曲線導(dǎo)數(shù)的定義及一些性質(zhì)

摘要：在高中學習過程中，我們對曲線與導(dǎo)數(shù)都進行了較為細致的學習，對其性質(zhì)與定義也有了一定的了解，在此基礎(chǔ)上進行延伸，能夠得出相關(guān)曲線導(dǎo)數(shù)的部分內(nèi)容，其廣泛的應(yīng)用價值，決定了其研究價值?；诖?，本文就曲線導(dǎo)數(shù)的定義及一些性質(zhì)進行了分析，首先，介紹了筆者在對曲線導(dǎo)數(shù)這一問題進行研究的前期過程做出的一些思考，然后對其定義與性質(zhì)進行了分析，進一步明確了這一問題研究的必要性。

關(guān)鍵詞：曲線導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)；充分條件

一、 前言

對曲線導(dǎo)數(shù)存在的充分條件及其基本性質(zhì)的相關(guān)研究，有利于豐富微積分理論，同時，對于筆者及其他同學的高中數(shù)學學習與未來的大學數(shù)學知識學習具有極大的幫助。因此，筆者以高中導(dǎo)數(shù)知識為基礎(chǔ)，從曲線導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學領(lǐng)域，商品價格對商品銷售額的影響這一角度出發(fā)，對曲線導(dǎo)數(shù)進行了進一步探究。文獻研究中結(jié)合的數(shù)學知識包括多元函數(shù)微分學以及偏導(dǎo)數(shù)及曲線微分等知識，極大地鍛煉了自身的數(shù)學邏輯思維與探究學習能力。

二、 問題思考

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學中的重要概念，對近代數(shù)學的整體研究與發(fā)展具有重要的推動意義，這主要取決于其揭示了量與量之間的變化聯(lián)系，致使其在自然與經(jīng)濟等眾多學科當中都取得了較為廣泛的應(yīng)用前景，其應(yīng)用價值得到了充分的發(fā)揮。對于不同的研究問題，導(dǎo)數(shù)都可以被賦予相應(yīng)的定義，除卻常規(guī)的導(dǎo)數(shù)定義，數(shù)學專家們也對方向?qū)?shù)、上右導(dǎo)數(shù)與上左導(dǎo)數(shù)等進行了定義，對其性質(zhì)進行了一定的研究與規(guī)范。筆者基于對經(jīng)濟與數(shù)學的興趣，對提出曲線導(dǎo)數(shù)的相關(guān)文獻進行了研究，進一步對曲線導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)進行了總結(jié)與分析。

三、 曲線導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)

在經(jīng)濟學領(lǐng)域的研究當中發(fā)現(xiàn)，商品價格與銷售額之間存在一定的相互影響關(guān)系，這種關(guān)系通過相關(guān)數(shù)學原理進行表示能夠得到銷售額S=（P，Q），其中，P所代表的是商品價格，Q代表的則是商品P的銷量。由此能夠明確商品銷售價格與銷量之間存在一種非線性關(guān)系，可表示為Q=f（P），若在商品銷售過程中，商品價格P與銷量Q遵循該非線性關(guān)系進行變化，則我們就能將銷售額的變化率視作一個方向?qū)?shù)，這種定義原理，是由于S=（P，Q）中的P與Q同時作為自變量，并不會沿著同一條射線方向進行直線變化，而是會遵循某一曲線規(guī)律進行相關(guān)變化。在對商品價格與銷售額之間關(guān)系的研究過程中，最終若要明確S=（P，Q）中自變量P與Q在曲線Γ：Q=f（P）上變化時函數(shù)S的變化率，就需要提出一種新型的導(dǎo)數(shù)定義來進行輔助研究，即為曲線導(dǎo)數(shù)定義。

