非圓齒輪-槽輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

葉素娣，劉玉婷

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引言

工程中需要這樣一種機(jī)構(gòu)，當(dāng)主動(dòng)件做連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)件做有規(guī)律的間歇運(yùn)動(dòng)。槽輪機(jī)構(gòu)因其結(jié)構(gòu)簡單，工作可靠，傳動(dòng)效率較高，常用作轉(zhuǎn)位分度以及要求單向間歇運(yùn)動(dòng)的場合[1]，如自動(dòng)機(jī)床的轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)，電影放映機(jī)中電影膠片間歇移動(dòng)機(jī)構(gòu)等。

槽輪機(jī)構(gòu)在工作過程中存在柔性沖擊，沖擊程度與轉(zhuǎn)速、徑向槽數(shù)相關(guān)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增高、槽數(shù)減少時(shí)，沖擊隨之加劇。如果用非圓齒輪機(jī)構(gòu)作為其前置機(jī)構(gòu)，改變撥盤的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，就能調(diào)和槽輪在運(yùn)動(dòng)過程中的沖擊現(xiàn)象，從而改善槽輪機(jī)構(gòu)傳動(dòng)的平穩(wěn)性[2-3]。

1 槽輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

外槽輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖如圖1所示。假設(shè)槽輪有z個(gè)徑向槽，為了避免圓銷A在進(jìn)入和退出徑向槽的瞬間發(fā)生剛性沖擊，徑向槽中心線應(yīng)與圓銷進(jìn)入和退出徑向槽的瞬時(shí)速度方向處于同一直線上，即AO1⊥AO2,作AB⊥O1O2。

圖1 外槽輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖

當(dāng)撥盤逆時(shí)針轉(zhuǎn)過2φ1時(shí)，槽輪順時(shí)針轉(zhuǎn)過2φ2，故在ΔABO2中有：

(1)

式中，r為撥盤的半徑，l為撥盤和槽輪的中心距。

得到：

(2)

對(2)式求導(dǎo)，得到槽輪角速度ω2：

(3)

式中，ω1表示撥盤的轉(zhuǎn)速，ω2表示槽輪的轉(zhuǎn)速。

以撥盤轉(zhuǎn)角φ1為橫坐標(biāo)，槽輪相對角速度ω2/ω1為縱坐標(biāo)，取z=4，z=6，z=8，槽輪相對角速度變化規(guī)律如圖2所示。

圖2 槽輪相對角速度變化規(guī)律

對(3)式求導(dǎo)，得到槽輪角加速度α2：

(4)

圖3 槽輪的相對角加速度變化規(guī)律

2 具體應(yīng)用中的槽輪機(jī)構(gòu)分析

槽輪的運(yùn)動(dòng)特性參數(shù)對槽輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性有很大的影響，例如在電影放映機(jī)電影膠片間歇移動(dòng)機(jī)構(gòu)中，膠片移動(dòng)速度變化越小，電影放映質(zhì)量越好，而其加速度的大小范圍直接反映速度的波動(dòng)范圍，所以須在工作進(jìn)程中減小加速度的最值，縮小速度的波動(dòng)范圍，使速度盡可能平穩(wěn)。基于此，需要對槽輪的運(yùn)動(dòng)特性參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

由式(1)至式(4)可知，在輸入角位移值一定的情況下，以撥盤半徑、徑向槽數(shù)和安裝中心距為設(shè)計(jì)變量，以槽輪輸出速度來建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[4]，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)并仿真，采用槽輪機(jī)構(gòu)能滿足電影放映機(jī)的運(yùn)動(dòng)要求。

而當(dāng)槽輪機(jī)構(gòu)的各個(gè)參數(shù)值一定時(shí)，通過設(shè)定不同的輸入角位移值，也會(huì)影響輸出的速度變化，由此也能設(shè)計(jì)出滿足應(yīng)用要求的槽輪機(jī)構(gòu)。

