G′/G展開法在(3+1)維KP方程中的應(yīng)用

，

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

在數(shù)學(xué)物理、工程力學(xué)等許多領(lǐng)域中，存在著大量的模型可以用偏微分方程來(lái)描述。例如，熱流動(dòng)、波的傳播、大部分人口統(tǒng)計(jì)模型以及化學(xué)反應(yīng)性材料的色散現(xiàn)象等。另外，流體動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、電力學(xué)、離子體物理淺水波的傳播等都需要偏微分方程來(lái)刻畫。因此，非線性發(fā)展方程得到人們的廣泛關(guān)注[1]，許多學(xué)者也在非線性方程求解這一領(lǐng)域取得了巨大的成就[1]。在非線性波及孤立子理論的物理問(wèn)題中，KP方程占有重要的位置[2,3]，本文研究(3+1)維KP方程

(ut+6unux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0

其中，u=u(t,x,y,z)為未知函數(shù),r、α、β為任意常數(shù),n為待定常數(shù)。

關(guān)于求解非線性偏微分方程精確解已經(jīng)有很多方法，如齊次平衡法[4,5,6,11]、雙曲函數(shù)法[7]、Hirota方法[10]和Jacobi橢圓函數(shù)展開法[4,8]等。本文將運(yùn)用G′/G展開法[11-19]和齊次平衡原理[4-6]求解KP方程精確行波解。

1 (3+1)維KP方程

對(duì)于方程

(ut+6unux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0，

(1.1)

首先作行波變換

u(x,t)=u(ξ),ξ=x+y+z-Ct,

(1.2)

其中C為波速。

將式(1.2)代入(1.1)，化簡(jiǎn)可得到關(guān)于u=u(ξ)的方程

-Cu″+6nun+1u′2+6uu″+ru(4)+αu″+βu″=0。

(1.3)

對(duì)(1.3)求一次積分，得

-Cu′+6unu′+rum+αu′+βu′=A,

(1.4)

其中，A為積分常數(shù)。

假設(shè)方程(1.4)的解能夠表示成如下形式:

(1.5)

這里G=G(ξ)，并且滿足二階線性常微分方程

G″+λG′+μG=0。

(1.6)

由(1.4)式和(1.5)式求得

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

把式(1.5)～(1.9)代入式(1.4)后，平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)um和非線性項(xiàng)unu′的指數(shù)，即mn+m+1=m+3，mn=2。

1) 當(dāng)n=1時(shí)，

(ut+6uux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0,

(1.11)

平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)um和非線性項(xiàng)uu′的指數(shù)，即m=2,故方程(1.1)可能存在G′/G解。

2) 當(dāng)n=2時(shí)，

(ut+6u2ux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0,

(1.12)

平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)um和非線性項(xiàng)u2u′的指數(shù)，即m=1，故方程(1.1)可能存在G′/G解。

綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)方程(1.1)可能有G′/G解。

2 KP方程的G′/G解

1) 當(dāng)n=1，m=2時(shí)，形式解為

(2.1)

同樣求得

(2.2)

-6λμ2α2-2μ2α1-α1μλ2,

(2.3)

把式(2.1)～(2.3)代入式(1.4)中，求得

-(8λ3α2-2Cλα2+ 52μλα2+ 18μα1α2+ 2αλα2+ 2βλα2+ 7λ2α1

-6α2μ2λ-α1μλ2+Cμα1-2α1μ2-αμα1-βμα1-6μα1α0+A。

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

求解方程組(2.5)～(2.10)，可得

A=0，

(2.11)

α1=-2λ，

(2.12)

α2=-2，

(2.13)

C=λ2+8μ+α+β+6α0。

(2.14)

將式(2.11)～(2.14)代入式(2.1)，求得

(2.15)

其中，C=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t。

(2.16)

把(1.5)式代入(2.15)式,可以得到以下三種形式的解:

當(dāng)λ2-4μ>0時(shí)，

其中，ξ=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t，C1，C2均為任意常數(shù)。

當(dāng)λ2-4μ<0時(shí)，

其中，ξ=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t，α0，C1，C2均為任意常數(shù)。

其中，ξ=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t，α0、C1、C2均為任意常數(shù)。

2) 當(dāng)n=2，m=1時(shí)，根據(jù)討論，得到

(2.17)

同樣地求得：

(2.18)

(2.19)

(2.20)

?

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

3 結(jié)論

本文探討了G′/G展開法在求KP方程精確解中的應(yīng)用。由上述討論，得到了新的周期函數(shù)解、指數(shù)函數(shù)解以及包含更多參數(shù)的精確解。推廣的KP方程有多種形式的精確解,應(yīng)用范圍廣泛，應(yīng)用本文的方法，不僅能夠求出推廣的KP方程的G′/G解,也可以求出其他非線性方程的精確解。

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