（一） 曲線導(dǎo)數(shù)的定義

曲線導(dǎo)數(shù)的定義內(nèi)容如下：假設(shè)一個函數(shù)z=f（x，y），在這一函數(shù)區(qū)域D內(nèi)有定義；過區(qū)域D上的一個點M（x，y）作一條曲線，該曲線為Γ：x=φ（t），y=φ（t）。當點M沿著曲線Γ變化時，函數(shù)z=f（x，y）就會相應(yīng)產(chǎn)生一定的變化量，當這一變化量為沿曲線的平均變化率時，且存在極限，則就能夠成認定函數(shù)z=f（x，y）在其區(qū)域內(nèi)的點M處沿曲線方向的導(dǎo)數(shù)存在。

依據(jù)曲線導(dǎo)數(shù)的這一定義，我們能夠明確若曲線Γ為射線，則曲線導(dǎo)數(shù)的定義就會發(fā)生變化，將與方向?qū)?shù)一致，由此，我們能夠?qū)⒎较驅(qū)?shù)作為曲線導(dǎo)數(shù)定義中的特殊情形進行以下充分條件的研究。此時曲線導(dǎo)數(shù)的定義即可歸結(jié)為：一個函數(shù)z=f（x，y），在一點處某個射線Γ：Q=f（P）方向上變化，這一距離的變化率即為曲線導(dǎo)數(shù)；若這變化率中同時考慮到與射線Γ：Q=f（P）指向恰好相反的另一條射線，在定義過程中，令函數(shù)的變化距離帶上負號，由此，就得到與正向射線導(dǎo)數(shù)相對稱的曲線導(dǎo)數(shù)。

依舊是上述假設(shè)函數(shù)z=f（x，y），若在區(qū)域D上存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，且在M點連續(xù)，則曲線函數(shù)z=f（x，y）在M點處存在。對這一定理的完全證明，首先應(yīng)采用曲線圖形內(nèi)容對偏導(dǎo)數(shù)的變化軌跡進行準確呈現(xiàn)，再依據(jù)曲線導(dǎo)數(shù)的定義，對其變化過程進行有效分析，在兩點逐漸逼近的過程中，兩點之間的弧線可將其近似看為直線，進而得出其變化軌跡變化量。此后，在進一步利用微分計算，得出曲線導(dǎo)數(shù)的充分條件。

（二） 曲線導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

曲線導(dǎo)數(shù)雖在經(jīng)濟學領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用，但其研究過程多以數(shù)學原理為基礎(chǔ)，明確曲線導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，能夠更好地實現(xiàn)曲線導(dǎo)數(shù)在相關(guān)研究中的應(yīng)用價值，推動數(shù)學研究領(lǐng)域與經(jīng)濟領(lǐng)域共同獲得較大的發(fā)展。

以上述曲線導(dǎo)數(shù)的定義為基礎(chǔ)，提出以下幾點曲線導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，其中包括曲線導(dǎo)數(shù)在曲線為射線時的特殊形式。

若存在沿著同一曲線變化的兩個函數(shù)變化量，則說明在函數(shù)f1±f2區(qū)域內(nèi)同樣存在曲線導(dǎo)數(shù)；若存在沿著同一曲線變化的兩個函數(shù)變化量，則說明在函數(shù)f1·f2區(qū)域內(nèi)同樣存在曲線導(dǎo)數(shù)；若存在沿著同一曲線變化的兩個函數(shù)變化量，則說明在函數(shù)f1/f2區(qū)域內(nèi)同樣存在曲線導(dǎo)數(shù)。

四、 結(jié)束語

綜上所述，對曲線導(dǎo)數(shù)的定義及一些性質(zhì)的研究，有利于對現(xiàn)階段高中所學知識內(nèi)容進行鞏固，同時，還對多元函數(shù)微分、曲線微分、偏導(dǎo)數(shù)等知識內(nèi)容進行初步了解，從相關(guān)文獻當中，還能了解并學習到知識研究過程的邏輯思維，對以后的數(shù)學知識學習具有極大的幫助。另外，對曲線導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)的研究，便于以后經(jīng)濟學領(lǐng)域的應(yīng)用，是筆者今后在高中學習以及未來大學學習的重點方向。

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作者簡介：

趙浩博，河南省平頂山市，平頂山市第一中學。endprint