考慮到在實(shí)際工程應(yīng)用中，對槽輪機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有一定的限制和要求，因此通過控制電機(jī)的輸出速度來改變輸入到槽輪機(jī)構(gòu)的角位移值，從而使槽輪機(jī)構(gòu)輸出速度變化更具有靈活性。

若使電機(jī)的輸出(撥盤的輸入)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：

φ1=2arccot[2.78cot(0.5x)]

(5)

式中，x為虛擬軸角位移。

此時(shí)可得撥盤角速度ω1：

(6)

將式(5)和式(6)代入式(3)、式(4)中，得到槽輪機(jī)構(gòu)在變速輸入時(shí)槽輪的角速度及相對角加速度變化規(guī)律分別如圖4和圖5。

圖4 變速輸入時(shí)槽輪的角速度變化規(guī)律

圖5 變速輸入時(shí)槽輪的相對角加速度變化規(guī)律

3 非圓齒輪-槽輪機(jī)構(gòu)串聯(lián)運(yùn)動(dòng)分析

考慮到電機(jī)按φ1=2arccot[2.78cot(0.5x)]變速要求會(huì)增大采購成本，故采用由勻速電機(jī)通過驅(qū)動(dòng)一對非圓齒輪，再現(xiàn)式(5)運(yùn)動(dòng)規(guī)律來獲得變速輸出作為槽輪機(jī)構(gòu)的輸入。非圓齒輪和槽輪機(jī)構(gòu)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖如圖6所示。

圖6 非圓齒輪和槽輪機(jī)構(gòu)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

當(dāng)主動(dòng)橢圓齒輪1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因從動(dòng)橢圓齒輪2與撥盤3同軸安裝[5-6]，故而一起作變速轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)槽輪在變速輸入時(shí)的間歇運(yùn)動(dòng)。即：

φ2=2arccot[2.78cot(0.5φ1)]

(7)

滿足式(7)的非圓齒輪的傳動(dòng)比：

(8)

而非圓齒輪的瞬時(shí)傳動(dòng)比又可表示為：

(9)

從而得到：

(10)

假設(shè)中心距a=50mm，節(jié)曲線r1、r2關(guān)于轉(zhuǎn)角φ1的函數(shù)用matlab編程畫出其圖形，得出一對節(jié)曲線關(guān)于轉(zhuǎn)角函數(shù)變化圖形如圖7所示。

如圖7所示，這對非圓齒輪與槽輪機(jī)構(gòu)按圖6所示串聯(lián)運(yùn)動(dòng)，就能使槽輪機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)圖4、圖5所示的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖7 一對節(jié)曲線關(guān)于轉(zhuǎn)角函數(shù)變化圖形

4 結(jié)語

槽輪機(jī)構(gòu)在具體工程應(yīng)用中，要求傳動(dòng)平穩(wěn)，沖擊小。通過建模仿真分析可知，槽輪機(jī)構(gòu)中徑向槽數(shù)越多，槽輪機(jī)構(gòu)柔性沖擊越小。在徑向槽數(shù)、槽輪半徑以及安裝中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)[7]的前提下，既可以通過電機(jī)單向變速驅(qū)動(dòng)槽輪機(jī)構(gòu)改善槽輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性，也可以通過勻速電機(jī)驅(qū)動(dòng)非圓齒輪副與槽輪機(jī)構(gòu)串聯(lián)組合的方式實(shí)現(xiàn)槽輪機(jī)構(gòu)在滿足運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)時(shí)實(shí)現(xiàn)其功能，這一方法適合于自動(dòng)機(jī)床的轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)和電影放映機(jī)的膠片間歇移動(dòng)機(jī)構(gòu)?？梢赃x用不同工程應(yīng)用中的單向變速運(yùn)動(dòng)函數(shù)，通過再現(xiàn)此函數(shù)來反求非圓齒輪副[8],從而使槽輪機(jī)構(gòu)的應(yīng)用更具廣泛性。

[1] 顧淑華，耿謙.橢圓齒輪在槽輪機(jī)構(gòu)中的設(shè)計(jì)應(yīng)用[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2009,26(8):53-56.

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