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    Euler梁彎曲分析的無網(wǎng)格高階曲率光順方案

    2018-02-01 15:40王冰冰段慶林李錫夔張洪武楊迪雄
    計(jì)算機(jī)輔助工程 2017年4期

    王冰冰+段慶林+李錫夔+張洪武+楊迪雄

    摘要:針對(duì)Euler梁彎曲問題的無網(wǎng)格法數(shù)值求解,提出與撓度近似相一致的高階曲率光順方案。采用耦合權(quán)函數(shù)方法準(zhǔn)確施加固定撓度邊界條件,并在曲率光順過程中引入轉(zhuǎn)角邊界條件。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明:該方案能精確反映純彎曲模式和線性彎曲模式;與標(biāo)準(zhǔn)的高斯積分及現(xiàn)有的常曲率光順方案相比,該高階曲率光順方法可顯著改善該類問題的數(shù)值求解精度。

    關(guān)鍵詞:Euler梁;曲率光順;數(shù)值積分;無單元伽遼金法;梁?jiǎn)卧?;耦合形函?shù);高階近似

    中圖分類號(hào):O302 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    0引言

    Euler梁是工程上廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu)元件,其彎曲問題的控制方程為四階微分方程,在對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解時(shí),要求近似函數(shù)至少有C1連續(xù)性。傳統(tǒng)的基于Lagrange插值的有限元法僅具有C0連續(xù)性,不能直接用于求解Euler梁彎曲問題,通常須采用Hermite插值。近二十余年發(fā)展起來的無網(wǎng)格法,其近似函數(shù)(形函數(shù))十分光滑,滿足高階連續(xù)性的要求,可方便地直接應(yīng)用于Euler梁的彎曲分析。

    由于無網(wǎng)格形函數(shù)為非多項(xiàng)式有理函數(shù),需采用較多的區(qū)域積分點(diǎn)計(jì)算Galerkin法弱形式,嚴(yán)重降低無網(wǎng)格法的計(jì)算效率,且計(jì)算精度不高。由一般彈性體無網(wǎng)格分析中的應(yīng)變光順技術(shù)推廣而來的曲率光順方法,在每個(gè)背景積分網(wǎng)格內(nèi)僅采用一個(gè)積分點(diǎn)即可精確反映常彎曲模式,既大幅減少積分點(diǎn)個(gè)數(shù)又顯著提高求解精度,成為該類問題的主要數(shù)值積分方法,已在薄梁板彎曲、自由振動(dòng)、色散及屈曲等方面得到廣泛應(yīng)用。然而,DUAN等指出,針對(duì)一般彈性體理論提出的應(yīng)變光順技術(shù)只能精確反映常應(yīng)變場(chǎng),不完全適用于高階無網(wǎng)格法,并進(jìn)一步通過修正積分點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),發(fā)展針對(duì)高階近似的一致性積分方法。目前,該類積分方法已在無網(wǎng)格傳熱、彈性動(dòng)力學(xué)和三維彈塑性等問題中得到應(yīng)用,表現(xiàn)出高精度、高效率的優(yōu)點(diǎn)。CHEN等基于變分原理推導(dǎo)適用于高階近似的積分約束條件,并通過修正檢驗(yàn)函數(shù)消除積分殘差,該方法得到的檢驗(yàn)函數(shù)一般與試探函數(shù)不同,因而得到的剛度陣非對(duì)稱。WANG等以應(yīng)變光順方法為基礎(chǔ),采用三角形嵌套子域積分,通過積分誤差估計(jì),合理地組合剛度陣,同樣得到具有二階精度的積分方法。

    目前,針對(duì)一般彈性體的無網(wǎng)格分析已發(fā)展出若干種適用于高階近似的積分方法。然而,現(xiàn)有的由應(yīng)變光順技術(shù)推廣而來的曲率光順方法僅能精確反映常彎曲模式,仍然只是常曲率光順方案,不能精確再現(xiàn)與高階(二階以上)無網(wǎng)格近似相一致的具有高階曲率的彎曲模式。本文針對(duì)Euler梁彎曲問題,采用三階無網(wǎng)格近似,發(fā)展出與其相一致的高階曲率光順方案,并考察其計(jì)算精度、收斂性等數(shù)值特性。

    1控制方程及數(shù)值離散

    在Ω=[0,L](L為梁的長度)時(shí),Euler梁彎曲問題的控制方程為endprint

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