(yōu)解中不為空的話，那下一次迭代中最優(yōu)解的個(gè)數(shù)肯定不為0，即P{θ(R(t+1))=0|θ(R(t))≠0}=0 。因此，P0(t+1)=P{θ(R(t+1))=0|θ(R(t))=0}×P{θ(R(t))=0}。由算法描述可知，P{θ(R(t+1))=1|θ(R(t))=0}＞0，令,… 然后：

因此，當(dāng)t→∞時(shí)，P{θ(R(t))≥1}→1，即HAFPSO算法是收斂的。 □

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

4.1 測(cè)試函數(shù)

為了測(cè)試HAFPSO算法的效果，對(duì)11個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。表1給出了11個(gè)測(cè)試函數(shù)的名稱(chēng)、搜索空間范圍、屬性和最優(yōu)值。

Table 1 Test functions表1 測(cè)試函數(shù)

4.2 調(diào)節(jié)變量Limit中β值選擇實(shí)驗(yàn)

為了確定HAFPSO算法Limit變量中β的最佳值，設(shè)定粒子維數(shù)D=50，粒子數(shù)目N=30，最大迭代次數(shù)為2 000，對(duì)β分別取值為0.2、0.4、0.6、0.9、1.1、1.3、1.6、1.8進(jìn)行了測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。其中Mean代表20次實(shí)驗(yàn)中解的平均值，反應(yīng)了解的質(zhì)量；Std表示解的方差，反映了算法的穩(wěn)定性。

從表2中可以看出，當(dāng)β的取值為1.1時(shí)，算法的尋優(yōu)精度最高，性能最好。這一點(diǎn)充分體現(xiàn)了算法在對(duì)異常粒子處理過(guò)程中的自適應(yīng)過(guò)濾機(jī)制對(duì)提高算法收斂精度有一定的貢獻(xiàn)。從表2中數(shù)據(jù)分析可知，當(dāng)β值較大的話，會(huì)出現(xiàn)對(duì)懶惰粒子的更新速度不夠而尋優(yōu)精度不高的現(xiàn)象；β取值較小的話，算法的自適應(yīng)過(guò)濾能力過(guò)度，這在F2、F3、F5中體現(xiàn)得較為明顯；當(dāng)β小于1.1時(shí)，算法在給定迭代次數(shù)內(nèi)的尋優(yōu)精度隨著β的增加而有所提高。

Table 2 Influence of different βon HAFPSO表2 不同β對(duì)HAFPSO算法的影響

4.3 性能測(cè)試實(shí)驗(yàn)與分析

將本文算法HAFPSO與標(biāo)準(zhǔn)粒子群PSO、APSO（adaptive particle swarm optimization）[10]、HPSO[15]進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證算法的性能。本文中實(shí)驗(yàn)種群個(gè)數(shù)為30，測(cè)試函數(shù)的維數(shù)為50維，迭代次數(shù)為2 000；APSO和HPSO算法的參數(shù)設(shè)置分別見(jiàn)文獻(xiàn)[10,15]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

從表3數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中，HAFPSO算法相較于HPSO算法在解的質(zhì)量、算法的穩(wěn)定性上都有了很大的提高。特別地，在F8、F11的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性上表現(xiàn)得尤為突出：F8是非凸的病態(tài)函數(shù)，常用于考察算法的執(zhí)行效率；F11為多峰函數(shù)，用于測(cè)試算法跳出局部最優(yōu)的能力。顯然，HPSO算法在單峰函數(shù)F2、F3、F9以及多峰函數(shù)F8、F11中尋優(yōu)精度較弱。而HAFPSO算法在上述所有的測(cè)試函數(shù)中都有著很好的表現(xiàn)。

為了更直觀地反映算法的尋優(yōu)效果，4種算法對(duì)相關(guān)測(cè)試函數(shù)的收斂曲線如圖4所示。圖中的橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)，因篇幅有限，圖中只列出其中6幅，其他效果類(lèi)似。從圖4中可以看出，HAFPSO算法具有較快的收斂速度，無(wú)論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)都只需較少的迭代次數(shù)就能找到全局最優(yōu)。

為了進(jìn)一步展示各種算法種群的位置多樣性[16]隨迭代次數(shù)的變化情況，圖5給出了4種算法的位置多樣性在迭代過(guò)程中的變化曲線，由于篇幅有限，本文僅列舉3幅，其他效果類(lèi)似。圖中橫縱坐標(biāo)分別表示種群的迭代次數(shù)和當(dāng)前的位置多樣性I(X(t))，表達(dá)式如下：

從圖5中可以看出，HAFPSO算法在迭代初期粒子多樣性相對(duì)偏低，種群搜索范圍相對(duì)較小，從而使算法具有相對(duì)較強(qiáng)的局部搜索能力，加快算法收斂速度；在迭代后期，粒子多樣性相對(duì)較高，粒子能夠在較大范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，增強(qiáng)了粒子群的全局搜索能力，提高算法收斂速度?？v觀整個(gè)迭代過(guò)程，HAFPSO算法中粒子群的位置多樣性I(X(t))較為穩(wěn)定，有利于平衡種群的局部探索和全局探索能力。因此，通過(guò)對(duì)表3、圖4、圖5的分析可知，HAFPSO算法在尋優(yōu)精度和收斂速度方面明顯優(yōu)于其他算法。

4.4 算法尋優(yōu)時(shí)間對(duì)比

為了進(jìn)一步表現(xiàn)HAFPSO算法在尋優(yōu)速度上的優(yōu)勢(shì)，將各算法獨(dú)立運(yùn)行20次，比較相同仿真環(huán)境，粒子維數(shù)皆為50的情況下，達(dá)到指定收斂精度（1.00E-04）所需要的運(yùn)行時(shí)間，如果200 000次迭代后仍然沒(méi)有達(dá)到該精度，則用“—”表示，結(jié)果如表4所示。

Table 3 Comparison for 50-dimension problems表3 各算法在50維下的計(jì)算結(jié)果比較

Fig.4 Convergence curves圖4 收斂曲線

Fig.5 Position variety圖5 位置多樣性

由表4中數(shù)據(jù)分析可知，在仿真環(huán)境和參數(shù)設(shè)置相同的情況下，本文提出的HAFPSO算法達(dá)到給定的尋優(yōu)精度所需的運(yùn)行時(shí)間優(yōu)于HPSO算法，這也從另一方面再次驗(yàn)證了HAFPSO算法的有效性。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法在尋優(yōu)時(shí)存在收斂速度慢以及難以跳出局部最優(yōu)等問(wèn)題，本文提出了基于健康度的自適應(yīng)過(guò)濾粒子群算法（HAFPSO）。通過(guò)計(jì)算粒子健康度區(qū)分粒子狀態(tài)，標(biāo)記異常粒子，當(dāng)該粒子被處理次數(shù)超過(guò)一定閾值而仍沒(méi)有逼近最優(yōu)解的趨勢(shì)時(shí)，重新生成新的位置；同時(shí)，利用引導(dǎo)因子引導(dǎo)更新最差粒子值，避免無(wú)效搜索，加快算法收斂速度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，HAFPSO算法尋優(yōu)精度高，收斂速度快，在性能上比文中給出的其他改進(jìn)算法更優(yōu)。

Table 4 Comparison of time for achieveing optimization表4 算法尋優(yōu)時(shí)間比較

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