淺談解答三角函數(shù)問題的方法和技巧

摘要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，需要我們靈活運(yùn)用公式定理，掌握三角函數(shù)問題的解題技巧。本文將從筆者的做題經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探討三角函數(shù)問題的解題方法和解題技巧，主要分析了定義判斷法、公式求解法、消參法和構(gòu)造法的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；三角函數(shù)問題；解題方法技巧

一、 前言

三角函數(shù)問題在考試中占有較大分?jǐn)?shù)比重，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題。在解題過程中，要靈活運(yùn)用化歸思想、換元思想和數(shù)形結(jié)合思想等，利用三角函數(shù)的定義和公式，對(duì)問題進(jìn)行簡化，進(jìn)而解出題目的正確答案。為了提高三角函數(shù)問題的解題效率和準(zhǔn)確率，我們應(yīng)在平時(shí)的解題過程中，善于總結(jié)方法技巧，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)解題能力的逐步提高。

二、 高中三角函數(shù)問題解題方法

三角函數(shù)是以角度為變量的一類函數(shù)問題，是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)題目。三角研究的是直角三角形中的邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系，包含大量的定義和公式。三角函數(shù)解題方法的本質(zhì)是對(duì)三角函數(shù)定義及公式的運(yùn)用，因此，我們要將基本的定義和公式掌握牢固，為解答三角函數(shù)問題打下基礎(chǔ)。此外三角函數(shù)在研究幾何圖形性質(zhì)中也有廣泛應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性是許多數(shù)學(xué)問題的求解關(guān)鍵，這些都說明了三角函數(shù)知識(shí)的重要性。

筆者在自己的解題過程中，對(duì)三角函數(shù)問題的求解方法進(jìn)行了總結(jié)和歸納，主要包括定義法、公式化簡法、參數(shù)消除法和構(gòu)造法等。這些解題方法是三角函數(shù)問題解題思想的具體表現(xiàn)，需要我們靈活運(yùn)用化歸思維、換元思維和圖形結(jié)合思維等，對(duì)三角函數(shù)問題進(jìn)行深入分析，確定解題關(guān)鍵。比如化歸思維是將包含多個(gè)角度變量的三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為單一角度變量的表達(dá)式，或?qū)⒑卸鄠€(gè)三角函數(shù)名的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為只含有單一三角函數(shù)名的表達(dá)式。在此過程中，需要把未知角用已知角表示，對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行降次轉(zhuǎn)化等，從而求解出結(jié)果。下面結(jié)合幾道例題對(duì)三角函數(shù)解題思想和解題方法進(jìn)行具體分析。

三、 高中三角函數(shù)問題解題技巧

（一） 利用定義進(jìn)行判斷

能用定義法直接判斷求解的三角函數(shù)問題通常比較簡單，或一些看似復(fù)雜的問題也可以直接利用定理得出結(jié)果。在解題過程中，需要我們對(duì)定義的內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行深刻理解，從而能夠靈活運(yùn)用，抓住問題求解的關(guān)鍵，快速得出答案。以一道三角函數(shù)問題為例，對(duì)定義法的具體應(yīng)用進(jìn)行說明。

【例1】已知函數(shù)y=sinAcosA+sinA+cosA，求函數(shù)最大值。

在求解此類題目時(shí)，直接利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解，可以快速得出答案。根據(jù)三角函數(shù)定義可知，sinA=yr，cosA=xr，tanA=yx，且x2+y2=r2，利用公式可以將題目中的函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=xyr2+yr+xr≤12+2，即當(dāng)sinA=cosA時(shí)函數(shù)取得最大值。

定義法在求解簡單題目時(shí)具有較大優(yōu)勢(shì)，在一些復(fù)雜問題的求解過程中，還可以與其他求解方法配合使用，達(dá)到將題目化簡的目的。我們?cè)谇蠼馊呛瘮?shù)問題時(shí)準(zhǔn)確率不高，有很大一部分原因是把問題“復(fù)雜化”，沒有理清解題思路。定義法求解采取單刀直入的方式，可以使三角函數(shù)問題由繁化簡，最終迎刃而解。

（二） 巧用公式求解

利用公式求解三角函數(shù)的題目是三角函數(shù)求解的基本方法，需要審清題目，再用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行求解。公式求解法的關(guān)鍵是合理選用公式，要充分分析出題者的考核目的，利用題目已知條件，與所學(xué)的公式定理聯(lián)系起來，達(dá)到求解的目的。還是以一道題目為例，對(duì)公式法的應(yīng)用進(jìn)行說明。

【例2】已知sinA-cosA=33，求sin3A-cos3A的值。

在求解該題時(shí)，由于題目中已經(jīng)給出sinA-cosA的值，可以利用立方差公式，將需要求解的三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成包含sinA-cosA的形式。即sin3A-cos3A=（sinA-cosA）[（sinA-cosA）2+3sinAcosA]。此時(shí)還要求解sinAcosA的值。由于（sinA-cosA）2=1-2sinAcosA=332=13，由此可以得出sinAcosA=13，從而可以解出答案，即sin3A-cos3A=33332+3×13=439。

（三） 消參法的應(yīng)用

消參法的應(yīng)用關(guān)鍵是通過觀察題目中三角函數(shù)表達(dá)式的形式，找出不同參數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，再利用三角函數(shù)的定義和公式，消除一定數(shù)量的參數(shù)，達(dá)到簡化的目的。一般消參法可以分為兩種情況，一是消除角度變量，二是消除三角函數(shù)名，使要求解的三角函數(shù)表達(dá)式只包含已知變量或三角函數(shù)名。在轉(zhuǎn)化過程中，往往需要將分式表達(dá)式的上下同時(shí)乘一個(gè)三角函數(shù)值，或利用sin2A+cos2A=1等公式進(jìn)行消元。采用這種方法可以有效提高解題效率，排除多個(gè)變量和函數(shù)名的干擾，幫助我們找到解題的關(guān)鍵，用最快的速度求出正確答案。

（四） 構(gòu)造法的應(yīng)用

構(gòu)造法也是一種三角函數(shù)化簡方法，當(dāng)要求解的三角函數(shù)表達(dá)式不滿足公式定理的轉(zhuǎn)換條件時(shí)，可以采取加減同一項(xiàng)或除以同一項(xiàng)的方法，對(duì)三角函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其能夠直接應(yīng)用公式定理得出答案。比如：已知tanA=3，求解sinA-3cosA2sinA+cosA，已知條件可以轉(zhuǎn)化為sinAcosA=3，因此，可以對(duì)要求解的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其分子和分母同時(shí)除以cosA，構(gòu)造出tanA，最終求出結(jié)果。即sinA-3cosA2sinA+cosA=tanA-32tanA+1=0。通過消參法和構(gòu)造法的應(yīng)用，都可以達(dá)到簡化目標(biāo)函數(shù)，利用已知條件進(jìn)行求解的目的，我們?cè)诮忸}過程中，應(yīng)對(duì)這兩種方法進(jìn)行靈活使用。

四、 結(jié)束語

綜上所述，熟練掌握三角函數(shù)的解題方法和解題技巧，可以幫助我們快速找到三角函數(shù)問題的求解關(guān)鍵，并巧妙利用公式定理和已知條件，求解出正確的結(jié)果。我們?cè)谄綍r(shí)的解題過程中，應(yīng)注重培養(yǎng)化歸思維和換元思維，從而提高三角函數(shù)題目的解題效率和準(zhǔn)確率。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

劉穎華，河南省新鄉(xiāng)市，河南師范大學(xué)附屬中學(xué)。endprint